Прикладная механика. Расчетно-графические задания. Учебное пособие

2. Статическое обследование задачи

Рассмотрим произвольное поперечное сечение бруса (рис. 37). Из гипотезы о ненадавливании продольных волокон следует, что в сечении отсутствуют касательные напряжения. Поскольку длина продольных волокон изменяется, в сечении действуют нормальные напряжения, причем разного знака. На рис. 38 представлен в изометрии элемент бруса длиной dx, в сечении которого показаны нормальные напряжения, образующие нормальные силы разного знака и в сумме равные нулю (первая формула 29), и изгибающий момент M z

(вторая формула 29):

ков: M z > 0 при положительной кривизне изогнутой оси бруса (как у

На этом этапе сделаем предположение о положении нейтрального слоя (н.с.). Допустим, н.с. находится в плоскости xz (рис. 38). Линия

41

пересечения н.с. с поперечным сечением называется нейтральной линией (н.л.). При сделанном предположении н.л. совпадает с осью x. Заметим, что координаты y на рис. 38 отложены от н.л. Чуть позже мы докажем, что сделанное предположение о нахождении н.с. и соответственно н.л. является верным.

3. Геометрическое обследование задачи

Определим линейную деформацию произвольного отрезка АВ (рис. 39), взятого на координате у. Отрезок ОО1 лежит на оси х, по-

этому он находится в н.с. Как видно из рис. 39, а, АВ = ОО1 = dx. По-

сле деформации длина отрезка OO1 не изменилась, отрезок АВ укоротился (рис. 39, б). Вычислим длины отрезка АВ до и после деформации через ρ – радиус кривизны н.с. и dφ – угол поворота правого сечения

Определим линейную деформацию произвольного бесконечно малого отрезка АВ:

42

4. Физика

Закон Гука дает нам связь между напряжениями и деформациями:

σ= Еε.

5.Синтез

Подставляем (30) в (8):

Подставляем (31) в первое уравнение (29):

N = − Eρ A∫ ydA = 0,

откуда ∫ ydA = 0.

A

Как известно из геометрии, этот интеграл является статическим моментом сечения, а статический момент любой плоской фигуры равен нулю относительно ее центральных осей. Вот мы и окончательно определим расположение н.с., сделанное ранее.

Теперь подставим (31) во второе уравнение (29):

M z = Eρ A∫ y2dA.

43

В этом выражении I z = ∫ y2dA – момент инерции сечения относи-

A

тельно центральной оси z (геометрическая характеристика сечения при изгибе). С учетом этого M z = EIρz , откуда получим формулу для кри-

визны изогнутой оси бруса:

Подставляем теперь (32) в (31) и получаем формулу для расчета напряжений в любой точке сечения (знак «–» в этой формуле по умолчанию опущен, поскольку по направлению M z всегда можно узнать

знак напряжения):

2.6.3. УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ

Итак, при чистом плоском изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. При поперечном плоском изгибе появляются еще и касательные напряжения от внутренней поперечной силы Qy. Касательные напряжения в сечениях брусьев, у которых, как было сказано выше, длина существенно превышает размеры сечения, на порядки меньше нормальных напряжений. Поэтому практический расчет на прочность брусьев выполняется только по нормальным напряжениям, рассчитываемым по формуле (33).

На рис. 40 построен эпюр нормальных напряжений в произвольном прямоугольном сечении бруса, работающего на плоский изгиб.

По формуле (33) σ линейно зависит от у. При таком направлении M z видно, что верхняя часть сечения растягивается, а нижняя

сжимается.

Поскольку ось z является осью симметрии, максимальные растяги-

44

Для упрощения формулы максимальных напряжений ввели поня-

Теперь формула для максимальных напряжений приобретает простой вид:

Рис. 40

Условие прочности:

Wz max

2.7.Расчетно-графическое задание (РГЗ 3)

Требуется рассчитать на прочность брус, работающий на плоский изгиб.

Расчетные формулы приведены ниже.

Формула для расчета нормального напряжения в произвольной

точке поперечного сечения σ = M z y .

I z

45

Формула для расчета максимального нормального напряжения

в сечении σmax = M z .

Wz

В этих формулах:

Mz – внутренний изгибающий момент в сечении относительно главной центральной оси z;

y – удаленность расчетной точки в сечении от оси z в направлении оси y;

Iz – осевой момент инерции сечения относительно оси z; Wz – осевой момент сопротивления;

[σ] – допускаемое нормальное напряжение. В задаче требуется:

1)построить эпюры вдоль продольной оси внутренней поперечной силы Qy и изгибающего момента Mz;

2)из условия прочности рассчитать диаметр круглого поперечного сечения;

3)для этого же бруса рассчитать поперечное сечение в форме дву-

тавра;

4)сравнить веса обоих брусьев;

5)построить эпюры нормальных напряжений в опасном сечении обоих брусьев.

46

Для всех вариантов принять: l = 25 см, [σ] = 150 МПа.

47

ГЛАВА 3

ДЕТАЛИ МАШИН

В этой главе мы рассмотрим только соединения деталей. Кстати, это ключевой вопрос. Соединения деталей могут быть разъемными и неразъемными. К разъемным относятся резьбовые, шпоночные и клиновые соединения. К числу неразъемных – заклепочные и сварные.

3.1. УПРОЩЕННЫЙ РАСЧЕТ РЕЗЬБОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ

Резьбовые соединения (винт-гайка) разделяются на крепежные (метрические и дюймовые резьбы) и специальные (ходовые, трубные и упорные резьбы). Мы рассмотрим расчет на прочность только крепежных метрических резьб (рис. 41). На рисунке d1 – внутренний диаметр; dср – средний диаметр; d – наружный диаметр, шаг резьбы.

60о

Рис. 41

Метрическая резьба может быть основной или мелкой. Обозначение основной метрической резьбы: М(d), например М(20). У мелких метрических резьб меньше шаг S и глубина резьбы. Все размеры резьб строго регламентированы ГОСТ 9253–59.

Сама резьба болта и гайки работает на срез, а стержень болта, ограниченный внутренним диаметром резьбы d1, работает на растяжение. Число витков резьбы стандартной гайки берется таким, чтобы

48

срезаемая растягивающей силой резьба была равнопрочной растягиваемой внутренней части болта. Поэтому упрощенный расчет резьбового соединения проводится, как при растяжении болта, по формуле

Зная F, по формуле (36) можно найти d1, а затем по ГОСТу подобрать резьбу.

3.2.РАСЧЕТ ЗАКЛЕПОЧНЫХ СОЕДИНЕНИЙ

Спомощью заклепок выполняются неразъемные соединения, как правило, тонких листов (рис. 42).

Условие прочности на смятие:

49

В этих формулах k – число поверхностей среза; n – число заклепок. Допускаемые напряжения на срез и смятие выбираются в зависи-

мости от материала заклепок и соединяемых деталей.

3.3. РАСЧЕТ СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ

Сварные соединения являются также неразъемными и широко применяются в технике в силу своей экономичности, доступности и относительной надежности.

Сварные швы разделяются на стыковые и угловые.

Стыковой шов (рис. 43) рассчитывается на растяжение. Условие прочности для него:

В этой формуле A = hl – площадь сечения шва.

h

l

Рис. 43

Угловой шов (рис. 44) рассчитывается на срез, и условие прочности для него:

50