Прикладная механика. Расчетно-графические задания. Учебное пособие

1.7. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗАКРЕПЛЕННОГО ТЕЛА. РАСЧЕТ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

Как было сказано выше, для полного закрепления тела наложенные на него связи должны ограничить все его степени свободы. В этом случае тело будет находиться в равновесии и его поведение описывается уравнениями равновесия.

Для пространственного тела таких уравнений шесть:

∑ X = ∑ Fix + ∑ Rix = 0;

∑Y = ∑Fiy + ∑Riy = 0;

∑mz = ∑mFi z + ∑ Miz + ∑mRi z + ∑ M pi z = 0.

Вэтих уравнениях:

Fix , Fiy , Fiz – проекции на соответствующие оси координат x, y, z

всех активных внешних сил, действующих на тело;

Rix , Riy , Riz – проекции на соответствующие оси координат всех

опорных реакций;

mFi x , mFi y , mFi z – моменты всех активных сил относительно соответствующих осей координат;

12

Mix , Miy , Miz – активные моменты, действующие на тело относительно соответствующих осей координат;

соответствующие оси координат;

mx , my , mz – суммы моментов и моментов всех сил (активных

и реактивных) относительно соответствующих осей координат. Опорные реакции рассчитываются из уравнений равновесия. Если

тело закреплено минимально необходимым числом связей (пространственное – шестью, а плоское – тремя), то уравнений равновесия хватает для расчета реакций связей. Такие тела (системы) являются статически определимыми. Если же тело перезакреплено, т. е. число его связей превышает минимально необходимое, то из одних уравнений равновесия опорные реакции рассчитать невозможно. Такие тела статически неопределимы. В этом случае для расчета опорных реакций необходимы дополнительные уравнения, которые можно получить методами механики деформируемого твердого тела.

1.8.РГЗ 1

Вприведенных ниже комплектах требуется рассчитать опорные реакции.

13

Комплект 4

14

Числовая таблица к РГЗ1

15

ГЛАВА 2

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

2.1. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ КУРСА СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Вопросами прочности в инженерном деле занимается механика деформируемого твердого тела, которая разделилась на несколько направлений. Чтобы понять, какое место в этой науке занимает сопро-

тивление материалов, сопоставим его с теорией упругости.

Отметим еще раз, что все науки, призванные изучать реальные объекты, на самом деле занимаются их расчетными схемами, в которых накладываются ограничения на рассматриваемую задачую. Ограничения относятся к форме тела, нагрузке, внешним условиям и т. д.

Теория упругости – наиболее общая наука о прочности, в которой учитываются практически все свойства объекта, влияющие на прочность, и накладывается только одно ограничение: деформации тела должны быть упругими, т. е. после снятия нагрузки его размеры и форма должны полностью восстанавливаться. Однако в результате математическая модель в теории упругости получается очень сложной, не имеющей, как правило, аналитического решения, и даже численными методами ее нередко трудно решить с достаточной точностью. Теория упругости позволяет точно описать математически задачу, но для ее практического решения нужно что-то упростить, наложить какие-то ограничения. Без этого теория упругости будет чисто описательной наукой.

Поэтому на противоположном полюсе механики деформируемого твердого тела и находится инженерная наука о прочности – сопротивление материалов.

Сопротивление материалов – наука о прочности, а точнее – это раздел механики деформируемого твердого тела, рассматривающий методы расчета на прочность и жесткость типовых элементов конструкций при условии их долговечности и экономичности.

Задачей курса сопротивления материалов является разработка простых инженерных приемов расчета типовых деталей. При этом в решаемой задаче накладывается максимально возможное количество ограничений и допущений на форму тела, свойства материала, нагрузку и т. д. В результате расчетные формулы получаются достаточно простыми и удобными для практических инженерных расчетов.

16

2.2. АЛГОРИТМ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ

Оказывается, что все задачи сопротивления материалов можно в принципе решить по одному алгоритму, схема которого показана на рис. 12.

Составление расчетной схемы расчет опорных реакций расчет внутренних сил расчет напряжений рассмотрение условия прочности.

Рис. 12

Рассмотрим ступени этого алгоритма.

2.2.1. СОСТАВЛЕНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ

При составлении расчетной схемы производится схематизация детали, опор и нагрузки.

Схематизация детали. При всем разнообразии конструктивных элементов их можно свести к сравнительно небольшому числу основных форм, а именно к четырем.

1. Форма бруса (рис. 13).

Брус – это тело, у которого длина су-

2. Форма оболочки (рис. 14).

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми существенно меньше других размеров

оболочки.

Поверхность, равноудаленная от внешней и внутренней поверхности, называется срединной.

Линия пересечения срединной поверхности с верхним торцом показана на рисунке штрих-

пунктиром.

Рис. 14

17

Форма оболочки может быть любая. На рис. 14 показана цилиндрическая оболочка. В сопротивлении материалов рассматриваются оболочки простейшей формы.

3. Форма пластины (рис. 15).

Пластина – оболочка с плоской срединной поверхностью.

Пластина может быть прямоугольной, круглой, треугольной и т. д.

4. Массивное тело – элемент конструк- Рис. 15 ции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга (рис. 16).

В сопротивлении материалов массивные тела не рассматриваются, их рассчитывают в теории упругости.

Рис. 16

Какую бы деталь ни придумал конструктор, он на расчетной схеме должен ее изобразить в виде одной из расмотренных форм либо в виде какой-то совокупности этих форм.

Схематизация опор и нагрузки. Опоры и нагрузка схематизируются так же, как и в теоретической механике.

2.2.2. РАСЧЕТ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

Опорные реакции рассчитываются так же, как и в теоретической механике из уравнений равновесия, составленных без учета деформации тела.

18

2.2.3.ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННИХ СИЛАХ. ИХ РАСЧЕТ

Втеоретической механике внутренние силы не рассматривается. Там все силы являются внешними. В сопротивлении материалов, где учитывается деформация тела, вводится понятие внутренних сил, без определения которых вопросы прочности тела решить невозможно.

Внутренние силы – это силы упругого взаимодействия между частицами материала внутри тела при его деформировании внешними силами. Исчезают внешние силы, отсутствуют и внутренние силы.

Расчет внутренних сил. Для расчета внутренних сил применяется метод сечений. Он заключается в том, что в интересующем нас месте мысленно проводится сечение, разделяющее тело на две части (как правило, это поперечное сечение, перпендикулярное продольной оси бруса). Затем какая-то часть тела мысленно отбрасывается, а к оставшейся части со стороны отброшенной прикладываются внутренние силы, которые теперь для рассматриваемой части становятся внешними силами. Этих сил – бесчисленное количество. Методами теоретической механики эту систему сил приводим к центру тяжести поперечно-

го сечения и получаем главный вектор V и главный момент М внутренних сил в этом сечении (рис. 17), которые проецируем на координатные оси (рис. 18 и 19). В результате получаем три составляющие главного вектора (рис. 18) и три составляющие главного момента (рис. 19), которые имеют свои названия:

N – нормальная внутренняя сила;

Qy , Qz – поперечные внутренние силы; М х – крутящий внутренний момент;

M y , M z – изгибающие внутренние моменты.

На рис. 19 главный момент и его составляющие по осям показаны в векторной форме, а на рис. 20 – в наглядной форме.

19