Прикладная механика. Расчетно-графические задания. Учебное пособие

O

O

K

*

K

Рис. 30

На рис. 30, б этот кубик показан в увеличенном масштабе. По грани кубика, совпадающей с плоскостью поперечного сечения, действует касательное напряжение, направление которого мы не знаем. Разложим его на составляющую τ1 , перпендикулярную радиусу, и состав-

ляющую τ2 , направленную вдоль радиуса. По закону парности каса-

тельных напряжений в перпендикулярных гранях возникают парные и равные им напряжения (рис. 30, б). Парное напряжение τ2 действует

по наружной цилиндрической поверхности и равно нулю, поскольку на этой поверхности отсутствует нагрузка. Поэтому на контуре сече-

ния τ = τ1 и τ перпендикулярно ρ . Если теперь двигаться вдоль ради-

уса к центру сечения, то нетрудно убедиться, что во всех точках τ будет перпендикулярно ρ.

Связь между М х и τ очевидна (рис. 29):

3. Геометрическое обследование задачи

Выделим в произвольном месте элемент бруса длиной dx на текущем радиусе ρ и покажем его деформацию в соответствии с приняты-

ми гипотезами (рис. 31).

31

где I p = ∫ ρ2dA – полярный момент инерции поперечного сечения

A

(своеобразная геометрическая характеристика сечения; для простых форм сечений она приводится в справочниках).

Из формулы (22) получаем выражение для расчета углов поворота на длине l участка бруса (это расчет на жесткость при кручении):

Чтобы получить теперь формулу для расчета напряжений, подста-

вим (22) в (21):

I p

Как видим, напряжения в сечении линейно зависят от радиуса

(рис. 32).

Максимальные напряжения возникают на контуре сечения

τmax = M xρmax .

I p

Эту формулу обычно упрощают. Вводят обозначение: полярный момент сопротивления сечения

33

C учетом (26)

$%

Рис. 32

6. Условие прочности

2.5. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ (РГЗ 2) ПО ТЕМАМ: «РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ БРУСА» И «КРУЧЕНИЕ БРУСЬЕВ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ»

Поскольку расчеты по этим двум темам подобны, они объединены в одном РГЗ 2, в котором дается соответственно две задачи.

Ниже приводится сводка расчетных формул для обеих задач и сами задачи.

2.5.1. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ 1 ПО РАСТЯЖЕНИЮ-СЖАТИЮ

Формула для расчета напряжений σ= N .

A

34

Формула для расчета удлинения участка бруса l = NL .

EA

Вэтих формулах:

σ– нормальное напряжение в поперечном сечении;

2.5.2. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ 2 ПО КРУЧЕНИЮ

Формула для расчета касательных напряжений в сечении τ = M xρ.

I p

Формула для расчета максимальных касательных напряжений в се-

чении τmax = M x .

Wp

φ= M xρ.

GI p

Вэтих формулах:

Mx – внутренний крутящий момент а сечении;

ρ– радиус расчетной точки в сечении;

Ip – полярный момент инерции сечения (геометрическая характе-

ристика сечения);

Wp – полярный момент сопротивления сечения;

[τ] – допускаемое касательное напряжение;

G – модуль упругости второго рода материала бруса.

35

2.5.3. ЗАДАЧИ РГЗ

В задаче 1 требуется:

1) построить эпюр нормальных сил N;

2) построить эпюр нормальных напряжений σ;

3) проверить прочность бруса;

4) построить эпюр перемещений поперечных сечений δ;

5) проверить перемещение свободного конца бруса по принципу независимости действия сил.

В задаче 2 требуется:

1)построить эпюр внутренних крутящих моментов Mx;

2)рассчитать диаметры поперечных сечений для сплошного кругло-

го вала и трубчатого вала при заданном отношении диаметров α = d ;

D

& d D

3)построить эпюры напряжений для опасного сечения обоих валов;

4)найти угол закручивания свободного конца сплошного вала.

Комплект 1

Задача 1. Растяжение-сжатие бруса

36

Задача 2. Кручение вала

x

)

)

)

Комплект 2

Задача 1. Растяжение-сжатие бруса

Задача 2. Кручение вала

x

) )

)

37

Таблица силовых параметров к РГЗ2

Таблица размеров к РГЗ2

В обоих комплектах и во всех вариантах значения следующих параметров одинаковы:

E = 2 ×105 МПа, G = 0,8 ×105 МПа, [σ] = 150 МПа, [τ] = 80 МПа.

38

2.6. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ (ПРЯМОМ) ИЗГИБЕ

2.6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗГИБОВ

При плоском (прямом) изгибе вся внешняя нагрузка должна находиться в одной так называемой силовой плоскости и силовая плоскость должна проходить через какие-то главные центральные оси инерции поперечных сечений (рис. 33). Заметим, что в нашем кратком курсе прикладной механики опущена тема «Геометрические характеристики плоских сечений», в которой дается понятие главных центральных осей инерции плоских фигур, поэтому примем как справочную информацию, что все оси симметрии поперечных сечений являются их главными центральными осями. На рис. 33 плоскость ху является силовой плоскостью.

q F

y

z

x

Рис. 33

При плоском изгибе могут возникнуть две внутренние силы Qy

и Mz (рис. 34).

По внутренним силам плоские изгибы разделяются на чистые, когда возникает только одна внутренняя сила Mz (рис. 34, а), и поперечные, когда возникают обе внутренние силы (рис. 34, б).

Введем правило знаков для Qy и Mz. На рис. 35 показаны положительные направления этих внутренних сил для правого и левого сечений.

39

2.6.2. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

ПРИ ЧИСТОМ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

1. Мысленный эксперимент

На плоской боковой поверхности бруса мысленно нанесем ортогональную сетку: ряд вертикальных и ряд горизонтальных линий (рис. 36, а). Затем загрузим брус изгибающими моментами (рис. 36, б) и зафиксируем изменение ортогональной сетки: вертикальные линии, которые имитируют следы поперечных сечений на боковой поверхности, не искривятся, повернутся на некоторый угол и останутся перпендикулярными изогнутой оси бруса; горизонтальные линии превратятся в дуги окружностей, расстояния между ними не изменятся. Ортогональность сетки сохранится. На основании этих наблюдений можно выдвинуть следующие гипотезы.

1.Гипотеза плоских поперечных сечений.

2.Гипотеза о ненадавливании продольных волокон, поскольку рас-

стояния между горизонтальными линиями не изменились.

3.Гипотеза о существовании нейтрального слоя. Поскольку часть горизонтальных линий удлинилась, а часть укоротилась (рис. 36, б), из этого следует, что между ними существует линия, длина которой не изменилась. Эти линии и образуют так называемый нейтральный слой. На основании этих гипотез будем строить теорию чистого плоского изгиба.

40