Оценивание погрешностей измерений. Конспект лекций
.pdf
|
m |
дf |
2 |
2 |
|
1 |
2 |
U |
|
2 |
|
||
Q P k |
|
|
|
Q j |
1,1 |
|
12 |
|
|
0,8 |
|
13 Ом. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
j 1 |
дa j |
|
|
|
I |
|
I 2 |
|
|
|
||
Окончательный результат измерения сопротивления может быть представлен в виде:
R 55 13 Ом; P 0,95.
4.6.Оценивание погрешностей при косвенных измерениях
смногократным измерением аргументов
При косвенных многократных измерениях физической величины погрешность измерения состоит из систематической и случайной составляющих погрешности измерения.
Границы суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности измерения Q(P) находят по формуле
Q Ρ k |
m |
дf |
|
2 |
|
|
|
|
Q2j . |
||
д |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
j |
|
|
Оценку СКО случайной составляющей погрешности косвен-
ного измерения ( ) находят по формуле
|
m |
дf |
)2 2 ( j ), |
|
|
( ) |
( |
(9) |
|||
|
|||||
|
j 1 |
д j |
|
||
где ( j ) — СКО результатов измерения j -го аргумента;
m — число составляющих аргументов.
Доверительные границы случайной составляющей погреш-
ности косвенного измерения гр (Ρ) находят по формуле
|
|
|
гр (P ) t ( ) , |
(10) |
|
где t — коэффициент Стьюдента (Приложение 4). |
|
|
В рассмотренном случае за |
погрешность измерения |
(Ρ) |
принимают погрешность, вычисленную по формуле
41
|
|
|
(Ρ) k1 Q(Ρ) гр (P) . |
||
|
|
|
Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде: А (Ρ); Ρ.
Пример оценивания погрешности при косвенных многократных измерениях физической величины
Определить сопротивление резистора по результатам многократных (n = 100) измерений падения напряжения вольтметром ВК7-10А/1 на искомом и эталонном резисторах, включенных последовательно. Эталонный резистор класса 0,1 с номинальным значением 100 Ом.
После предварительной обработки результатов наблюдений были получены следующие данные:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1034 ; |
|
σ |
|
|
|
э 0,00124 |
|
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Uэ |
U |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2423 ; |
|
σ |
|
|
х 0,00124 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
U х |
U |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим среднее арифметическое значение искомого со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
противления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
х |
|
э |
|
1,2423 100,00 |
112,59 Ом. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
U |
R |
||||||||||||||||||||||||||||||
R |
х |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uэ |
1,1034 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Оценка среднего квадратического отклонения результатов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
измерений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
дf |
)2 2 ( j ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
д j |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0,00124 100,00 |
1 |
0,0012433 |
2 |
0,169 Ом. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,001034 |
|
|
|
|
0,0011034 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Граничные значения случайной составляющей погрешности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
измерения равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
гр (P) t ( ) 1,96 0,169 |
0,331 Ом. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
42
Оценим теперь систематическую составляющую погрешности измерения. Для вольтметра ВК7-10А из паспорта известны следующие составляющие систематической погрешности:
Qо (0,001 1,2423 0,001) 0,0022 ;
Q1 0,001 ; |
Q2 0,001 . |
Границы неисключенной систематической погрешности измерения падения напряжения равны
Q Ρ k 
Q02 Q12 Q22
1,1
0,00222 0,0012 0,0012 0,0029 .
Границы неисключенной систематической погрешности определения сопротивления резистора равны
|
0,0011 |
|
|
2 |
|
2 |
|
1,2423 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
Q(P) |
|
|
100 |
|
2,9 |
|
|
|
|
|
|
2,9 |
|
1,2423 |
|
100 |
0,44 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1,1034 |
|
|
|
|
|
|
1,1034 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как Q P 6,5 , суммарная погрешность вычисляется по
( )
формуле
Ρ k1[ гр Ρ Q Ρ ] 0,73 0,331 0,44 0,56 Ом.
В связи с тем, что границы погрешности результата измерения резистора симметричны, окончательный результат имеет вид:
R 112,59 0,56 Ом.
43
Приложение 1
Зависимость коэффициента k от доверительной вероятности Р и числа составляющих m неисключенных систематических погрешностей
При доверительной вероятности Р = 0,95 поправочный коэффициент k = 1,1.
При доверительной вероятности Р = 0,99 поправочный коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых составляющих m больше 4.
Если число суммируемых составляющих m равно 2 или 3 или 4, то поправочный коэффициент определяют из таблицы:
l |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 2 |
0,90 |
1,21 |
1,27 |
1,21 |
1,16 |
1,12 |
1,09 |
1,07 |
1,05 |
1,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 3 |
1,27 |
1,34 |
1,36 |
1,31 |
1,24 |
1,18 |
1,14 |
1,11 |
1,09 |
1,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 4 |
1,36 |
1,39 |
1,41 |
1,36 |
1,28 |
1,23 |
1,17 |
1,15 |
1,13 |
1,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где l Q1 . Q2
При трех или четырех слагаемых в качестве Q1 принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других, в качестве Q2 следует принять ближайшую к Q1 составляющую.
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение 2 |
||
|
|
|
Зависимость коэффициента k1 |
от отношения |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Q P |
и доверительной вероятности Р |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q P |
|
0,8 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
σ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 P = 0,95 |
|
0,78 |
|
0,74 |
0,71 |
0,73 |
0,76 |
|
0,78 |
0,79 |
0,80 |
0,81 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k1 P = 0,99 |
|
0,84 |
|
0,82 |
0,80 |
0,82 |
0,82 |
|
0,83 |
0,83 |
0,84 |
0,85 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
Приложение 3
Предельные значения β при неизвестном СКО
Число |
Предельные значения уровня значимости q |
|||
|
|
|
|
|
наблюдений n |
0,100 |
0,075 |
0,050 |
0,025 |
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
1,15 |
1,15 |
1,15 |
1,15 |
4 |
1,42 |
1,44 |
1,46 |
1,48 |
5 |
1,60 |
1,64 |
1,67 |
1,72 |
6 |
1,73 |
1,77 |
1,82 |
1,89 |
7 |
1,83 |
1,88 |
1,94 |
2,02 |
8 |
1,91 |
1,96 |
2,03 |
2,13 |
9 |
1,98 |
2,04 |
2,11 |
2,21 |
10 |
2,03 |
2,10 |
2,18 |
2,29 |
11 |
2,09 |
2,14 |
2,23 |
2,36 |
12 |
2,13 |
2,20 |
2,29 |
2,41 |
13 |
2,17 |
2,24 |
2,33 |
2,47 |
14 |
2,21 |
2,28 |
2,37 |
2,50 |
15 |
2,25 |
2,32 |
2,41 |
2,55 |
16 |
2,28 |
2,35 |
2,44 |
2,57 |
17 |
2,31 |
2,38 |
2,48 |
2,62 |
18 |
2,34 |
2,41 |
2,50 |
2,66 |
19 |
2,36 |
2,44 |
2,53 |
2,68 |
20 |
2,38 |
2,46 |
2,56 |
2,71 |
|
|
|
|
|
46
Приложение 4
Значение коэффициента t при разной доверительной вероятности P (распределение Стьюдента)
Число |
Значения коэффициента t при доверительной |
||||||
|
|
вероятности |
|
|
|||
наблюдений n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,90 |
0,95 |
|
0,98 |
|
0,99 |
0,999 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6,31 |
12,71 |
31,82 |
|
63,66 |
636,62 |
|
3 |
2,92 |
4,40 |
6,97 |
|
9,93 |
31,60 |
|
4 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
|
5,84 |
12,92 |
|
5 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
|
4,60 |
8,61 |
|
6 |
2,02 |
2,57 |
3,37 |
|
4,03 |
6,87 |
|
7 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
|
3,71 |
5,96 |
|
8 |
1,90 |
2,37 |
3,00 |
|
3,50 |
5,41 |
|
9 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
|
3,36 |
5,04 |
|
10 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
|
3,25 |
4,78 |
|
11 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
|
3,17 |
4,59 |
|
12 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
|
3,11 |
4,44 |
|
13 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
|
3,06 |
4,32 |
|
14 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
|
3,01 |
4,22 |
|
15 |
1,76 |
2,15 |
2,62 |
|
2,98 |
4,14 |
|
16 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
|
2,95 |
4,07 |
|
17 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
|
2,92 |
4,02 |
|
18 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
|
2,90 |
3,97 |
|
19 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
|
2,88 |
3,92 |
|
20 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
|
2,86 |
3,88 |
|
21 |
1,65 |
1,96 |
2,33 |
|
2,58 |
3,29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.ФЗ «Об обеспечении единства измерений.
2.Руководство по выражению неопределенности / Пер. с анг., С.-Пб.: — ВНИИМ им. Менделеева, 1999.
3. ГОСТ Р ИСО 5725-1-6–2002. Точность (правильность
ипрецизионность) методов и результатов измерений (6 частей).
4.ГОСТ Р 54500.1–2011 (Руководство ИСО/МЭК 98-1:2009). «Неопределенность измерения. Часть 1, Введение в руководство по неопределенности измерения».
5.ГОСТ Р 54500.3–2011 (Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008). «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения».
6.ГОСТ 8.207–76. ГСИ. Прямые измерения многократные. Методы обработки результатов измерений.
7.МИ 1317–2004. ГСИ. Результаты и характеристики погрешностей измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров.
8.Р 50.2.038–2004. ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенностей результатов измерений.
9.МИ 2083–90. ГСИ. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей.
10.РМГ 61–2010. ГСИ. Показатели точности, правильности, прецизионности методик количественного химического анализа. Методы расчета.
11.РМГ 62–2003. ГСИ. Обеспечение эффективности измерений при управлении технологическими процессами. Оценивание погрешности измерений при ограниченной исходной информации.
12.ГОСТ 8.009–84. ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений.
13.РД 50-453–84. Методические указания. Характеристики погрешности средств измерений в реальных условиях эксплуатации. Методы расчета.
14.РМГ 91–2009. ГСИ. Совместное использование понятий «погрешность измерений» и «неопределенность измерений». Общие принципы.
48
15.ПМГ 96–2009. ГСИ. Результаты и характеристики качества измерений, Формы представления.
16.Богомолов Ю.Н., Медовикова Н.Я., Рейх Н.Н. Погрешности измерений и оценивание их характеристик. — М.: АСМС,
2004.
49
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение ......................................................................................... |
3 |
1. Основные сведения о погрешностях измерений .................... |
5 |
1.1. Классификация погрешностей измерений ........................ |
5 |
1.2. Характеристики погрешностей измерений ....................... |
9 |
1.3. Формы представления характеристик погрешностей |
|
измерений ............................................................................. |
12 |
2. Анализ погрешности измерений .............................................. |
15 |
2.1. Инструментальная составляющая погрешности |
|
измерений ............................................................................ |
18 |
2.2. Методическая составляющая погрешности |
|
измерений ............................................................................. |
22 |
2.3. Погрешность оператора ....................................................... |
23 |
3. Расчет погрешности измерений ................................................ |
24 |
4. Последовательность и содержание операций |
|
при проведении измерений ........................................................... |
26 |
4.1. Подготовка к измерениям ................................................... |
26 |
4.2. Проведение измерений ....................................................... |
29 |
4.3. Оценивание погрешностей при прямых однократных |
|
измерениях ............................................................................ |
31 |
4.4. Оценивание погрешностей при прямых |
|
многократных измерениях ................................................. |
35 |
4.5. Оценивание погрешностей при косвенных |
|
измерениях с однократным измерением аргументов ...... |
39 |
4.6. Оценивание погрешностей при косвенных |
|
измерения с многократным измерением аргументов ...... |
41 |
Приложения .................................................................................... |
44 |
Список литературы ........................................................................ |
48 |
50