Оценивание погрешностей измерений. Конспект лекций

проверить наличие систематических погрешностей и найти способы оценки и возможности максимального исключения их;

определить оценку истинного значения измеряемой величины и показатели точности этой оценки.

4.3. Оценивание погрешностей при прямых однократных измерениях

В случае пренебрежения случайной составляющей погрешности измерения суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения Q(P) оценивается по формуле 1, если каждая из суммируемых систематических погрешностей задается своими границами

где Q j — границы неисключенной систематической погрешно-

сти измерения;

m — число неисключенных систематических погрешностей; k — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности

P и числа m (Приложение 1).

Если каждая из неисключенных систематических погрешностей измерения задана доверительными границами, то суммарная неисключенная систематическая погрешность Q(P) оценивается по формуле

где Q j Pi — доверительная граница j-ой неисключенной систе-

матической погрешности, соответствующая доверительной вероятности Pi ;

ki — коэффициент, зависящий от выбранной доверительной вероятности и закона распределения.

В рассмотренном случае за погрешность измерения P принимается неисключенная систематическая погрешность, вычисленная по формулам 1 или 2. Окончательный результат изме-

рения физической величины может быть представлен в виде:

А P ; P.

31

Пример 1 оценивания погрешности однократного измерения

Измерение падения напряжения на участке измерительной цепи сопротивлением R = 4 Ом осуществляется вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом диапазона измерений 1,5 В. Стрелка вольтметра остановилась против цифры 0,95 В. Измерение выполняется в сухом отапливаемом помещении с температурой 30 С при магнитном поле до 400 А/м. Сопротивление вольтметра 1000 Ом.

Основная погрешность вольтметра указана в приведенной форме. Следовательно, при показании вольтметра 0,95 В предел допускаемой относительной основной погрешности вольтметра Q0 на этой отметке шкалы равен:

Q0 0,5 1,5 0,79 %. 0,95

Дополнительная погрешность из-за влияния магнитного поля Q1 0,75 % , дополнительная температурная погрешность обусловлена отклонением температуры от нормальной на 10 °С

иравна Q2 0,3 % .

Врассматриваемом случае основная и дополнительные сис-

тематические погрешности заданы своими границами и поэтому суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения вычисляется по формуле

m

Q P k Q2j .

j 1

При доверительной вероятности Р = 0,95 и числе неисключенных систематических погрешностей m = 3 коэффициент k = 1,1 (Приложение 1).

Следовательно, Q P 1,10,792 0,752 0,32 1,2 % в абсолютной форме Q P 0,011 .

Оценим теперь методическую погрешность измерения. Эта погрешность определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра Rv . Методическая

погрешность в абсолютной форме может быть вычислена по формуле

32

Оцененная методическая погрешность является систематической составляющей погрешности измерения и должна быть внесена в результат измерения в виде поправки. Поэтому окончательный результат должен быть представлен в виде:

U 0,954 0,011 ; P 0,95.

В случае оценивания погрешности измерения, состоящей из систематической и случайной составляющих погрешности, можно рекомендовать следующий порядок проведения расчетов.

Суммарная неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения Q P оценивается по формулам

Оценивание СКО случайной составляющей погрешности из-

мерения ( ) проводят по формуле

где j — СКО случайных составляющих погрешностей измере-

ния (метода, оператора и т.п.);

m — число случайных составляющих погрешностей измере-

ния.

Доверительные границы случайной составляющей погреш-

ности измерения гр (Р) оцениваются по формуле

где t — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности

изакона распределения.

Врассматриваемом случае за погрешность измерения P

принимается погрешность, вычисленная по формуле

33

где Q P — неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения, вычисленная по формулам 1 или 2;

k1 — коэффициент, выбираемый из таблицы в зависимости от доверительной вероятности и отношения Q(P) (Приложение 2).

( )

Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде А Р ; P.

Пример 2 оценивания погрешности однократного измерения

Измерение падения напряжения на участке цепи осуществляется вольтметром В3-49 с диапазоном измерения от 10 мВ до 100 В. Стрелка вольтметра остановилась против цифры 40 В. Основная погрешность вольтметра в процентах от показания прибо-

Температурная погрешность и погрешность от нестабильности напряжения и частоты не превышают половины основной. Среднее квадратическое отклонение не превышает одной пятой основной погрешности.

Оценить суммарную погрешность измерения падения напряжения при доверительной вероятности P = 0,95.

Основная погрешность в данном случае равна:

измерения равна:

34

m

Q P k Q2j 1,1 0,0812 0,0412 0,0412 0,11 .

j 1

Доверительные границы случайной составляющей погрешности измерения для доверительной вероятности 0,95 равны:

Погрешность измерения падения напряжения вольтметром ВЗ-49 равна:

Коэффициент k1 0,8, т.к. Q P 6,5 и доверительная веро-

( )

ятность P = 0,95 (Приложение 2).

Окончательный результат может быть представлен в виде:

U40,00 0,12 ; P 0,95.

4.4.Оценивание погрешностей при прямых многократных измерениях

При прямых многократных измерениях погрешность измерения физической величины складывается из суммарной неисключенной систематической составляющей и случайной составляющей погрешности измерения.

Суммарная неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения рассчитывается по формулам

Прежде чем оценивать СКО случайной составляющей погрешности измерения, следует проверить наличие результатов наблюдений, искаженных грубыми погрешностями, и если они есть — исключить из дальнейшей обработки. Проверку следует проводить в соответствии с приведенным далее критерием.

35

При рассмотрении результатов наблюдений, полученных при измерении физической величины в виде ряда a1, a2 , a3 , , an

иногда обнаруживается, что крайние члены (наименьший результат a1 и наибольший an ) значительно отличаются от ближайших

членов. В этом случае можно предположить, что крайние члены искажены грубыми погрешностями, и возникает вопрос: не следует ли отбросить эти результаты.

Если в ходе эксперимента не было причин, заставляющих усомниться в правильности проведенных измерений, то считать эти крайние результаты промахами, основываясь только на субъективной оценке, не следует.

Правила оценки результатов наблюдений, содержащих грубые погрешности, устанавливают следующий порядок обработки результатов наблюдений.

Сначала определяют среднее арифметическое значение результатов наблюдений по формуле

Затем вычисляют оценку СКО результатов наблюдений:

Чтобы оценить результаты наблюдений а1 и аn , находят отношения U1 и Un по формулам

Найденные значения U1 и Un сравнивают с величиной , которую выбирают из таблицы (Приложение 3) по числу наблюдений и уровню значимости q q 1 P .

Если U1 , считают, что результат а1 содержит грубую погрешность и должен быть исключен. Оценка результата аn про-

изводится аналогичным образом.

Оценку СКО случайной составляющей погрешности измерения находят по формуле

36

где аi — i-й результат наблюдения;

а — среднее арифметическое значение; n — число результатов.

Доверительные границы случайной составляющей погрешности измерения вычисляются по формуле

гр P — доверительные границы случайной составляющей

погрешности измерений, вычисленные по формуле 4;

Q(P) — суммарная неисключенная систематическая состав-

ляющая погрешности измерения, вычисленная по формулам 1 или 2;

( ) — оценка СКО случайной составляющей погрешности измерения, вычисленная по формуле 6;

m — число составляющих неисключенных систематических погрешностей измерений;

Q j — j-я неисключенная систематическая составляющая по-

грешности измерения.

Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде: А P ; P.

37

Пример оценивания погрешности при прямых многократных измерениях

Многократные (n = 100) измерения падения напряжения на участке электрической цепи осуществляются вольтметром ВК7-10А/1. В рабочем диапазоне от 0 до 10 В основная

временной нестабильности характеристик прибора за один час работы равна Q1 0,001 .

Дополнительная погрешность, вызванная изменением напряжения питания сети на 10 % равна Q2 0,005 .

Необходимо оценить погрешность измерения и записать окончательный результат в принятой форме при вероятности

P 0,99.

После предварительной обработки измерительной информации были получены следующие результаты:

U x 1,2125 В; (U x ) 1,21 10 3 В.

Первоначально вычислим значение основной погрешности вольтметра:

Q0 (0,001 1,2125 0,001) 2,21 10 3 В.

Вычислив отношение l = 0,005/0,00221 = 2,3, по графику (Приложение 1) находим коэффициент k = 1,3.

Оценим границы неисключенной систематической составляющей погрешности измерения:

Q(Ρ) k Q02 Q12 Q22

1,30,002212 0,0012 0,0052 7,22 10 3 .

Теперь оценим граничные значения случайной составляющей погрешности измерения:

Границы погрешности результата измерения следует вычислять по формуле

38

подкоренного выражения — сумма квадратов неисключенных

Окончательный результат измерения падения напряжения на участке электрической цепи может быть представлен в виде:

U(1,213 0,008) В; Ρ 0,99.

4.5.Оценивание погрешностей при косвенных измерениях

соднократным измерением аргументов

При косвенных однократных измерениях случайную составляющую погрешности измерения не рассматривают. В этом случае суммарная систематическая погрешность измерения вычисляется по формуле

принимается неисключенная систематическая погрешность результата косвенного измерения. Окончательный результат может быть представлен в виде: А P ; P.

39

Пример оценивания погрешности при косвенных однократных измерениях

Определить сопротивление резистора по результатам однократного измерения падения напряжения и силы электрического тока. Падение напряжения измеряется вольтметром Э 335 класса точности 1,5 с пределами измерения от 10 до 600 В. Сила электрического тока измеряется амперметром того же типа с пределами измерения от 100 мА до 50 А класса точности 1,5. Измерения проводятся в сухом отапливаемом помещении при температуре воздуха 25 С.

Из паспорта средства измерения следует, что основная погрешность Q0 составляет 1,5 % , температурная Q1 составляет

0,8 % на каждые 5 С и магнитная Q2 2,5 % при магнитном поле до 400 А/м. Стрелка вольтметра остановилась на цифре 220 В, а стрелка амперметра — на цифре 4 А. Значение доверительной вероятности принять равным 0,95.

В рассматриваемом случае основная погрешность вольтметра равна:

Q0 0,015 600 9 .

Дополнительные погрешности будут равны соответственно:

Q1 0,008 220 2 и Q2 0,025 220 5,5 .

40