Основы теории систем. Учебное пособие

математические описания этих объектов могут быть преобразованы в тождественные. Модель и отображаемый ею объект находятся в от-

ношении сходства, а не тождества. Это означает, что модель по неко-

торым признакам подобна изучаемой системе, а по каким-то может быть от неё отлична. Следовательно, основной задачей моделирова-

ния является реализация подобия по наиболее важным признакам в рамках данного исследования.

Существуют различные виды подобия и, соответственно, моде-

лей, относящихся к определённому виду подобия.

Модели прямого подобия. Прямое подобие устанавливается вследствие прямого взаимодействия или последовательности взаимо-

действий моделируемого объекта (оригинала) и модели. Примерами могут служить масштабированные физические модели объектов, ма-

кеты, фотографии.

Модели косвенного подобия строятся на основе аналогий зако-

нов и закономерностей строения и функционирования объектов и систем разной природы. Наиболее известными примерами косвенно-

го подобия являются аналогии некоторых механических и электриче-

ских процессов, описываемых одинаковыми уравнениями. Различие в уравнениях состоит лишь в различной физической интерпретации входящих в них параметров и переменных. Убедившись в схожести описаний процессов различной физической природы, можно прово-

дить исследования одних из них оперированием над другими, если это более удобно и выгодно.

Модели условного подобия. Подобие в данном случае устанав-

ливается путём соглашения. Примерами такого подобия могут слу-

жить чертежи с принятыми условными обозначениями, топографиче-

ские карты, условные денежные единицы.

На таком же достаточно высоком уровне обобщения моделей можно выделить ещё два класса:

Изоморфные модели – между моделью и моделируемой систе-

мой может быть установлено поэлементное соответствие.

111

Гомоморфные модели позволяют судить только о существенных аспектах поведения реальных систем, не детализируя их.

По целевому назначению модели делят на познавательные,

прагматические и инструментальные.

Познавательная модель – форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

Прагматическая модель – средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладные модели.

Инструментальная модель – является средством построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей.

Все рассмотренные выше модели могут быть разделены на два вида: материальные и абстрактные. Характерным классом абстрактных моделей являются математические модели. Они и будут, в основном, объектом дальнейшего рассмотрения.

По уровню моделирования модели бывают эмпирические – на основе эмпирических фактов, зависимостей, теоретические – на основе математических описаний и смешанные, полуэмпирические – использующие эмпирические зависимости и математические описания.

Построение математической модели есть процесс формализации определённых сторон строения, функционирования системы, её поведения с точки зрения конкретной решаемой задачи. Различают статические и динамические модели.

Модель называется статической, если среди её параметров нет временного параметра. Статическая модель даёт представление о состоянии системы.

Динамическая модель описывает процесс изменения состояний системы, т.е. среди её параметров есть временной параметр. Динами-

112

ческие модели строятся при исследовании функционирования и развития систем, прогнозирования путей развития, выработки и сравнения вариантов развития и совершенствования систем.

Дискретная модель описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Непрерывная модель описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени.

Характерными классами математических моделей, имеющими принципиально различный характер подходов к построению моделей,

являются: детерминированные, вероятностные и игровые, а также аналитические и имитационные модели.

Детерминированные модели описывают состояние и поведение систем с позиций полной их определённости в прошлом и будущем. Каждому набору входных воздействий соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров.

Вероятностные, недетерминированные, стохастические мо-

дели описывают системы, функционирующие в условиях воздействия случайных факторов. При этом и параметры состояния системы, и входные, и внешние возмущающие воздействия могут носить случайный характер.

Игровые модели описывают ситуации, в которых взаимодействуют, конфликтуют, противодействуют друг другу стороны (игроки), отстаивающие свои интересы.

Аналитическое моделирование предполагает описание строения и поведения моделируемого объекта в виде функциональных соотношений и логических условий, детерминированных, стохастических, чётких и нечетких соотношений, уравнений и неравенств.

Аналитическая модель всегда представляет собой конструкцию, которую можно проанализировать и решить математическими средствами. Так, если используется аппарат математического программирования, то модель состоит в основе своей из целевой функции и системы ограничений на переменные. Целевая функция, как правило, выражает ту характеристику объекта, которую требуется вычислить

113

или оптимизировать. Переменные выражают технические характеристики объекта, в том числе варьируемые, ограничения – их допустимые предельные значения.

Теоретические математические модели создаются в результате ис-

следования систем на теоретическом уровне. Основой построения таких моделей служат теории, законы и закономерности предметной области.

Эмпирические математические модели строятся на основе ин-

формации об изучаемых явлениях, объектах, процессах, получаемой с помощью практических наблюдений и экспериментальных исследований. Построение модели предполагает установление связей между характеристиками в форме равенств, неравенств, уравнений и логических структур, связывающих величины, включенные в модель.

Выбор вида или структуры модели – в большинстве случаев процесс неформализуемый. В лучшем случае основанием для выбора вида модели может служить априорная информация о классе моделируемой системы, характере процессов, протекающих в системе, теорий, законов и закономерностей, свойственных системе. При отсутствии такой информации выбор вида модели осуществляется интуитивно, по ассоциации с подобными случаями или по принципу простоты описания, предполагая дальнейшее усложнение и уточнение модели.

Безусловный интерес вызывают формализованные методы выбора структур моделей. Наиболее простой алгоритм выбора реализуется путём полного перебора вариантов, добиваясь нахождения одной или нескольких структур, удовлетворяющих некоторому критерию. Реально такой перебор можно осуществить лишь на небольшом множестве достаточно простых моделей. В ряде случаев процедуру полного перебора заменяют процедурой случайного выбора структур. Такой подход может привести к удачному выбору, однако – это дело случая. Необходимы некоторые регулярные процедуры, которые обеспечивали бы последовательное приближение к оптимальной или приемлемой структуре. Рассмотрим некоторые из них [8].

Метод шаговой регрессии. Идея метода состоит в том, что искомую структуру можно найти, трансформируя модель путём добавле-

114

ния к модели наиболее значимых по некоторому критерию переменных или (и) исключения незначимых по некоторому критерию переменных. В качестве добавляемых (исключаемых) переменных могут выступать как сами исходные переменные, так и их функциональные преобразования.

Метод эволюционной идентификации является стохастической разновидностью метода шаговой регрессии. В данном случае переменные для включения в модель выбираются случайным образом с помощью генератора случайных чисел с первоначально заданным и адаптивно изменяющимся в процессе перебора включаемых и исключаемых переменных законом распределения.

Метод группового учёта аргументов (МГУА). С момента появления этого метода (1968 г., Ивахненко А.Г.) разработаны десятки его разновидностей, которые можно сгруппировать в два направления: комбинаторные и селективные методы. Суть метода заключается в порождении и выборе моделей оптимальной сложности. Сложность модели в МГУА связывается с числом параметров. Для порождения используется базовая модель, подмножество элементов которой должно входить в искомую модель. Для выбора моделей используются внешние критерии, специальные функционалы качества моделей, вычисленные на тестовой выборке.

МГУА рекомендуется к использованию в том случае, когда выборка содержит несколько элементов. Тогда при построении регрессионных моделей использовать статистические гипотезы о плотности распределения, например, гипотезу о Гауссовском распределении, невозможно. В этом случае используется индуктивный подход, согласно которому последовательно порождаются модели возрастающей сложности до тех пор, пока не будет обеспечено выполнение некоторого критерия качества модели. Этот критерий качества называется внешним критерием, так как при настройке моделей и при оценке качества моделей используются разные данные.

Компьютерное моделирование – основа представления знаний в ЭВМ (построения различных баз знаний). Компьютерное моделиро-

115

вание для создания новых знаний использует любую информацию, которую можно актуализировать с помощью ЭВМ.

Вбазовой четверке информатики: «модель, алгоритм, компьютер, технология» при компьютерном моделировании главную роль играют алгоритм, компьютер и технология (точнее, инструментальные системы для компьютера, компьютерные технологии). При имитационном моделировании и в когнитивной графике (при отсутствии строгого и формально записанного алгоритма) главную роль играют технология и средства моделирования.

Вимитационном моделировании поведение компонентов сложной системы описывается набором алгоритмов, имитируют ситуации, возникающие в реальной системе. Имитационная модель предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования его параметров, входных и возмущающих воздействий.

Врамках математической теории принятия решений разрабатываются нормативные модели. Цель применения этих моделей – выбор наилучших действий (вариантов) исходя из заданного критерия и ситуации, в которой принимается решение. Нормативные модели делают акцент на том, как лицо, принимающее решения, должно подходить к принятию решений, чтобы добиться достижения поставленных целей, какие методы обоснования решений целесообразно использовать. Основной акцент в этой концепции делается на разработке математических методов, моделей и алгоритмов выбора решений. Однако в целом данная концепция не адекватна процессу формирования решений, поскольку наиболее сложные и неформальные процедуры, связанные с постановкой задачи, формированием ситуаций, целей, ограничений, вариантов решений и оценкой их предпочтений,

вней не рассматриваются. Эта концепция сформировалась и развивалась математиками и кибернетиками и была ориентирована в основном на решение задач в технических системах.

Попытка осмыслить причины принятия решений привела к возникновению дескриптивных моделей, в основе которых лежит пове-

116

денческая теория принятия решений, объясняющая, как фактически принимаются решения, а не предписывающая, какими должны быть решения. В ней используются психологические модели, в которых учитываются процессы и факторы, объясняющие реальное поведение лиц, принимающих решения.

В дескриптивных моделях учитывается то, что большое влияние на подходы к принятию решений оказывают личностные качества лица, принимающего решения. Люди по-разному относятся к риску, к оценке отдаленных последствий принятых ими решений, к воздействию их на достижение целей других людей и т.п.

Недостатком дескриптивных моделей является то, что в них практически не используются математические методы. Качественный описательный характер исследований в рамках этой концепции приводит к очень нечеткому представлению о закономерностях процесса принятия решений.

Комплексное использование нормативных и дескриптивных моделей характеризуется рациональным использованием интуиции и логического мышления, математических методов и вычислительных средств. Важной особенностью этой концепции является использование качественных данных, которые с помощью математических методов могут быть подвергнуты количественному анализу. Сочетание формальных и неформальных методов обоснования решений предполагает широкое использование экспертных оценок и человекомашинных процедур подготовки и принятия решений.

8.4. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МОДЕЛЯМИ

Линеаризация. Нелинейные системы трудно поддаются исследованию, поэтому их часто линеаризуют – каким-то образом сводят к линейным.

Идентификация. Задача идентификации состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, модели, характеризующей состояние системы в оп-

117

ределенной ситуации. Идентификация – решение задачи построения по результатам наблюдений математических моделей, описывающих поведение реальной системы.

Агрегирование. Операция состоит в преобразовании (сведении)

модели к модели (моделям) меньшей размерности.

Декомпозиция. Операция состоит в разделении системы (моде-

ли) на подсистемы (подмодели) с сохранением структур и принад-

лежности одних элементов и подсистем другим.

Сборка. Операция состоит в преобразовании системы, модели,

реализующей поставленную цель из заданных или определяемых подмоделей (структурно связанных и устойчивых).

Макетирование. Эта операция состоит в апробации, исследова-

нии структурной связности, сложности, устойчивости с помощью ма-

кетов или подмоделей упрощенного вида, у которых функциональная часть упрощена (хотя вход и выход подмоделей сохранены).

Построение комплексных методик обоснования решений предпо-

лагает применение взаимодополняющих методов структуризации,

характеризации и оптимизации, направленных на последовательное уменьшение неопределенности в процессе принятия решений.

Структуризация – это выделение основных элементов задачи и установление отношений между ними. Процедура структуризации позволяет получить в явном виде структуру задачи, т.е. упорядочен-

ную систему, удобную для последующего анализа. Результаты струк-

туризации отражаются в виде формальной символической записи,

схем, таблиц.

Характеризация – определение системы характеристик, количе-

ственно описывающих задачу. Определение вероятностей ситуаций,

приоритетов целей, предпочтений решений является примером ха-

рактеризации в задаче принятия решений. Проведение характериза-

ции приводит к более полному и точному описанию решаемой задачи по сравнению с фазой структуризации и дает исходные данные для последней фазы – оптимизации.

118

Оптимизация – это преобразование всей имеющейся информация в конечную форму – решение, соответствующее некоторым целевым установкам – критериям. Во многих случаях лицо, принимающее решение, осуществляет оптимизацию в неявном виде, опираясь на некоторые общие принципы и свои предпочтения.

Комплексный подход дает возможность сконцентрировать неформальное мышление на наиболее критических аспектах проблемной ситуации, в которой принимается решение. При этом выявляются и становятся более ясными скрытые предположения, мотивы поведения, аргументы: они логически включаются в модели процесса подготовки, принятия и реализации решения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что такое модель и моделирование?

2.В каких случаях необходимо и целесообразно моделирование?

3.Какие требования предъявляются к моделям?

4.Назовите и охарактеризуйте цели моделирования систем.

5.Назовите и охарактеризуйте задачи и функции моделей.

6.Назовите и охарактеризуйте основные свойства моделей.

7.Назовите и поясните основные признаки классификации моделей.

8.Назовите и охарактеризуйте критерии качества моделей.

9.Назовите основные этапы жизненного цикла модели.

10.Дайте определения познавательной, прагматической и инструментальной моделям.

11.Что такое изоморфная и гомоморфная модели?

12.Что такое нормативная и дескриптивная модели?

13.Назовите и охарактеризуйте основные операции над моделями.

119

9. СИСТЕМНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Слишком сильное обобщение ведёт к бессмыслице. Наиболее плодотворным является доста-

точно сильное обобщение, ограниченное, по счастью, конкретными реалиями. (Альфред Норт Уайтхед)

9.1. ПРИНЦИПЫ СИСТЕМНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Л. Заде сформулировал «принцип целостности», согласно которому большие системы нельзя описать точно, на основе единой модели. Зависимости между элементами большой системы разнообразны, сложны и зачастую не всегда определены, в результате чего построение единой модели оказывается затруднительным или вообще невозможным. Поэтому для целей моделирования больших и сложных систем используется многоуровневое (иерархическое) описание, причем иерархическая структура системы не является фиксированной, а определяется конкретными целями и задачами исследования.

Для всестороннего изучения системы требуется множество моделей. Отражение сложной системы в целом обеспечивается взаимодействием упрощенных моделей. Иначе говоря, система должна быть описана в нескольких функциональных пространствах, которые следует согласовать между собой в некотором «надпространстве», обладающем большей общностью. Синтез этого пространства позволяет обнаружить новую сущность. Сравнение результатов, полученных на разных моделях, отражающих различные грани сущности сложной системы, могут служить важным средством исследования. Несовместимость, противоречивость моделей допустима: это и показатель уровня знаний, и стимул к дальнейшему развитию.

Для практического применения модели требуется, чтобы в распоряжении исследователя были как обобщенное представление об изучаемом явлении, так и микроописание нюансов его функционирования, что необходимо для проверки строгости агрегированного образа

120