4. Статистические модели оптимальной области

Полученная на основе ПФЭ или ДФЭ адекватная статистическая модель может быть использована для целей оптимизации ХТП.

Применяя один из методов оптимизации (например, метод крутого восхождения или метод Нелдера-Мида), можно достигнуть области оптимума исследуемого процесса (почти стационарной области). После того как достигнута область оптимума, возникает задача исследования поверхности отклика. Описать поверхность отклика оптимальной области линейным уравнением в большинстве случаев невозможно из-за большой кривизны поверхности. Для адекватного математического описания области, близкой к экстремуму, требуется многочлен более высокой степени, чаще всего применяют полиномы второго порядка.

Естественно, что при возрастании членов уравнения регрессии увеличивается количество необходимых опытов.

Согласно основным правилам обработки результатов эксперимента, чтобы получить второй порядок по фактору, он должен принимать в ходе эксперимента как минимум три различных значения. Следовательно, можно было бы предложить полный факторный эксперимент на трех уровнях, т.е. ПФЭ типа 3 . Однако количество опытов в таком эксперименте при > 3 явно не удовлетворяют требованиям о минимизации затрат, поэтому ПФЭ типа 3 применяется сравнительно редко.

Дробный факторный эксперимент и симплекс-планирование также не нашли широкого применения.

Чаще всего используют центральное композиционное планирование эксперимента (ЦКП).

Центральными планы называют потому, что они симметричны относительно центра плана. Слово «композиционное» говорит о том, что план получается добавлением (композицией) определенных точек к плану полного или дробного факторного эксперимента первого порядка. Ядром таких планов являются: ПФЭ 2 при < 5 (n — число факторов), ДФЭ 2 −1 при 5 6 6 7, ДФЭ 2 −2 при > 7.

59

При планировании второго порядка нет такого плана, который удовлетворял бы всем условиям (2.1)-(2.3) и минимизации числа опытов. Поэтому существует несколько различных планов, в которых за основу принято какое-то одно свойство. Наиболее распространены центральные композиционные ротатабельные (ЦКРП) и ортогональные (ОЦКП) планы [2]. Наиболее простыми являются ортогональные планы (рис. 4.1а), они применяются тогда, когда достаточно точно известна область оптимума. Наиболее универсальны ротатабельные планы (рис. 4.1б). Их применение с наибольшей вероятностью обеспечивает получение адекватных моделей, хотя формулы для определения коэффициентов при использовании этих планов более сложны. Планы Хартли, представляющие собой разновидность ортогональных планов, хотя и с меньшей вероятностью обеспечивают получение адекватных моделей, используются в тех случаях, когда стремятся получить модель процесса при наименьших затратах времени и средств на проведение эксперимента.

4.1.Ортогональное планирование

Если линейное уравнение регрессии в результате статистического анализа оказалось неадекватным, то поступают следующим образом:

–добавляют к ядру плана (ПФЭ или ДФЭ) 2 «звездных» точек, расположенных на осях координат факторного пространства на расстоянии ± от центра плана (координаты «звездных» точек (± ,0, . . . ,0), (0,± , . . . ,0), . . ., (0,0, . . . , ± ); величина называется «звездное плечо»);

–увеличивают число экспериментов в центре плана 0: точки с координатами (0,. . .,0).

На рис. 4.1a приведена схема ОЦКП для = 2. Точки 1, 2, 3, 4 — ПФЭ 22; точки 5, 6, 7, 8 — «звездные» точки с координатами (± ,0) и (0, ± ).

Количество опытов в матрице ОЦКП определяется как

Построим композиционный план для = 2: количество опытов

= 22 + 2 · 2 + 1 = 9.

60

Рис. 4.1. Схема расположения опытных точек ОЦКП (а) и ЦКРП (б)

Эта матрица не ортогональная, ведь

Ортогональность композиционных планов можно достичь выбором значения «звездного плеча» .

Приведем значения для ортогональных планов 2 ( 0 = 1). Таблица 4.1

Коэффициенты матрицы для ортогональных планов

61

Уравнение регрессии при ортогональном ЦКП в общем виде будет следующим (например, для двух факторов):

Величины *1 и *2 введены для того, чтобы привести матрицу планирования к ортогональному виду, а коэффициенты определялись независимо друг от друга:

где j — номер опыта; i — номер фактора.

Для того чтобы получить уравнение регрессии в обычной форме

^ = 0 + 1 1 + 2 2 + 12 1 2 + 11 21 + 22 22,

находят величину

Приведем матрицу ортогонального ЦКП для = 2, = 1.

Значения *1 и *2 рассчитываются по формуле (4.2). Например:

*11 = 1 − 69 = 1 − 0.67 = 0.33;*51 = (−1)2 − 69 = 1 − 0.67 = 0.33;*52 = 0 − 69 = 0 − 0.67 = −0.67.

62

Для пересчета значений факторов в натуральные единицы пользуемся формулой пересчета

Матрица, приведенная выше, ортогональная, но не ротатабельная, т. е.

где j — номер опыта.

Коэффициенты регрессии при ортогональном ЦКП рассчитывают по следующим формулам:

Регрессионный анализ уравнения проводится по схеме, приведенной ранее. Для расчета дисперсий при определении коэффициентов регрессии используют выражения:

∑

=1

где ̸= , ̸= 0.

Коэффициент значим, если > T( , 2); 2 – число степеней свободы воспр2 . Заключительный этап — проверка уравнения на адекватность по критерию Фишера.

63