Моделирование систем. Учебное пособие

в области D в соответствии с некоторым случайным механизмом (например, по равномерному закону распределения), получим так называемый случайный поиск с локальной оптимизацией.

Рассмотрим более подробно процедуру такого поиска. Задается начальная

локальной оптимизации (например, градиентным спуском) производится поиск

локального минимума q1=q(͞x̅ 0). Если очередной результат лучше предыдущего в смысле целевой функции (q1< q0), то запоминается соответствующие

значения ͞x1* и q1. В противном случае (q0≤ q1) остаются прежние значения ͞ ̅*

0

и q0 попытка считается безуспешной. Поиск прекращается после того, как совершится µ безуспешных попыток улучшить результат.

Если количество локальных экстремумов заранее известно, то по заданному значению вероятности нахождения глобального экстремума можно с достаточной точностью оценить целое число µ. Пусть есть β минимумов, из них β-1 принадлежит областям D(ρ=1,2,….,β-1), а один – глобальный – областиD. Производится моделирование равномерно распределенной в области D случайной точки µ раз. Обозначим через Р вероятность попадания точки в

Задавая в формуле (39) Р͞ , всегда можно оценить целое число µ. Если количество локальных экстремумов заранее неизвестно, то целое число µ можно оценить экспериментальным путем. В процессе случайного поиска критерию останова µ можно заранее установить пределы изменения.

Очевидно, что по мере приближения к области минимума число следующих подряд реализаций µ будет возрастать. Количество неудачных реализаций в точке оптимума, естественно, становится бесконечно большим независимо от того, где находится эта точка – на границе области или нет.

Функциональная зависимость между критерием останова и относительной погрешностью , имеющей место при нахождении приближенного значения оптимума критерия q, устанавливается экспериментально. Для этого выбирается последовательность значений, µ1, µ2,…., µ . С помощью алгоритма случайного поиска с локальной оптимизацией находятся соответствующие приближенные значения 1, 2,…, 3 оптимума. Табл. 3.1 экспериментальных данных отражает функциональную зависимость между µ и q: q=q(r).

61

Таблица 3.1

При минимизации критерия q эта функция является убывающей и при возрастании µ функция q(µ) стремится к qmin. Кроме того, как показывают эксперименты, q = q(µ) можно аппроксимировать вогнутой функцией.

С помощью экстраполяции по экспериментальным данным оценивается qmin. Затем вычисляются относительные погрешности и формируется таблица 3.1 экспериментальных данных.

= − = −1 + / .

Эти данные можно представить в виде графика (рис. 3.14), который и используется как номограмма для оценки значения критерия останова по заданной относительной погрешности δq.

δq

0,03

0,02

Рис. 3.14. График зависимости критерия останова µ от относительной погрешности δq

Например, при δq=0,02 значение µ >7, а при δq = 0,3 µ >5 (см. рис. 3.14).

Таблица 3.2

Заметим, что для каждого критерия оптимизации необходимо строить свою номограмму.

Обычно значение критерия останова выбирается из практических соображений, исходя из наличия конкретной ПК, времени, точности поиска.

Случайные точки получаются на ПК моделированием равномерно распределённой случайной величины в гиперпараллелепипеде, задаваемом

62

условиями задачи НП xkmin≤ xi≤ ximax, i=͞1͞,͞m с последующей проверкой ограничений hk≤0, k=͞1͞,P. Такие точки х͞ D называются псевдослучайными.

Рассмотрим на примере возможность использования случайного поиска с локальной оптимизацией наискорейшим спуском. Поиск экстремума проводился на ПК по тестовой функции двух переменных.

Функция (40) в указанной области D имеет десять оврагов, изображенных на рис. 3.15 штриховыми линиями и осями координат, на дне которых имеется пять минимумов (точки пересечения штриховой линии и осей координат). Глобальный минимум находится в точке: 1 = 2 = 0, (0,0) = −2.

Рис. 3.15. Результаты поиска в области D

По формуле (39) при р=0,2 и α=1 можно оценить целое число µ из неравенства: (2525−−+ )Ԑ ≤ 0,2 , откуда µ ≥39.

На рис. 3.15 изображены результаты поиска в области D в виде траекторий. Как видно из рисунка, поиск сошелся к глобальному экстремуму с четвертой итерации. В связи с этим после 11-й итерации поиск прекращен.

Результаты поиска следующие: x1 =0,000953; x2 =0,006810; qmin=-1,992301.

Далее уменьшена была область D введением дополнительных ограничений вида x1+1,1 x2- 0,1 ≤ 0 и - x1+0,5 x2-0,5 ≤ 0.

63

В этом случае в области D находится только десять локальных минимумов. Тогда при Р = 0,2 и α= 0,51 целое число µ оценивается из

соотношения: (10−1−0,5110−I )Ԑ ≤ 0,2 , откуда µ ≥15. Наилучший результат следующий:

x1=0,347632; x2 =0,0000019;

qmin = -1,078818 (10-я итерация).

Ясно, что результат довольно хороший.

Иногда в качестве псевдослучайных точек используются точки ЛПτ последовательностей из единичного m-мерного куба, так как считается, что они более равномерно, чем псевдослучайные, в нем распределены. Такой поиск обычно называют ЛПτ поиском. Недостатком изложенного метода оптимизации является его вероятностный характер, что приводит в большинстве случаев к невозможности оценки вероятности нахождения глобального решения.

Контрольные вопросы и задания

1.Сформулируйте многомерную задачу оптимизации технологического процесса (ТП).

2.Опишите частные случаи задачи оптимизации ТП в виде трех

моделей.

3.Приведите примеры задач оптимизации ТП.

4.Дайте общую постановку задачи НП.

5.Интерпретируйте задачу НП геометрически. Опишите геометрию поиска и свойства целевой функции (локальный, глобальный экстремум).

6.Что такое градиент целевой функции? Как он вычисляется (аналитически и численно) и что характеризует?

7.Дайте определение области притяжения локального экстремума.

8.Как вы понимаете численную схему оптимизации? Чем она отличается от классической?

9.Как оценить эффективность численных методов оптимизации?

10.Опишите процедуру градиентного спуска. Объясните критерии

останова.

11.Охарактеризуйте метод наискорейшего спуска. Приведите пример.

12.Сравните геометрически градиентный спуск с наискорейшим.

13.В чем состоят особенности минимизации овражных функций?

14.Как можно учитывать ограничения в градиентных методах?

15.В чем заключается случайный поиск с локальной оптимизацией?

16.Как можно оценить критерий останова вероятными методами, когда число локальных экстремумов известно?

17.Как можно оценить критерий останова экспериментальным путем?

64

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Достоверную математическую модель объекта можно найти аналитическим путем. Для этого необходимо располагать всесторонними сведениями об объекте (конструкции, законах, описывающих протекающие в нем процессы, условиях функционирования и взаимодействия со средой). Однако часто из-за отсутствия достаточных данных получить решение задачи таким путем не удается. Трудности применения аналитических методов возникают и при описании реальных объектов, процессы в которых имеют сложный характер. Поэтому в подобных случаях эти методы дополняются экспериментальными исследованиями. Преимуществом моделей, полученных теоретическим путем, как правило, является их достаточно общий вид, позволяющий рассматривать поведение объектов в различных возможных режимах.

С практической точки зрения, более привлекательны экспериментальные методы, позволяющие находить модели объектов по результатам измерения их входных и выходных переменных. Хотя эти методы также предполагают наличие априорных сведений об изучаемом объекте, но их характер может быть не столь обстоятельным. Как правило, уровень априорных сведений должен быть достаточным лишь для выбора структуры модели и условий проведения эксперимента. Построение моделей объектов на основе такого подхода обычно называют идентификацией.

В соответствии с задачей пособия студент должен получить знания об основных особенностях и возможностях применения методов моделирования систем различных классов, для того чтобы уметь выбирать и предлагать новые методы моделирования при принятии решений в конкретных условиях.

Для выбора методов моделирования с самого начала развития теории систем и системного анализа применялись классификации систем, которые предлагались для того, чтобы ограничить выбор подходов к отображению системы, сопоставить выделенным классам приемы и методы системного анализа и дать рекомендации по выбору методов для соответствующего класса систем.

Учебное пособие способствует закреплению теоретических основ курса «Моделирование систем», излагаемого в процессе лекций. Дисциплина относится к вариативной части цикла учебного плана.

65

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Величко, С.В. Эконометрика: Теория и практика / С.В. Величко, И.О. Павлов, Ю.С. Сербулов, А.В. Лемешкин. – Краснодар: Пересвет, 2006. – 136 с.

2.Громов, Ю.Ю. Лабораторный практикум по дисциплине «Представление знаний в информационных системах» / Ю.Ю. Громов, Ю.С. Сербулов, Н.В. Акамсина, В.Е. Дидрих, А.В. Лемешкин. – Воронеж: ИПЦ Научная книга, 2011. – 222 с.

3.Громов, Ю.Ю. Лабораторный практикум по технологии

программирования / Ю.Ю. Громов, А.Ф. Рогачев, Ю.С. Сербулов, С.А. Сазонова, И.Н. Корнфельд, А.В. Лемешкин. – Воронеж: ВИВТ, РосНОУ

(ВФ), 2008. – 188 с.

4. Громов, Ю.Ю. Логистические транспортно-складские информационные системы / Ю.Ю. Громов, Ю.С. Сербулов, Н.Г. Новикова, О.Г. Иванова, А.В. Лемешкин. - Воронеж: ИПЦ Научная книга, 2011. – 132 с.

5. Моделирование систем и процессов: учебник / под ред. В.Н. Волковой, В.Н. Козлова. – М.: Юрайт, 2015. – 452 с.

6.Павловский, Ю.Н. Компьютерное моделирование: учеб. пособие / Ю.Н. Павловский, Н.В. Белотелов, Ю, И. Бродский. – М.: Физматкнига, 2014. –

304 с.

7.Сидоров, В.Н. Математическое моделирование в строительстве / В.Н. Сидоров, В.К. Ахметов. – М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007. – 336 с.

8.Павлов, И.О. Сетевые операционные системы / И.О. Павлов, Н.Д. Писаренко, А.В. Лемешкин. – Воронеж: ВГТА, 2004. – 196 с.

9.Сербулов, Ю.С. Администрирование в информационных системах / Ю.С. Сербулов, И.О. Павлов, А.В. Лемешкин. – Воронеж: Научная книга,

2006. – 216 с.

10.Сербулов, Ю.С. Интеграция информационного обслуживания пользователей / Ю.С. Сербулов, И.О. Павлов, А.В. Лемешкин. – Воронеж: Научная книга, 2006. – 164 с.

11.Сербулов, Ю.С. Объектно-ориентированное программирование / Ю.С. Сербулов, И.О. Павлов, А.В. Лемешкин. – Воронеж: Научная книга,

2005. – 132 с.

12.Сербулов, Ю.С. Математическое обеспечение этапов проектирования

информационных процессов и систем / Ю.С. Сербулов, И.О. Павлов, А.В. Лемешкин. – Воронеж: Научная книга, 2009. – 108 с.

13.Сербулов, Ю.С. Основы научного творчества / Ю.С. Сербулов, И.О. Павлов, А.В. Лемешкин. – Воронеж: Научная книга, 2006. – 216 с.

14.Яковлев, С.В. Теория систем и системный анализ: лабораторный практикум. / С.В. Яковлев. – М.: Горячая Линия-Телеком, 2015. – 320 с.

66

Учебное издание

Акамсина Надежда Валериевна Лемешкин Александр Викторович Сербулов Юрий Стефанович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Учебное пособие

Редактор Акритова Е.В.

Подписано в печать 27.01. 2016 г. Формат 60х84 1/16. Уч.-изд. л. 4,2. Усл.-печ. л. 4,3. Бумага писчая. Тираж 900 экз. Заказ № 28.

Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ

394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84