Моделирование систем. Учебное пособие

x͞

Объект управления

Рис.1.5. Схема управления: x̅ – неуправляемое воздействие (помеха);

y̅ – выходные переменные (управляемые величины); G̅ – управляющее воздействие

Заметим, что в контуре управления может быть задействован человек – в этом случае реализуется автоматизированное (человеко-механическое) управление.

Управление – процесс многовариантный: существует множество законов (стратегий) управления, позволяющих реализовать достижение той же цели. И выбор одного из них, обеспечивающего максимальную эффективность функционирования системы, является одной из основных задач. В этом случае говорят об оптимальном управлении.

1.3. Системный подход к моделированию

Необходимо помнить, что рассмотрение исследуемых объектов с позиций систем является основой системного подхода. Такое рассмотрение, как правило, проводится на двух уровнях – макроскопическом и микроскопическом.

Использование макроскопического уровня заключается в изучении системы как части системы более высокого уровня, общего ее поведения как целого и в оценке интегративных свойств. Предметом изучения являются входы и выходы. Система рассматривается как некоторый «черный ящик», внутреннее строение которого неизвестно, цель состоит в изучении взаимодействия рассматриваемой системы с внешней средой, принципов ее функционирования в условиях такого взаимодействия на основе построения модели «вход – выход».

Микроскопическое изучение сводится к детальному рассмотрению и описанию отдельных элементов, из которых состоит система, их связей, функций, эффективности и др. Другими словами, происходит изучение «внутренних» свойств и процессов системы, после чего осмысливаются интегральные характеристики системы в целом.

Изучение любой системы предполагает построение модели, отображающей определенную группу свойств системы и позволяющей предсказывать ее поведение в определенных условиях. Модель – это описание системы (углубленное описание – детализация модели). Такое описание, как правило,

11

рассматривается с трех точек зрения: морфологической, функциональной и информационной.

Морфологическое описание должно дать представление о строении системы. Глубина описания, уровень детализации определяются целью и назначением системы. Морфологическое описание изучает и рассматривает элементный состав, связи и структуры системы (подсистем) на уровнях иерархического расчленения (рис. 1.6).

система

подсистемы 1-го уровня

подсистемы 2-го уровня

Рис. 1.6. Иерархия морфологического описания

Функциональное описание (описание функции) так же, как и морфологическое, имеет иерархическую схему и отражает иерархию функций, процессов и параметров. Оно предусматривает изучение функциональных зависимостей между элементами системы, между элементами и системой в целом, между системой и внешней средой (другими системами).

Информационное описание должно давать представление об организации системы. Оно определяет взаимодействие морфологических и функциональных компонент системы в зависимости от качества и количества «внутренней» и «внешней» информации.

Совокупность задач, возникающих при изучении систем с позиций системного подхода, разбивается на три класса: синтез систем, анализ систем, оценка и принятие решений.

Синтез заключается в генерировании (построении) возможных вариантов системы. Различают синтез структуры (структурный синтез) и синтез параметров (параметрический синтез). Структурный синтез – это генерирование вариантов структуры системы (элементов и связей), а параметрический синтез – это определение параметров элементов при постоянной структуре.

12

Как правило, задачи синтеза возникают при проектировании систем (построении структуры, выборе функции, управлении и др.).

Анализ заключается в изучении свойств и поведения систем в различных условиях функционирования. В процессе анализа устанавливаются численные значения показателей эффективности систем.

Оценка и принятие решений заключается в общей оценке эффективности (полезности) системы на основе их анализа и выбора наилучших (если имеется несколько альтернативных вариантов, в частности, сгенерированных в процессе синтеза).

1.4.Системный характер технологических объектов

Вкачестве объекта исследования рассмотрим технологическую систему (Т-систему), которую будем понимать как совокупность средств технологического оснащения, предметов производства и исполнителей (человека-оператора), обеспечивающих осуществление заданных технологических процессов и операций в заданных условиях.

Всоответствии с определением к Т-системам можно отнести различные технологические объекты, такие как промышленные предприятия, технические комплексы, гибкие автоматизированные производства, поточные и автоматические линии, производственные участки и др.

Рассмотрим Т-систему с системных позиций. Такой подход позволяет расчленить ее на отдельные функциональные подсистемы и определить следующим кортежем системных элементов:

ТС = <ФН, Ф, СТ, К, О,͞q >,

характеризуется объектом производства, его ассортиментом и директивными показателями.

Ф Т-системы представляет собой процесс изменения предмета труда, когда последний получает заданные физические свойства, и характеризуется технологическим процессом (ТП). ТП состоит из согласованной последовательности операций, совершающих физико-химические и другие преобразования продукта согласно комплексу заданных свойств. В общем случае на ТП оказывает влияние большое количество случайных различной природы факторов. В связи с этим реальный ТП необходимо рассматривать в условиях действия на него шумового поля (он стохастичен). Стохастичность ТП приводит к тому, что основные выходные параметры Т-системы являются случайными и должны оцениваться математическими ожиданиями.

13

Структуру Ф удобно описывать ориентированным графом G=(TO,u), в котором в качестве множества вершин {TO} выступают технологические операции, а в качестве множества ребер {u} – материальные связи, характеризующие в процессе обработки потока продукции, передающиеся от одной операции к другой. В общем случае граф G реализует схему групповой технологии многоассортиментного производства. При этом одна и та же функция (Ф) может иметь различную организацию, т.е. структурно может быть реализована различными технологическими схемами.

Далее ТП можно по-разному расчленить на ТО и определить последовательность их выполнения. Возможность многократного выполнения ТО на одном и том же комплекте оборудования, возникновение на некоторых операциях нестандартной продукции (брака), устранимого путем повторной обработки, и др. приводит к различной организации циклов в ТП, все это влечет за собой количественные изменения в множествах {TO} и {u} графа G и, следовательно, различную структуру Ф.

Вариантность Ф также определяется качественными изменениями во множестве {TO}, а именно, заключается в возможности получения одного и того же результата различными способами (приемами) обработки.

Вариантность Ф приводит к необходимости оптимального синтеза ее структуры на основе заданной функции.

Под структурой Т-систем (СТ) будем понимать некоторую организацию ее посредством синтеза из отдельных элементов, обладающих определенными свойствами и характеризующих цель и назначение системы. СТ отражает качественный и количественный состав, множество связей между элементами и определяет основные свойства Т-системы.

В качестве элемента СТ можно считать ТО в совокупности с определённым для нее количеством технологического оборудования (функциональных узлов) и вспомогательными техническими средствами (перегрузчиками, накопителями заделов и др.) (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Структурный элемент системы: Пj – количество единиц оборудования;

Zj – емкость накопителя; X – вектор входных параметров; Y – вектор выходных параметров

Заметим, что вспомогательные технические средства можно не включать в состав элемента.

Структуру Т-системы также можно описать графом G = (TO , u), но уже здесь множество {TO} характеризуется элементами вышерассмотренного типа.

14

Связи {u} количественно описываются материальными потоками, объемы которых оцениваются величинами запусков (объемами продукции каждого сорта, требующей обработки в единицу времени). При этом связь между элементами считается жесткой, если z = 0, и гибкой, если z > 0 (z – емкость накопителя заделов).

На рис. 1.8 приведены типовые сопряжения элементов структуры. Структура реальной Т-системы образуется путем взаимодействия указанных сопряжений.

Рис. 1.8. Типовые сопряжения элементов технологической системы:

а– последовательное; б – сходящееся; в – расходящееся; г – параллельное;

д– с обратной связью

СТ Т-систем обеспечивает первичное пространственное представление о ее составе и связях (пространственную организацию), подлежащих помещению в окружающую среду.

Компоновка (К) сводится к задаче геометрического размещения (геометрической организации) составляющих систему элементов (графа G) в заданном производственном объеме или на заданных производственных площадях. Эффективность здесь оценивается сложностью, коэффициентом использования производственного пространства и др.

Организация Т-системы (О) – это актуализация и упорядочение связей и самих элементов. Она заключается в разработке схем взаимодействия материальных, энергетических и трудовых ресурсов со средствами производства во времени и пространстве с целью преобразования предмета труда в заданном направлении. Важнейшей компонентой О является организация управления, призванная обеспечить целенаправленное поведение Т-системы в условиях возможных изменений внешних условий и отклонений расчетных параметров системы.

Вектор q͞ Т-системы задается совокупностью качественных и количественных показателей эффективности, характеризующей свойства функционирования и структуры системы. Она может быть классифицирована

15

Такое представление предполагает наличие у элемента по крайней мере одного входа и одного выхода.

Поведение элемента будем рассматривать как последовательную смену его «внутреннего» состояния в некотором интервале времени. Такая динамика (динамический процесс), как правило, описывается системами дифференциальных или конечно-разностных уравнений.

В общем случае описание можно представить как

ut’=f[͞u(t), ͞x(t),t] , u͞(0)=͞u0; y(t)=h[͞u(t), ͞x(t),t],

где ̅(t) – р-мерный вектор, компоненты которого описывают состояние элемента в момент времени t; u͞ 0 – начальное состояние элемента; у(t) – n-мерный вектор выходов элемента; ͞x(t) – m-мерный вектор входов элемента.

В дискретные моменты времени динамика может быть представлена как система разностных уравнений вида

̅( ) = [̅( ), ̅( ), ] ,

где k = 0,1,2,3,,.. – порядковый номер, характеризующий последовательное дискретное время.

Заметим, что состояние элемента в каждый момент времени можно интерпретировать как некоторую точку в р-мерном пространстве состояний (фазовом пространстве). Тогда поведение элемента во времени можно представить в виде некоторой траектории (фазовой траектории) в пространстве состояний, которая описывается вектором функцией u(t)͞ .

Изучая элемент с позиций описания взаимодействия вход-выход, можно считать некоторым преобразователем входов в выходы в соответствии с правилами, определенными внутренним описанием:

где R(t) – символическое обозначение совокупности преобразования входа в каждый выход (оператор преобразования).

В частном случае при t= const (t→∞):

Системный элемент, обладающий вышерассмотренными свойствами, будем называть действующим элементом системы.

17

Например, предположим, что оператор R – линейный (линейное

и ͞y1=(y21,y22,….,y2m1) – выходные векторы.

Элемент E1 воздействует на элемент Е2 только таким образом, что Е2 через свои входы «принимает» значения всех или нескольких выходов элемента Е1.

Тогда можно записать:

для некоторых значений i и j , где = ̅̅̅̅̅1, ; = ̅̅̅̅̅̅1, . Очевидно, что равенство (3) должно быть выполнено хотя бы для одной пары значений ( i ,j ) иначе не было бы воздействия элемента E1 на элемент E2.

Введем квадратную матрицу S21, состоящую из m2 или n1 строк и столбцов в зависимости от того, m2≥ n1 или n1 ≥ m2. Элементы Sij матрицы определяются следующим образом:

= {1 при 2 = 1 , 0 при 2 ≠ 1 ,

= 1, 1, и = 1, 2.

Другими словами, элементы матрицы имеют значение I, если соответствующая составляющая вектора y͞ элемента Е1 принимается в качестве составляющей вектора входа х͞2 элемента Е2 , и 0, если этого не происходит. Матрица S21 примерно имеет вид:

0 … 0 … 1

S21 – нуль-единичная матрица, если хотя бы один ее элемент не является нулем.

18

Матрицу S21 назовем матрицей связи элемента Е2 с элементом Е1 (рис. 1.10). С ее помощью система равенств (3) записывается как x͞2=s21y1.

Рис. 1.10. Схематическое представление связи двух действующих элементов

Матрицу связи элементов можно обобщить для любых элементов системы Er и Ek независимо от того, связан Er с Ek или нет. Если элемент Er не связан с Ek , то соответственно Skr= 0 (0 – нулевая матрица, все ее элементы равны 0). С другой стороны, если Skr имеет все ненулевые элементы, то это означает, что каждая координата вектора ͞хk связана со всеми координатами вектора y͞r. В общем случае

Допустим, что система состоит из N элементов E1, E2 ,…, Ern, которые описаны входными векторами и выходными векторами, соответственно х͞ 1 , ͞x2, … x͞ n и y1,͞y2,…,͞yn.Тогда для каждой пары элементов можно записать векторное соотношение связи типа (4). В результате получается N (N-1) векторных равенств:

x͞ r=Skry͞ k,

Сформированные таким образом матрицы связи образуют в совокупности квадратную матрицу размером N на N вида

Матрицу S назовем матрицей связей системы в целом. Она характеризует сеть связей между всеми элементами системы и практически выражает структуру.

Матрица S является нуль-единичной, так как все нуль-единичные матрицы связей Skr выступают в виде ее элементов.

Исходя из вышеизложенного, взаимодействие любых двух элемента Er и Ek можно представить в виде векторных равенств:

xr=SkrRk(͞xk),

19

где Rk и Rг – операторы преобразований для элементов Ек и Er соответственно. Обобщая способ действия (6) на всю систему, получим:

действие системы в целом через действия отдельных ее элементов, образующих структуру систем.

1.6. Системы автоматизированного моделирования

Желание дальнейшего ускорения и упрощения процесса моделирования приводит к необходимости его автоматизации, создания инструментария в виде систем автоматизированного моделирования (САМ). Учитывая вышеизложенное, можно дать определение CAM.

Определение 5. Системой автоматизированного математического моделирования (САММ) можно называть организационно-техническую систему, состоящую из комплекса средств математического моделирования (КСММ), взаимосвязанных с группой специалистов (ЛПР), и выполняющую автоматизированное (человеко-машинное) моделирование.

Из определения следует, что к классу САММ могут быть отнесены САПР, АСУ, автоматизированное пакеты оптимизации и имитационного моделирования, экспертные системы.

Необходимо знать, что КСММ включает в себя семь видов обеспечения: математическое, программное, информационное, техническое, лингвистическое, методическое и организационное.

Математическое обеспечение (МО) – это совокупность математических методов, моделей, численных схем и алгоритмов, необходимых для моделирования.

МО формируется на основе теории и методов математики и математической кибернетики и включает в себя методы и модели аналитической и высшей математики (теорий линейной алгебры и функционального анализа, дифференциального и интегрального исчисления численных методов и конечных разностей и др.), вероятностные методы и модели (теорий вероятностей и математической статистики, информации и кодирования, массового обслуживания, марковских процессов, аппроксимации и экстраполяции, распознавания образов и др.), методы и модели оптимизаций

20