Моделирование систем. Учебное пособие

при всех:

= {( 1, 2, … , ): ∑ =1 = 1, > 0} .

Результат в виде множества 0 не может нас удовлетворить, т.к. он допускает целое множество решений. Естественно предположить, что окончательные решения следует искать среди элементов множества 0.

Имея в своем распоряжении множество компромиссных вариантов 0, ЛПР в большинстве случаев не может выбрать «наилучшие» из-за большого их количества и большого числа критериев их оценки. Поэтому актуальной задачей является сужение множества 0, выдача для оценки специалистам ограниченного числа решений. В каждом случае такое сужение можно проводить с учетом поставленных целей, конкретных условий (наличие определенной ПК, времени и средств), при помощи алгоритмов, разработка которых в настоящее время представляет важную для практики задачу. Естественно, сужение приводит к потере информации о множестве 0 и только ценой этих потерь можно более кратко его описать. Наиболее простым способом в решении указанной проблемы является покрытие множества 0 сетью с некоторым шагом по критериям с тем, чтобы в каждом полученном разбивкой гиперпараллелепипеде оставить по одному элементу множества 0. Длину шага можно выбирать из практических соображений на основе экспертного анализа. Более общим является использование алгоритмов распознавания образов.

Довольно часто для получения одного конкретного решения из множества Парето пользуются сведением задачи векторной оптимизации к задаче скалярной оптимизации путем выделения одного критерия (главного) и переводом остальных в разряд ограничений или построения глобального критерия в виде свертки целевых критериев.

Таким образом, решение задачи оптимального моделирования с векторным критерием качества осуществляется в два этапа – это выделение области компромиссов (решения оптимальных по Парето) и дальнейшее ее сужение на основе некоторой схемы компромисса в частном случае до единственного решения, оптимального с точки зрения ЛПР.

2.3. Некоторые типовые оптимизационные модели

Рассмотрение в качестве объекта моделирования технологической системы позволяет выделить по содержательной постановке ряд типовых оптимизационных задач.

1. Модель распределения ресурсов. Имеются некоторые ресурсы

R1,R2….Rm (сырье, рабочая сила, оборудование и др.) в количествах соответственно r1,r2,…,rm единиц. Эти ресурсы используются для производства

41

продуктов П1,П2,…,Пn. Для производства одной единицы продукта Пj требуется αij единиц ресурса . Причем каждая единица ресурса стоит рублей, а каждая единица продукта имеет цену Ц . Спрашивается: какое количество единиц и какую продукцию необходимо производить, чтобы максимизировать некоторую меру эффективности (прибыль)?

Рассмотренная ранее модель выбора оптимальной годовой производственной программы относится к рассматриваемому классу задач.

2. Задача о смесях. Из m видов исходных продуктов можно составить n

различных смесей (конечных продуктов). Известны затраты , = ̅̅̅̅̅̅1, всех исходных продуктов на единицу смеси каждого вида = ̅̅̅̅̅1, . Кроме того, заданы имеющиеся количества , = ̅̅̅̅̅̅1, исходных продуктов и цены , =

̅̅̅̅̅1, выпускаемых смесей. Требуется определить объемы выпуска смесей, при которых обеспечивается наибольшая эффективность (например, максимум суммарной стоимости выпускаемой продукции).

3. Модель загрузки оборудования. Допустим, что некоторый производственный участок выпускает n видов продукции, каждый из которых может быть произведен на m типах универсального оборудования. Известна производительность каждого i-го типа оборудования по каждому j-му виду продукции, а также лимит рабочего времени i–го оборудования. Требуется распределить различные виды продукции (задать некоторые пропорции) по типам оборудования таким образом, чтобы, например, обеспечивалась максимальная суммарная загрузка оборудования.

4. Задача о назначениях. На некотором производственном участке, выпускающем n видов продукции, имеется также n типов универсального оборудования. При этом на каждом оборудовании может производиться любой

определяющие эффективность использования i-го типа оборудования для производства j-го вида продукции (производительность, стоимость, надежность и др.). Тогда задача заключается в таком выборе n элементов из матрицы || || по одному из каждой строки и каждого столбца, чтобы максимизировать общую меру эффективности (в частности, суммарную производительность). Другими словами, требуется оптимальным образом назначить типы оборудования для производства каждого вида продукции.

5. Модели упорядочения. Пусть имеется n видов продукции, которые требуется обработать на m типах оборудования. Каждый вид продукции имеет свой технологический маршрут обработки. Известно время tij (i=͞1͞,͞n; j=͞1͞,͞m), необходимое для обработки i-го вица продукции на j-ом типе оборудования. Причем считается, что одновременная обработка нескольких видов продукции невозможна. При таких условиях у некоторого оборудования может образоваться очередь ждущих обработки видов продукции. Требуется определить такую очередность (последовательность) обработки продукции на

42

каждом типе оборудования, которая, например, обеспечивает минимум суммарной продолжительности обработки всех видов продукции, или минимум общего запаздывания обработки (запаздывание определяется как разность между фактическим и директивным сроком обработки по каждому виду продукции), или минимум максимального запаздывания, или минимум потерь, обусловленных запаздыванием, и др.

В такой постановке задача называется задачей календарного планирования или составления расписания.

6.Задачи управления запасами. Понятно, что с увеличением запасов в производстве, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, а с другой – уменьшаются потери из-за возможной их нехватки. Требуется определить такой уровень запасов, который обеспечивает максимальную эффективность производства (например, минимум ожидаемых затрат по хранению запасов, а также потерь из-за их дефицита; максимум производительности системы и др.).

7.Транспортная задача. В данных А1,А2,...,Аm пунктах производится некоторый однородный продукт в количествах соответственно a1,a2,...,am единиц. Этот продукт необходимо доставить в пункты назначения B1,B2,...,Bn, потребляющих этот продукт соответственно в количествах b1,b2,...,bn единиц. При этом, как правило, считается, что общий запас груза в пунктах отправления равен суммарной потребности в пунктах потребления, т.е.

∑ = ∑ .

=1 =1

В этих условиях требуется найти такой план перевозок, который обеспечивает в некотором смысле оптимум вектору показателей эффективности. В частности, если известны стоимости перевозки единицы продукции из Ai в Bj, то можно искать такой план, который минимизирует общую стоимость перевозок.

8. Модель оптимального проектирования. В процессах оптимального проектирования технологических систем требуется определить параметры X=(X͞ 1,….,Xm) системы таким образом, чтобы максимизировать меру эффективности функционирования системы: максимизировать надежность, быстродействие, точность, производительность и др., минимизировать – приведенные затраты, занимаемую площадь, время производственного цикла и др. Это обеспечивается варьированием параметров X в некоторой допустимой области D, которая формируется системой ограничений типа равенств, неравенств, дискретности и определяется требованиями технологии.

9. Выбор оптимальных режимов технологических операций. В общем случае критерии оптимизации режимов ТО являются функциями входов (͞X),

43

выходов (͞У,) управляющих воздействий (͞U) и времени. Тогда задача формализуется в виде

Соотношения (19) и (20) описывают соответственно статический и динамический режимы функционирования ТО. Требуется найти такие управления (режимы) U D, которые обеспечивают оптимум в смысле векторного критерия q. В качестве критериев оптимизации здесь могут выступать производительность, точность, надежность, показатели качества продукта и т.д.

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое физическое и математическое моделирование?

2.Что называется математической моделью?

3.Какие виды моделей возникают в процессе моделирования на ПК?

4.Классификация математических моделей.

5.Приведите пример алгоритмической модели.

6.Опишите типовую схему процесса моделирования.

7.В чем заключается синтез, анализ, выбор и принятие решений в процессе моделирования?

8.Какова роль ЛПР при моделировании?

9.Можно ли считать математическую модель системой?

10.По какими критериями можно оценить эффективность моделей?

11.Что такое адекватность математических моделей?

12.Дайте определение оптимальному моделированию.

13.Формализуйте задачу оптимального моделирования.

14.Определите модель оптимизации в условиях определенности и неопределенности.

15.Формализуйте модель выбора оптимальной годовой производственной программы.

16.Классификация моделей оптимизации.

17.В чем проблема векторной оптимизации?

18.Что значит оптимальные по Парето решения? Примеры.

19.Приведите типовые оптимизационные модели для технологических

систем.

44

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ

3.1. Градиентные методы

Напомним постановку многомерной задачи оптимизации технологического процесса (ТП). Объектом многопараметрической оптимизации (рис. 3.1) является ТП (система) с m управляемыми переменными

h1 h2 hp

Рис. 3.1. Графическое представление многопараметрического объекта оптимизации: ТП – технологический процесс

Информация о работе ТП оценивается при помощи его выходных показателей, один из которых представляет собой скалярный критерий качества оптимизируемого объекта:

= ( 1, 2, … , , 1, 2, … , = ( , ).

Управляемые переменные ( = 1, ) считаются независимыми друг от друга в процессе оптимизации и могут изменяться в заданных пределах:

Эти переменные характеризуют режимы функционирования ТП (температуру, давление, время, концентрацию и т.д.). В качестве критерия качества выбирается такой выходной показатель, который необходимо улучшить (привести к экстремуму – максимуму или минимуму) путем выбора управляемых переменных (производительность, точность, надежность, себестоимость и др.).

Неуправляемые факторы ( = 1, ) создают неопределенность при решении задачи оптимизации. Это сезонное изменение условий производства,

45

непостоянное качество сырья, случайные колебания режимов проведения технологических операций, случайные отказы в работе оборудования, неучтенные управляемые параметры и др.

Далее, ТП имеет P выходов (показателей hρ, ρ=͞1͞,͞),Ркоторые при оптимизации должны находиться в заданных пределах, определяющихся технологическими ограничениями. Например, пусть ТП оценивается производительностью Q, себестоимостью С и качеством продукции К. Тогда задачу оптимизации с учетом этих показателей можно сформулировать

изменяются медленно или Ԑj – постоянно, то q и h почти или совсем не зависят от переменных Ԑj. Тогда задача оптимизации записывается в виде

opt – оператор, реализующий нахождение максимума или минимума функции q. Если Ԑj изменяются значительно и в то же время измеряются, можно

рассматривать задачу (22) для каждой реализации вектора͞Ԑ.

Модель 2. Если переменные Ԑj – случайные величины с известной функцией плотности вероятности f(͞Ԑ), то можно определить математические

где ti (i=1….N) – моменты определения значений показателей качества q.

46

Тогда задача оптимизации может быть сформулирована следующим

Следует помнить, что при оптимизации усредненного значения функции качества q полученное решение в виде некоторого ͞x=͞x* в общем случае не обеспечивает экстремума функции q(͞x ͞Ԑ) для каждой реализации Ԑ (ti).

Модель 3. В общем случае ̅= Ԑ͞(t). Это приводит к тому, что оптимальное решение также является функцией от времени, то есть ͞X* = ͞Х*(t). В такой ситуации необходимо в ходе оптимизации за время t добиваться экстремального значения показателя качества для каждого момента времени:

Задачи (24) относятся к задачам оптимального управления и эквивалентны нахождению векторной функции ͞X(t) = ͞X*(t), доставляющей экстремум функционалу:

1

УТ = Т ∫ ( ̅( ), (̅ )) .

0

Пример. В научных исследованиях и практических задачах часто возникает проблема синтеза модели технологического объекта по наблюдениям его входа и выхода.

Допустим, что структура модели задана, то есть определен оператор связи ее входа и выхода с точностью до ряда неизвестных коэффициентов а = (a1,….a5):

Ум = ( , ̅) ,

где У – выход модели, X – ее вход, F – оператор связи (вид оператора предполагается заданным).

Оценку точности модели можно провести по скалярной функции невязки

где У0 – выход реального технологического объекта.

47

Понятно, что = ( , ̅).

Тогда задача синтеза модели сводится к нахождению таких ее параметров (коэффициентов) ͞a, которые минимизируют невязку (25). Другими словами, требуется решить следующую задачу оптимизации:

( , ̅) → min ,

̅

где D – область допустимых значений для ͞a.

Эта задача довольно просто сводится к задаче оптимального управления в условиях постоянного временного синтеза модели (ее адаптации) (рис. 3.2).

Модель ym

a͞

Оптимизатор q

Рис. 3.2. Схема оптимального управления в условиях самонастраивающейся модели

3.2. Общая задача нелинейного программирования. Постановка задачи

Не теряя общности, рассмотренные выше модели оптимизации сводятся к так называемой задаче нелинейного программирования (НП). Эту задачу будем записывать следующим образом:

где функции ( 1, … , ), ( 1, … , ), = 1, – в общем случае нелинейные. Если функции q, hk (k=͞1͞,P) линейны по ͞,x то задача (26) – задача

линейного программирования.

В (26) функция q( x)͞ называется критерием оптимизации (целевой функцией), функция hk(͞x) (k = ͞1͞,͞) Р– функцией ограничений, область D – областью допустимых решений; х D – допустимым решением (вектором, точкой). Допустимое решение, минимизирующее целевую функцию q( x)͞ , называется оптимальным решением, а соответствующее ему значение функции q( x)͞ – оптимальным значением.

48

Предположим, что в задаче НП (26) ограничения в области D заданы в виде равенств, то есть hk(͞x) =0, k = ͞1͞,͞. Р

Очевидно, что такая задача является частным случаем, так как каждое равенство hk(͞x) =0 можно заменить двумя неравенствами hk(͞x) ≤ 0, -hk(͞x) ≤0, а ограничения неравенства представимы в форме равенств введением дополнительных переменных zk так, чтобы hk(͞x)+zk=0, k=͞1͞,͞P.

Следует помнить, что задачу максимизации также можно записать в виде задачи НП (26), заменив q( x)͞ на -q ( x)͞ .

Геометрия поиска. Состояние объекта оптимизации (ТП) характеризуется вектором ͞X = (x1,…xm), который в m-мерном пространстве переменных определяет точку с координатами x1,x2,….xm. Функция q в каждой точке пространства имеет определенное значение, причем имеются поверхности равного уровня. Вспомним, что такие поверхности определяются равными значениями критерия оптимизации q, уравнения которых записываются в виде

где с – значения критерия оптимизации.

При m = 2 уравнения (27) образуют так называемые линии уровня

(рис. 3.3).

q(x1,x2)

Рис. 3.3. Образование линий уровня: ͞X*= (x1*, x2*) – оптимальное решение: а – общее; б – проекция на плоскость

Рассмотрим теперь, как в пространстве параметров ͞х представляются ограничения. Ограничения типа равенств hk(x1,…xm)=0, k=͞1͞,͞P уменьшают размерность пространства параметров, так как переменные x1,…xm, могут выбираться на поверхности, определяющейся пересечением гиперповерхностей hk(͞x), k =1͞,͞Рвсех ограничений одновременно. Например, при m = 3 решение

49

находится на поверхности h (x1, х2,x3) =0, которая и определяет двухмерное пространство оптимизируемых параметров (рис. 3.4).

x3

h(x1, x2, x3)=0

̅

0 x1

x2

Рис. 3.4. Пример ограничений типа равенств: ͞x* – оптимальное решение

Ограничения типа неравенств ( 1, 2, … , ) ≤ 0 образуют (высекают) в х-мерном пространстве параметров сферический многогранник, определяющий область допустимых решений D.

Уравнения hk( x)=0͞ являются уравнениями границы, разделяющей пространство параметров на две части – в одной из них hk( x͞) ≤ 0, в другой – hk( x)͞ >0. Сказанное иллюстрирует рис. 3.5.

Рис.3.5. Пример ограничений типа неравенств: q1>q2>q3>q4; ͞ x* – оптимальное решение; ОАВСЕ – область допустимых решений

Здесь нанесены линии уровня для функции q( 1 , 2), область допустимых решений:

При этом минимум показателя качества (критерия) достигается на границе области D. Необходимо знать, что в зависимости от вида критерия

50