Моделирование систем. Учебное пособие

Алгоритмическая модель

Программная модель

Рис. 2.3. Схема взаимодействия моделей в процессе моделирования

Иерархичность исследуемых объектов приводит к построению системы иерархических моделей различной степени детализации.

Число уровней в такой системе зависит от сложности объекта, целей и задач исследования. С этих позиций условно модели рассматриваются на трех уровнях: микро-, макро-, метауровнях. С первыми двумя мы уже встречались, третий используется для описания сложных устройств и комплексов, например, систем проектирования, планирования и управления, функционирования, информационных центров и др.

Наконец, рассматривая возможные способы построения моделей, можно говорить о теоретических и эмпирических.

Теоретические ММ создаются на основе теоретических исследований физических процессов и их закономерностей, на определении этим закономерностям соответствующих математических описаний.

Эмпирические (экспериментальные) ММ создаются на основе реального эксперимента путем регистрации значений ходов и выходов и дальнейшей их обработки. Для этих целей широкое применение нашли методы математической статистики, в том числе планируемого эксперимента.

Обобщенная классификация ММ приведена в табл. 2.1.

31

Необходимо помнить, что из самого определения моделей следует, что для каждой исследуемой системы (оригинала) можно построить сколько угодно моделей с различной степенью приближения как различной природы (физических, математических и др.), так и одной и той же природы. Процесс моделирования неоднозначен, и выбор в некотором смысле наилучшей (эффективной) модели представляет собой актуальную задачу.

Из вышеизложенного следует, что в общем случае модель – это некоторая система. Поэтому при ее построении очевиден системный подход и решение задач синтеза, анализа и принятия решений. Рассматривая процесс построения (создания) моделей с этих позиций, приходим к типовой схеме (рис. 2.4).

Система

оригинал

Рис. 2.4. Типовая схема процесса построения моделей

Необходимо знать, что процесс построения моделей проходит в несколько связанных между собой укрупненных этапов: постановка задачи, синтез модели, анализ модели, выбор и принятия решения, реализация модели.

Первый этап – постановка задачи – не относится непосредственно к процессу моделирования. Постановка задачи является предметом системного анализа и начинается с определения целей моделирования. Цели должны определяться сущностью решений, на получение которых ориентировано исследование системы (оригинала). При этом требуется помнить, что формулировка целей, с одной стороны, не должна быть слишком узкой (в этом случае моделирование нецелесообразно), а с другой стороны – слишком широкой (это может привести к безуспешной попытке решить сразу несколько

32

проблем путем моделирования). Кроме того, необходимо предвидеть возможность трансформирования или изменения целей в течение времени.

На основе целей исследования устанавливаются границы изучаемой системы, условий ее функционирования и необходимый уровень детализации моделируемых процессов. В постановку задачи также должны быть включены критерии оценки эффективности функционирования системы (оригинала) и возможные ограничения на их значения. Важным моментами являются описание потоков информации, обеспечивающих взаимодействие системы с внешней средой и внутренних элементов системы, описание ограничений на выделенные ресурсы.

Вторым этапом является синтез – формирование структуры и определение параметров модели. Структурный синтез заключается в построении (генерировании) в рамках поставленной задачи множества альтернативных вариантов моделей, отличающихся степенью детализации, учетом тех или иных особенностей и функционирования оригинала. При этом решаются следующие основные задачи:

определение размерности модели – выделение множества существенных переменных Ω (параметров оригинала), которые необходимо учитывать в модели;

выделение множества управляемых переменных X Ω;

выделение множества неуправляемых переменных ω Ω;

определение множества технологических параметров системы Т Ω. Технологические параметры описывают технологии в виде совокупности параметров, определяющих константы, предельные значения переменных и соотношения между ними.

Тогда в символической записи модель можно представить в виде множества взаимосвязей:

где q͞ – вектор показателей эффективности системы (оригинала).

В такой постановке заключительной задачей структурного синтеза является определение типов взаимосвязей F, формирующих модель (аналитические, эмпирические, дифференциальные уравнения, передаточные функции, имитационные схемы и алгоритмы и др.), и формирование их вида (линейные, нелинейные, квадратичные и др.).

Синтез параметров заключается в оценке (определении) параметров ранее сгенерированных структур взаимосвязей множества F. Этап анализа модели заключается в изучении ее свойств и поведения в различных условиях функционирования. Здесь проводится выбор и расчет критериев эффективности для каждой из построенных на этапе синтеза моделей. Эффективность математических моделей (ММ), как и любой другой системы, оценивается вектором показателей эффективности, которые, как правило, конфликтуют

33

между собой. К таким показателям можно, например, отнести универсальность, экономичность, точность.

Универсальность (гибкость) характеризуется возможностью использования ММ для различных задач исследования, степенью инвариантности к возможным изменениям во внутренней и внешней среде. Она определяется числом и составом входных и выходных параметров системы, учитываемых моделью.

Экономичность определяется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации (затратами машинного времени и памяти ПК).

Точность оценивается степенью совпадения значений параметров оригинала и значений тех же параметров, полученных с помощью ММ. Как правило, это некоторая мера, заданная в пространстве параметров – количественная либо качественная. Например, если параметры оцениваются количественно, то можно вычислить:

Ԑj=|͞yi-yj|, или Ԑj=|͠yi-yj|/yi,,j=͞1͞,n

где Ԑj – абсолютная или относительная погрешность модели по j-му выходному параметру; y͞i-yj – выходной параметр моделируемого объекта (оригинала); ˜yj – тот же выходной параметр, полученный на модели.

При необходимости сведения векторной оценки точности ͞Ԑ=( Ԑ1 …. Ԑn) к скалярной можно ввести меры:

Ԑmin=max|Ԑj| или Ԑmin= √∑=2 Ԑ 2.

Кроме указанных показателей эффективности ММ, можно еще назвать сложность (насколько просто математическое описание?), непротиворечивость (противоречат ли результаты моделирования в экстремальных областях реальным?), чувствительность (соответствуют ли малым изменениям параметров модели изменения ее выходных параметров?), реалистичность (соответствуют ли результаты моделирования тем случаям, для которых уже имеются фактические данные?), работоспособность (легко ли получать решения с помощью модели?) и др.

Особо остановимся на понятии адекватности модели.

Под адекватностью будем понимать пригодность ММ с точки зрения представлений исследователя в отношении достижения поставленных целей.

Из определения следует, что нельзя говорить об адекватности как об окончательном (одном) критерии выбора ММ. Адекватность характеризует лишь соответствие ММ объекту (оригиналу) в рамках заданных свойств, достаточного для решения поставленных задач исследования. Адекватные модели отличаются по точности, экономичности, универсальности, могут иметь различную степень сложности, работоспособности и др.

34

Необходимо помнить, что требования к модели противоречивы.

С одной стороны, она должна быть достаточно полной, т.е. в ней должны быть учтены все существенные переменные. С другой стороны, модель должна быть достаточно простой для того, чтобы упростить исследования на модели.

Она должна обеспечивать также высокую точность и степень универсальности, широкую область адекватности и в то же время быть экономичной и работоспособной. Поэтому окончательный выбор представляет собой сложную задачу теории принятия решений и, как правило, обеспечивается исследователем (ЛПР – лицом, принимающим решения). ЛПР оценивает общую эффективность (полезность) построенных моделей на основе проведенного анализа и принимает решения о пригодности моделей для дальнейших экспериментальных исследований (реализация модели).

В противном случае, если решение не принято, он может:

в рамках поставленной задачи провести дополнительный синтез альтернативных вариантов модели;

обеспечить дополнительный анализ по другим показателям эффективности (ранее не учтенный);

выдать информацию о необходимости изменения постановки задачи при условии, что он исчерпал все свои «внутренние» ресурсы.

Последний этап относится к получению результатов – проведению соответствующих экспериментов на модели. Здесь важно, чтобы ЛПР в своем распоряжении имел план проведения экспериментов, методы сравнения и обработки опытных результатов, средства управления проведением экспериментов и возможность корректировки моделей.

2.2. Оптимальное моделирование

Допустим, имеется некоторая система Е, функционирование которой (деятельность) зависит от значений вектора управляемых параметров X=(x͞ 1,x2, …., xm). Эффективность системы Е оценивается вектором численных критериев ͞q=(q1,q2 ….qs), причем qi =qi (͞x, ω͞͞), i=͞1,͞s (ω – вектор неуправляемых параметров). Тогда задачу выбора оптимального решения (управления) можно формализовать следующим образом:

( ̅, ̅) ≤ 0 , = 1,2,3, …

Здесь область D определяет выбор допустимых решений ͞x (характеризуется множеством технологических параметров Т и формируется совокупность ограничений типа равенства, неравного, дискретности,

35

функциональной связи). Оператор opt реализует некоторый принцип оптимизации (для определенности будем считать, что все критерии необходимо минимизировать).

Нужно знать, что в такой постановке модель (14) представляет собой задачу оптимального выбора решений с векторным критерием эффективности (качества) в условиях неопределенности.

Неопределенность характеризуется вектором неуправляемых параметров ͞ω. Если ͞ω=const, то задача (14) сводится к детерминированной и имеет вид

Посмотрим, как можно свести задачу (14) к виду (15).

Если ω͞͞ представляется в виде случайных величин (или случайных функций), распределение которых хотя бы приближенно известно, то в задаче (14) они заменяются соответственно их математическими ожиданиями. Этот прием применяется при ориентировочных расчетах, когда дисперсии случайных величин малы, а также когда qi. зависит от ω͞ линейно.

В целом случайный характер ͞ω приводит к моделям стохастического программирования, которые требуют специального рассмотрения.

Наиболее общий прием сведения задачи к детерминированному случаю заключается в следующем. Предположим, что можно зафиксировать значения вектора ω͞ , т.е. возьмем ͞ω=const и решим задачу оптимизации. Получим решения, оптимальные для заданной совокупности значений, назовем их локально-оптимальными. Тогда путем последовательной фиксации значений вектора можно получить целую совокупность таких локально-оптимальных решений, из которой выбирается либо строится окончательное решение на основе некоторого компромисса.

Пример. Модель выбора оптимальной годовой производственной программы.

Допустим, известен ассортимент продукции, предполагаемый к выработке на предприятии. Пусть j – номер соответствующего сорта продукции

( = 1, ). Известны также группы оборудования, реализующие переработку каждого сорта. Обозначим время переработки j-го сорта на ρ-й группе

оборудования через tρi ( = 1, ), реальный годовой фонд времени работы оборудования каждой группы через Tρ, затраты на переработку единицы измерения продукта через Cj , отпускаемую цену единицы измерения продукта через Uj. , объем выпуска j-сорта продукции через Xj.

Тогда задачу оптимизации программы выпуска продукции можно, например, записать так

36

Решение задачи заключается в следующем: необходимо определить оптимальную программу выпуска продукции для предприятия с точки зрения максимальной прибыли (критерия оптимизация) (18) таким образом, чтобы выполнялись ограничения по фонду времени работы оборудования (17) и по объемам выпуска продукции (18).

В частном случае, когда вектор ͞q имеет одну координату, задачи (14, 15) называются моделями скалярной оптимизации. В этом случае критерием оптимизации может быть экономический или конструктивно-технологический показатель качества проектируемой системы. Тогда область допустимых решений D представляет собой область определения критерия оптимизации, и в зависимости от его конкретных свойств и функций, входящих в ограничения, указанная задача относится к тому или иному типу и решается специально разработанными численными методами.

1.Задача линейного программирования. Если критерий оптимизации q и функции fρ, характеризующие ограничения в D, линейные относительно

переменных Xj , то задача оптимизации является задачей линейного программирования и может быть решена симплекс-методом.

2.Задача динамического программирования. Здесь процесс оптимизации заключается в поэтапном синтезе и последовательном анализе вариантов на каждом из N этапов. Критерий представляется в виде аддитивной

−1

Для решения подобных задач можно использовать схемы динамического программирования. В частности, эти схемы применяются и для решения задач сепарабельного программирования, когда критерий оптимизации и

37

ограничения представляются в виде суммы или произведения m функций одной переменной, т.е.

( ) = ∑ ( ), ( ( ) = ∏ ( )) и ( ) =

= ∑ ( ), ( ( ) = ∏ ( )).

3. Задача квадратичного программирования. В этом случае модель оптимизации характеризуется критерием в виде квадратичной функции и ограничениями в виде линейных функций

( ) = ∑ + ∑ ∑ , , − , > 0.

4.Задача выпуклого программирования. Если критерий оптимизации q и область допустимых решений D относится к классу выпуклых, то оптимизация может проводиться методами выпуклого программирования. Заметим, что задачи линейного и квадратичного программирования являются частными случаями задач выпуклого программирования.

5.Задача геометрического программирования. В этой задаче критерий оптимизации и ограничения представляются в виде полиномов вида

=1

6. Задача дискретного программирования. Любая модель оптимизации, в которой имеются ограничения типа дискретности по всем координатам вектора X͞ (полностью дискретная задача) или по отдельным его координатам (частично дискретная задача) относится к классу задач дискретного программирования. Частным случаем являются задачи целочисленного программирования. В них требуется, чтобы все или часть Xj были целыми числами.

Взависимости от вида критерия оптимизации q(͞x) экстремум (максимум или минимум) может быть локальным, глобальным, внутренним, граничным, условным и безусловным.

Вточке ͞X достигается локальный минимум, если q(͞x*) есть наименьшее значение функции q(͞x) в некоторой Ԑ - окрестности этой точки. Наименьший из всех локальных минимумов называется глобальным. Понятно, что если во всей

38

области D имеется один локальный минимум, то он будет глобальным. В этом случае критерий оптимизации q(͞x) называется унимодальным (одноэкстремальным). Если q(͞x) в области имеет несколько локальных минимумов, то он называется многоэкстремальным.

Экстремумы называются граничными, если они достигаются в граничных точках области D, и внутренними, если они достигаются во внутренних точках области D.

Если экстремумы критерия q(͞x) ищутся в условиях отсутствия ограничений на вектор ͞X, то они называются безусловными, в противном случае – условными.

Допустим, например, что в модели (15) используются два критерия q1(x) и q2(x), значения которых необходимо минимизировать. Область допустимых решений формально зададим отрезком оси действительных чисел x [а,b]. Характер изменения значений критериев в нормированном масштабе приведен на рис. 2.5, который показывает, что оптимумы (минимумы) по каждому из критериев достигаются в точках X1 и X2 соответственно для q2 и q1. Далее, для x [a,x1] и x [x2, b] критерии q2 и q1 ведут себя согласованно, одновременно уменьшаясь либо увеличиваясь. Поэтому эти области «не интересны» с точки зрения поставленной задачи. Рассматривая теперь область допустимых решений x [x2,x1], видим, что уменьшение значений критерия ведет к увеличению значений критерия q2, т.е. критерии конфликтуют.

2( )

2(2)

1(2)

2(1)

Рис. 2.5. Поведение критериев q1(x) и q1(x) x [a,b]

Этот конфликт отображается в определенную область в пространстве критериев {q} (рис. 2.6), которое называется множеством Парето (переговорным множеством, конфликтным множеством).

Свойства этого множества зависят от свойств критериев оптимизации и области допустимых решений D.

При таких условиях решения x D, которые определяют множество Парето, будем называть не худшими или конфликтными решениями. Множество не худших решений обозначим через М0.

39

q1(x)

q2 q2(x)

в

Рис. 2.6. Примеры множества Парето (Par): а – непрерывное; б – несвязное;

в– с изолированными точками

Вобщем случае для векторной модели оптимизации введем правило, позволяющее оценивать решения – безусловный критерий предпочтения (БКП).

Решение X2 безусловно лучше решения ͞x1(х̅2 х1) в смысле векторного критерия q͞ , если qi(͞x2)≤ qi(͞x1) для всех i и хотя бы одно неравенство строгое.

Если все qi(͞x2)= qi(͞x1), то решение x͞2 эквивалентно решению x͞1 (͞x2 x͞1).

Из всего множества D допустимых решений БКП выделяет подмножество M0 наихудших конфликтующих между собой, определяющих множество Парето. Другими словами, оператор БКП реализует принцип оптимизации по Парето.

Действительно (рис.2.6), x [a, x1], x1 , т.к. q2 (x1)<q2(x)и q1(x1)<q1(x). То же самое – x2 x [x2,b], в области те же [x1,x2] любые x конфликтуют по критериям.

Следовательно, решением задачи оптимизации с векторным критерием качества формально можно считать нахождение множества М0 не худших решений. В частных случаях для этих целей используются две следующие