Моделирование систем. Учебное пособие

(аналитические и численные схемы и алгоритмы скалярной и векторной оптимизации), методы и модели дискретной математики (теорий множеств, математической логики, автоматов, алгоритмов, графов, математической лингвистики и комбинаторики и др.), методы и модели принятия решений (теорий игр и статистических решений, принятия решений в условиях определенности, неопределенности и риска и др.) и др.

Программное обеспечение (ПО) – это совокупность «машинных» программ, необходимых для моделирования. Структурной единицей ПО является пакет прикладных программ (ППП).

Под ППП будем понимать функционально законченный комплекс программ, предназначенных для решения логически целостного класса задач.

ПО по своему назначению разбивается на общесистемное и прикладное. Общесистемное ПО – это стандартное обеспечение, поставляемое вместе

с ПК. В своем составе оно содержит операционные системы (управляющие программы, программы обслуживания, системы программирования, средства генерации) и комплексы программ технического обслуживания.

Основными компонентами прикладного ПО служат ППП, реализующие процессы моделирования, управления прикладными программами, организации диалога и взаимодействия с информационным обеспечением.

Информационное обеспечение (ИО) – это совокупность сведений (данных) необходимых для моделирования и представленных в заданной форме. ИО, как правило, строится в виде автоматизированных банков данных (АБД). Под АБД будем понимать совокупность баз данных (БД), ориентированных на различные этапы моделирования, и комплекс программных средств, обеспечивающий создание, централизованное хранение, накопление, обновление и использование информации таких баз. Такой комплекс программных средств называется системой управления базой данных (СУБД).

Под БД будем понимать совокупность взаимосвязанных массивов данных, относящихся к некоторой предметной области, хранящихся вместе в запоминающих устройствах ПК и организованных в соответствии с требованиями применяемого АБД.

Следует помнить, что в настоящее время используются три основных подхода при формировании структуры логических связей информации в БД, а именно: иерархический, сетевой и реляционный.

Схематическое изображение классификации информации в таких базах представлено на рис.1.11, 1.12 соответственно.

Техническое обеспечение (ТО) – это комплекс технических средств (КТС), обеспечивающий подготовку и ввод исходных данных, программную обработку и документирование данных, хранение информации и др. Структурно КТС строятся в виде одноуровневых, двухуровневых и трехуровневых систем.

21

Лингвистическое обеспечение разделяется на языки программирования и языки моделирования.

Языки программирования – известные алгоритмические языки, которые служат для записи программ, формирования прикладного ПО.

Языки моделирования (ЯМ) – языки, предназначенные для описания оригинала и процесса моделирования.

В качестве примера приведем GPSS – язык моделирования, ориентированный на описание процесса с дискретными событиями. Особенно хорошо приспособлен для моделирования систем массового обслуживания.

Методическое обеспечение – это совокупность документов, нормативов, устанавливающих правила отбора и эксплуатации средств обеспечения АСММ в процессе моделирования (методические рекомендации и указания, ГОСТы, стандарты предприятий и др.).

Организационное обеспечение – совокупность положений, инструкций, приказов, штатных расписаний, квалификационных требований и других документов, регламентирующих организационную структуру АСММ.

Структурно АСММ формируется в виде подсистем, которые обладают всеми свойствами системы, и, следовательно, имеет свой КСАМ, состав которого рассмотрен выше. По своему назначению подсистемы АСММ можно подразделить на моделирующие и обслуживающие.

Моделирующие подсистемы непосредственно реализуют процесс моделирования и обеспечивают получение конечных результатов (решений).

Обслуживающие подсистемы предназначены для обеспечения работоспособности моделирующих подсистем. К ним относятся подсистемы управления, информационного поиска, документирования, графического отображения и др.

Следует помнить, что только путем взаимодействия коллектива исследователей (ЛПР) с КСАМ происходит автоматизированное моделирование, результатом которого, как правило, является программный продукт (модель), представленный в форме программной документации

(рис.1.13).

Методическое

Принятие решений

Программная Лингвистическое Реализация моделей документация на Организационное

модель

Техническое

Рис. 1.13. Схема взаимодействия ЛПР с КСАМ

23

1.7.Экспертные системы

Вкачестве примера системы автоматизированного моделирования рассмотрим экспертные системы (ЭС).

Необходимо знать, что ЭС – это программные системы для ПК, моделирующие действия эксперта-человека при решении задач различного предметного назначения, на основе накопленных знаний, составляющих базу знаний (БЗ).

ЭС включает в себя, как правило, три основных системных элемента: базу знаний, машину вывода, интерфейс пользователя (рис. 1.14). База знаний (БЗ) содержит информацию о том, что известно о предметной части исследования в настоящий момент. Знания обычно представляются в виде фактов, процедур и правил манипулирования фактами, а также в виде информации о том, когда и как следует применять.

База знаний: факты, Эксперты наблюдения, анализ

Машина вывода

Пользователь Интерфейс пользователя

Рис. 1.14. Элементы экспертной системы

БЗ представляет собой более высокий уровень абстракции в записи информации, чем база данных, вследствие своего символьного, а не числового или буквенного содержания. Она создается людьми (экспертами). Группа экспертов обеспечивает загрузку в БЗ фактов, наблюдений и способов анализа ситуаций, которые записываются в виде символьных логических правил. Характерной чертой БЗ является возможность накапливания знаний в процессе функционирования ЭС. В современных ЭС, как правило, используются три основных способа представления знаний – это правила, семантические сети и фреймы.

Необходимо знать, что представление знаний, основанное на правилах, построено на использовании выражений виде ЕСЛИ (условие) – ТО (действие). Например: «ЕСЛИ значение критерия Фишера Fp в статистических исследованиях ТП меньше критического Fp<Fkp, ТО статистические данные однородны (они принадлежат одной генеральной совокупности) и др.». Правила обеспечивают естественный способ описания процессов, управляемых сложной и быстро изменяющейся внешней средой.

Семантическая сеть представляется в виде графа, вершинами которого являются описания конкретных объектов и соответствующих понятий, дугами – отношения между понятиями, отображающими связи, существующие между предметами и их свойствами.

24

Фрейм – это единица (квант, атом) информации, которая минимально необходима для описания объекта (предмета). Фреймы представляют собой локальные семантические сети иерархического типа. На самом верхнем уровне фрейма представляется фиксированная информация – факты, касающиеся состояния объекта, которые считаются истинными. На последующих уровнях расположено множество так называемых слотов. Слоты могут заполняться в процессе функционирования ЭС, что обеспечивает свойство адаптивности и настраиваемости данных.

Нужно помнить, что фреймовые представления знаний обеспечивают модульную структуру БЗ.

Машина вывода предназначена для обработки информации БЗ в соответствии с запросами пользователя, формирования и вывода решений.

Задача интерфейса пользователя состоит в организации обмена информации между системой (тоже машиной вывода) и пользователем. В мощных ЭС существует интерфейс на естественном языке, в менее мощных – разрабатываются специальные языки.

Компьютерную часть системы представляют компоненты технического и программного обеспечений.

Необходимо помнить, что ЭС – это человеко-машинные (автоматизированные) системы. Главное их отличие от обычных программных систем (САПР, АСУ и др.) заключается в том, что они манипулируют знаниями, а не данными.

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое система? Какие основные признаки характеризуют систему? Примеры.

2.Дайте определения структуры системы, эффективности и управления.

3.В чем заключается системный подход? Дайте характеристику морфологического, функционального и информационного описания системы. Приведите примеры.

4.Рассмотрите технологическую систему с системных позиций. Дайте определения функции, структуры, компоновки и организации.

5.Какие критерии оценки эффективности технологической системы вы

знаете?

6.Как осуществляется структурное взаимодействие элементов системы?

7.Дайте определение систем автоматизированного моделирования. Какие компоненты ее определяют?

8.Опишите схему автоматизированного моделирования.

9.Охарактеризуйте виды обеспечений системы автоматизированного моделирования.

25

2.ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1.Понятие моделирования. Математическая модель

Необходимо помнить, что в основе изучения систем и процессов их функционирования всегда лежит эксперимент – реальный или модельный. Суть реального эксперимента – это изучение свойств на самом физическом объекте. Например, непосредственное обеспечение режимов функционирования технологических операций в процессе производства некоторой продукции. Модельный эксперимент заключается в изучении свойств и поведения физического объекта (системы) не на самом объекте, а с помощью модели. Построение моделей и изучение свойств систем при помощи таких моделей называется моделированием.

Заметим, что выше мы уже в некоторой степени касались понятий «модель» и «моделирование» при изучении системного подхода и способов структурного описания действующего элемента.

В естественных науках наибольшее распространение получили физическое и математическое моделирование.

При физическом моделировании модель (макет) воспроизводит изучаемую систему (оригинал) с сохранением ее физической природы. Примером такого моделирования может служить изучение аэродинамических свойств летательных аппаратов путем продувки их моделей в аэродинамической трубе.

Разновидностью физического моделирования можно считать аналоговое. Необходимо знать, что аналоговые модели имеют физическую природу, отличную от оригинала, но в то же время сходные с оригиналом процессы функционирования. Аналоговые модели, например, используются при исследовании свойств вычислительной техники, функционировании систем, описывающихся системами дифференциальных или алгебраических уравнений и др. Для этих целей можно применять так называемые аналоговые вычислительные машины (АВМ).

Необходимо помнить, что физическое моделирование имеет ограниченные возможности, т.к. не всегда можно его использовать. Для этого достаточно указать такие объекты, как организационные, технологические, вычислительные системы, производственные процессы, которые практически не допускают своих физических аналогов.

Математическое моделирование основано на построении математической модели.

Под математической моделью (ММ) будем понимать концентрацию наших знаний, представлений и гипотез об оригинале, представленную в виде математических соотношений.

Для построения такой модели используется все многообразие средств современного математического аппарата – теория алгебраического, дифференциального и интегрального исчисления, теория множеств,

26

вероятностей и математической статистики, методы скалярной и векторной оптимизации, теория принятия решений, алгоритмов и структурного программирования и т.д.

Рассмотрим две системы: А и В. Предположим, что xA(t)͞ и ̅B(t) – входные векторы этих систем, а ͞yA(t) и yB(t)͞ – соответственно выходные векторы.

Тогда говорят, что системы А и В изоморфны по отношению друг к другу,

если

в любой момент времени t.

Из соотношений (8) следует, что реакция изоморфных систем на внешние воздействия должна быть совершенно одинаковой. Примерами таких систем могут быть типовое технологическое оборудование, типовые сорта выпускаемой продукции и др.

Понятно, что если систему А считать оригиналом, а систему В – моделью, то в реальных условиях соотношения (8) практически не обеспечиваются. Создавая модель В некоторой системы А, исследователь, как правило, стремится к некоторому ее упрощению, воплощая в модели те стороны и явления, которые ему необходимы с точки зрения поставленных целей, опуская при этом менее существенные, по его мнению, черты оригинала А. Другим способом упрощения модели является группировка и агрегирование состояний (параметров системы) путем более грубого построения связей между элементами.

В результате такого упрощения происходит сокращение размерности состояний исходной системы А. При этом каждому состоянию оригинала А будет соответствовать вполне определенное (одно) состояние модели В, однако определенному состоянию модели В может соответствовать несколько состояний оригинала А. В этом случае говорят, что система В гомоморфная по отношению к системе А. Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. система А не является гомоморфной по отношению к системе В. С другой стороны, из соотношения (8) видно, что изоморфизм является взаимно однозначным гомоморфизмом.

Учитывая вышеизложенное, можно считать, что модель есть система, гомоморфная по отношению к оригиналу. В общем случае она лишь приближенно описывает оригинал, оценивая те или иные его стороны и свойства.

Проведем некоторую классификацию математических моделей по способам представления свойств. Среди них можно выделить аналитические, имитационные, численные, алгоритмические, программные.

Аналитические – это модели, представляющие собой совокупность аналитических выражений и зависимостей.

27

Имитационные – это модели, основанные на машинном эксперименте, являются переложением на машинный язык описаний моделируемых объектов.

К имитационным моделям обращаются тогда, когда задачу невозможно сформулировать в виде аналитической математической модели или когда аналитические и численные решения становятся не эффективными из-за их громоздкости и ограничений на ресурсы.

Специальные программы генерируют различные конкретные реализации входного вектора x(t)͞ моделируемой системы и находят в соответствии с введенным в ПК описанием системы значения выходного вектора у(t). Полученные результаты обрабатываются в зависимости от целей моделирования.

Другими словами, эти модели позволяют имитировать процесс функционирования систем на ПК, производить при этом измерения и обработку интересующих исследователя характеристик.

Численные – это модели, представленные в виде различных численных методов и схем, как правило обеспечивающих приближенное решение задачи.

Алгоритмические – это модели, представленные алгоритмами в виде определенной логической последовательности выполнения операций на ПК.

Программные – это модели, реализующие алгоритмические модели на одном из языков программирования для ПК.

Указанные математические модели находятся в определенной взаимосвязи. Рассмотрим эту взаимосвязь в процессе моделирования. Допустим, требуется найти площадь некоторой криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a; x=b; y=0 и кривой y=f(x). Запишем это через определенный интеграл:

где F(x) – первообразная ([F(x)+c]=f(x)).

Алгоритмическая запись для модели (11) может быть представлена, например, как

где S01 – оператор формирования исходной информации (заданы a, b и функции f(х)); А1 – оператор нахождения первообразной; A2 – оператор вычисления F(b);

28

A3 – оператор вычисления F(a); A4 – оператор вычисления F(b)-F(a); Sl0 – оператор выдачи результата.

Следует знать, что алгоритм (11) записан на языке ЛСА (логических схем алгоритмов).

2. Численное решение выполним по методу прямоугольников (рис. 2.1),

( )

Рис. 2.1. Метод прямоугольников

Алгоритмическая запись формулы (12) на языке ЛСА может быть представлена в виде

S01A1↓1A2P3↑1A4A5 S10,

где S01 – оператор ввода исходной информации; A1 – оператор вычисления h=b-a/n; А2 – оператор вычисления yc=f(xi), = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅0, − 1; P3 – логический

оператор – проверяет условие на конец цикла по I; A4 – оператор вычисления R=y0+y1+….yn-1; A5 – оператор вычисления h*R; S10 – выдача результатов.

3. В качестве имитационной модели для решения задачи выберем метод Монте-Карло. Предположим, что 0 ≤ f(x) ≤ c (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Метод Монте-Карло

29

Опишем метод Монте-Карло. Следует помнить, что определенный интеграл – это площадь области G криволинейной трапеции, которую приближенно можно оценить следующим образом. Выберем N случайных точек, равномерно распределенных в прямоугольнике АВСD и обозначим через N, число точек, попавших в область G АВСD.

При N→∞ (N-велико), очевидно, что: I≈N1N.

Рассмотрим численное решение задачи. Для этого введем равномерно распределенную в прямоугольнике АВСD случайную точку:

( ; ), [ , ], [0, ].

Рассмотрим случайную величину Zi ,зависящую от ξ:

1, если ≤ ( ),= {0, если ≥ ( ), = 1,̅̅̅̅̅.

Тогда можно считать, что при N→∞:

= (∑ )/ .

=1

Алгоритмически это можно записать с помощью операторов:

S01 – ввод исходной информации; А1 – розыгрыш на ПК равномерно распределенной точки (ξ, h ) (имитация); А2 – вычисление f(ξ); Р3 – проверка условия h ≤ f(ξ); А4 присвоение zi=1; А5 присвоение zi = 0; А6 – вычисление R=R+Z (предполагается, что для i=I; R=0); Р4 – проверка условия на конец цикла по i; A7 – вычисления I=R/N; S10 – окончание вычислений и выдача результатов.

Тогда ЛСА:

S01↓1 А1 А2 Р3 ↑2 А4 Ω ↑3 ↓2 А5 ↓3А6 Р4 ↑1A7S10,

где Ω – оператор безусловного перехода пo стрелке (переход к выполнению оператора А6).

В общем случае взаимодействие указанных моделей в процессе моделирования на ПК может быть представлено в виде рис. 2.3.

Если рассматривать классы моделей с позиций системного подхода, то можно говорить о концептуальных моделях (структурных), характеризующих морфологические свойства и концепции, функциональных и информационных моделях различного назначения, а именно структурного и параметрического синтеза, анализа, выбора и принятия решений.

30