МиФ, математика и филология (лекции о математике для филологов)

По образному замечанию известного переводчика А. Гелескула, «чтоб было „так”, надо, чтобы стало иначе».

Кроме того, наличие во многих языках непостоянных ударений (не обозначаемых в тексте) также затрудняет формаль- но-компьютерный перевод. Например, слова ворочаться è ворочаться, консерваторский è консерваторский имеют разный смысл в зависимости от места ударения, а вопрос: «Ну, как корма?» – может подразумевать совсем разное, в зависимости от того, идет ли речь о корабле, о животных или используется какое-то переносное значение.

То есть для правильного понимания необходим уч¸т контекста (предыдущих и последующих слов и выражений) и определ¸нный уровень знаний читающего (тезаурус).

Также затрудняет формальный перевод «мелочишка суффиксов и флексий в пустующей кассе склонений и спряжений» (В. Маяковский), играющая огромную роль в русском языке и придающая различный смысл словам с одним и тем же корнем :

Немудрено, что и спустя 40 лет формально-машинный перевод применяется лишь для узкоспециализированных текстов, да и то как черновой вариант, подлежащий правке.

Та же судьба постигла и попытки формального анализа ритмов и размеров стихотворных произведений: даже для самых «гладких» стихов бивалентное кодирование слогов (ударный – безударный) является недостаточным, необходимо трехили четырехвалентное кодирование.

Между тем роль ритма в любом художественном произведении (стихах, прозе, музыке, графике и живописи) чрезвычайно важна. В подтверждение привед¸м следующие высказывания:

…От планеты Земля до токарного станка и зв¸зд – вс¸ движется в едином ритме… Проза Флобера, например, иногда рифмована… Корсет в твор- честве – это размер, одеяние – слова, идеи… (Тудор Аргези.)

Ритм подсказывает вкусу, где надо заставить себя сдержаться, не заноситься, замкнуть уста. Ритм напоминает стилю, где он утрачивает особость, сбивается на известный лад, теряет необходимое выражение. Ритм регулирует мысль, дисциплинирует е¸… (Л. Зорин. Знамя. 2007. ¹ 9.)

61

Это и только что защищ¸нная в Чикаго диссертация Радислава Лапушина – поэта, читающего знакомые чеховские тексты как поэтические произведения, открывающего в них поэтическую ритмику, звукопись, поэтический синтаксис. (Вл. Катаев. Лит. газета. 2007. ¹ 8.)

Характерно высказывание одного из виднейших теоретиков программирования Д. Кнута: «Вс¸ решим, но руки не доходят!» На самом деле каждая новая (для формализации) область знания ставит новые задачи и требует новых подходов, хотя, в конечном счете, все они действительно в той или иной степени могут и должны быть формализованы и «решены».

Даже примитивные количественные подходы к объектам гуманитарной сферы – оправданны и, при разумном скептицизме, позволяют получить полезную информацию (например, частотные словари отдельных авторов и отраслей науки, обратные словари – по окончаниям, литературоведческие и криминалистические методы анализа авторства текста).

Опасными являются издавна бытующие спекуляции на математических результатах, стремление экстраполировать конкретные расч¸ты в область философии и теологии. Так, в XVIII веке Мопертюи, восхищ¸нный красотой вариационного принципа в механике, считал это доказательством (!) существования Бога, а Гвидо Гранди, анализируя ряд

1 – 1 + 1 – 1 + …

и получая для него два разных значения суммы (0 и 1/2), писал: «равенство 0 = 1/2 доказывает, что мир мог быть создан из ниче- го»!

Для XVIII века это более или менее объяснимо, но уже в XIX веке было доказано, что полученное противоречие является следствием недопустимых действий с расходящимися рядами. Удивительно, что и в наше время, на примере того же ряда (!) делаются похожие мистические выводы (например, в одной диссертации на соискание степени доктора философских наук). Недалеко уш¸л е¸ автор от английского поэта XVII века Александра Попа, восклицавшего:

Почто, о боги, в этом мире Должно быть дважды два – четыре?

Начиная с «архейской эры» ламповых компьютеров до современной эпохи виртуальной реальности и сети Интернет, оплетающей земной шар, предоставляющей возможности эффективного и

62

почти мгновенного общения со всем миром, уч¸ные и преподаватели сами учились работать с этой «мыслящей техникой», учили работать с ней студентов, инженеров, открывали новые области ее приложения и новые пути исследования. Они пытались привить новый менталитет, изменить предубеждение о невозможности ее применения в самых «человеческих» областях знания. При этом, конечно, возникали вопросы не только о возможностях новой техники, но и о том, кто кого учит: мы – компьютер (перефразируя известную песню «Такая у нас работа – учить их задачи решать») или компьютер – нас? Возникала (и продолжает развиваться) новая «компьютерно-информационная» парадигма.

Сегодня странно вспоминать то время, когда программы писались (и публиковались) «в кодах» конкретных вычислительных машин (все эти тома давно отправились в макулатуру), когда шли серьезные дискуссии о том, что может и чего не может вычислительная машина, нужно ли приспосабливать ее для анализа, редактирования и генерирования текстов (или оставить «богу – богово, человеку – мышление, а машине – вычисления»), когда на лекциях о возможностях вычислительных машин и их прогрессе нередко задавался вопрос: «А кому это надо?» (особенно в аудиториях партийной элиты и преподавателей «общественных» дисциплин).

Теперь никого не удивляют компьютерные эффекты в кинофильмах и на телеэкране, компьютерный перевод и правка текстов, восхищение компьютерами и компьютерными чудесами (порой раздражающее своей примитивностью – но это издержки роста). Однако возникает противоположная опасность, новая «компьютерная эйфория»: убеждение, что компьютер сам может справиться со ВСЕМИ проблемами, и даже без особых усилий со стороны людей – вот только надо, чтобы «технари» ещ¸ раз в 10 увели- чили быстродействие, добавили несколько гигабайтов памяти, да сделали несколько цветных экранов!

Показательна в этом отношении история развития взглядов на возможности автоматического, компьютерного перевода текстов с одного языка на другой. Вначале считалось, что проблема в принципе решена самим появлением компьютеров: нужно лишь ввести в память машины словари обоих языков и грамматические правила. Затем были осознаны столь значительные трудности (синонимы, идиомы, роль ударения и тональности, роль контекста и пр.), что разработки в этом направлении были приостановлены. И лишь много позже к ним вернулись, но сейчас смысл автоматического

63

перевода сводится к выработке подстрочника, подлежащего квалифицированной правке, да и то ориентированного на узкие специализированные отрасли знания со своим специфическим словарем и стилем изложения. И таким образом ведущие научные журналы переводятся и издаются в США за 2–3 недели!

При любом уровне развития вычислительной техники всегда найдутся такие математические задачи, с которыми эта техника справиться не может. Применение компьютеров требует существенного изменения образа мышления, менталитета, сочетания аб- страктно-философского осмысления задач и процессов с конкрет- но-формальным их описанием, которое может быть понято компьютером и им обработано. При этом многие клише устаревают, многие догмы и мифы уходят в прошлое.

Развитие вычислительной техники дает несравненно более наглядные примеры основных положений диалектики (переход количества в качество, отрицание отрицания, спираль познания и т. п.), чем традиционно кочевавшие по учебникам философии со времен Гегеля и Энгельса.

Рост быстродействия и объ¸ма памяти компьютеров последовательно приводил к переходу от кодирования программ к описанию задач на уровне вс¸ более обобщ¸нных процессов и моделей. Возникла идеология последовательно обобщаемых моделей Э. Тыугу, объектно-ориентированных языков, широкого использования визуализации, графического описания результатов решения задач (на несколько порядков более информативного). Вс¸ шире интерактивное взаимодействие с компьютером, создание «дружественных» интерфейсов, а в ближайшем будущем – словесных, семанти- ческих, голосовых способов работы с компьютером – и на уровне постановки задач, и на уровне управления ходом их решения.

Давняя идея интерактивного взаимодействия с компьютером и одновременного решения ряда задач не могла реализоваться при малой скорости их работы (общение с задержкой ответа на минуты напоминало беседу с сильно заторможенным собеседником), но легко реализуется при современных скоростях выполнения операций, персональных компьютерах, их сетях и параллельных процессорах.

Многие приемы организации вычислений, вынужденные для ранних одноадресных машин, были отвергнуты с появлением многоадресных компьютеров, но снова оказались эффективными при современных скоростях их работы.

Возникшее на ранних этапах многообразие языков программирования и вспомогательных средств, приводившее к несовмести-

64

мости программ для различных компьютеров, вызвало дискуссии о целесообразности создания единого языка, но не получило существенного развития, как и идеи языка эсперанто и его аналогов. Подобно тому, как человечество склонно сохранять своеобразие различных языков со своими выразительными средствами и традициями (плохо переводимыми на другие языки), так и языки программирования и их обобщения – оболочки, программные среды – обладают своей «территорией», областью наилучшего применения, и их унификация может привести к значительным потерям. Поэтому, как известно, литературные произведения невозможно перевести на другой язык без утраты каких-то образов или художественных средств.

Появление компьютеров привело к пересмотру многих понятий

èподходов во всех смежных науках – технике, экономике и пр.

Известно, например, что введение в СССР компьютеров серии

ЕС (попытки копирования IBM) потребовало существенных изменений в технологии химической и лесообрабатывающей промышленности: компьютеры не работали на плохой типографской краске и недостаточно гладких перфокартах!

Традиционная система подхода к ремонту любых изделий для компьютеров выявила е¸ серь¸знейшие недостатки: из-за отсутствия копеечных деталей (и копеечной стоимости ремонта) простаивала техника, стоимость эксплуатации которой оценивалась в сотни и тысячи рублей! Стало ясно, что платить нужно не за ремонт (при этом, как говорилось в одной из интермедий Аркадия Райкина, «у меня всегда будет твой кусок масла на мой кусок хлеба»), а за его отсутствие, за профилактику. Эта идея начала (к сожалению, очень медленно) проникать и в другие отрасли, даже в систему оплаты сотрудников детских садов: нужно платить им тем больше, чем меньше болеют дети.

Естественно, сильнее всего такое «обратное влияние» компьютеров сказалось в тех сферах знания, которые теснее с ними связаны, прежде всего в прикладной математике.

Почти сразу разделились взгляды на то, что считать решением задачи. Поскольку в те годы Институт математики РАН и ВЦ РАН размещались в одном здании, но на разных этажах, в шутку говорили, что есть разное понимание – «в смысле 2-го или 3-го

65

этажа». Задача считалась решенной «в смысле 3-го этажа», если для нее доказано существование (а еще лучше – единственность) решения – пусть и не предлагалось путей хотя бы приближенного его отыскания. Задача считалась решенной «в смысле 2-го этажа», если была составлена программа, по которой компьютер выдавал какие-то колонки цифр – пусть и отсутствовали доказательства близости этих цифр к действительному решению. Безусловно, эти шутливые определения – гипертрофия двух различных подходов, доведение их до абсурда.

Можно привести примеры, когда исследовались свойства математических объектов, доказывались и публиковались теоремы о них, а потом оказывалось, что таких объектов... не существует. И наоборот, известны примеры работы программ, результаты которых очень сильно отличались от того, что должно быть получено, поскольку не выявлялись важнейшие особенности рассматриваемого процесса. То есть необходимо согласование теоретических исследований и вычислительных процедур поиска решения с контролируемой точностью – для поиска ч¸рной кошки в т¸мной комнате нужно знать, что она там есть, а потом продумать метод поиска.

Наряду со строгими оценками скорости сходимости алгоритмов и трудо¸мкости задач, с выделением классов NP – полных задач (трудо¸мкость решения которых экспоненциально раст¸т с ростом их размерности), возникли оценки их практической реализации. При этом выяснилась существенная разница этих типов оценок.

Теоретически «безнад¸жная» задача о ранце с бинарными переменными (к которой сводится простейшая задача о выборе портфеля инвестиций, а также задача оценки и отбора перспективных проектов и многие другие) эффективно решается на практике для задач реальных размеров. То же относится и к известной задаче коммивояж¸ра.

Хотя теоретически симплекс-метод решения задач линейного программирования может сводиться к полному перебору вершин (и показано существование широких подклассов таких задач, когда это реализуется), практическая оценка числа итераций в н¸м имеет порядок 2m, ãäå m – число ограничений. К тому же эта эмпирическая оценка совпадает с вероятностной оценкой числа итераций13.

13 Филиппович Е. И., Козлов О. М. Об оценке числа итераций в некоторых методах линейного программирования // Математические модели и методы оптимального планирования. Новосибирск: Наука, 1966. C. 95–99.

66

Помимо необходимых теоретических исследований положения оптимума (максимума или минимума целевой функции) в задачах, сводимых к одному или нескольким критериям, зависящим от одного переменного (но достаточно сложного вида, затрудняющего этот теоретический анализ), получили широкое распространение интерактивные программы «панорамного» типа – анализ табулирования критериев в изменяемой области с изменяемым шагом. При наличии реальной нижней границы для шага изменения аргумента такие программы не теряют положение оптимума, но несравненно проще и нагляднее анализа уравнений для стационарных точек. Проще говоря, компьютер для таких задач выступает «противником» дифференциального исчисления!

Такая поляризация взглядов заставила вновь (после известных дискуссий об основах математики в 1930-е годы) обратиться к проблемам строгости в математике и вообще в «точных» науках и их соотношению с гуманитарными, «неточными» науками. Важнейшую (и не до конца оцен¸нную) роль в этом вопросе сыграли статьи и докторская диссертация Ю. Шрейдера, который показал теснейшую связь и размытость границ между ними. Им было показано (а скорее, подчеркнуто), что абсолютной строгости не существует, что «точные» науки далеко не так точны, как кажется. А гуманитарные науки, во-первых, вс¸ более математизируются, вс¸ больше используют точные методы (и для формального анализа текстов и тестов, и для психологических оценок, и даже для исследований в области эстетики), а во-вторых, существенно влияют на «точные» науки, прежде всего пут¸м формирования мировоззрения исследователей.

Очевидно также, что вся идеология иерархического введения основных понятий в языках программирования и в самих программах тесно связана с основными понятиями грамматики, разложением всех понятий по укрупн¸нным «ящикам» категорий и типов (глаголы, существительные, прилагательные и т. д., времена и падежи аналогичны типам переменных, файлам и идентификаторам в программировании).

Работы в области искусственного интеллекта, то есть попытки передать компьютеру хотя бы часть задач, относящихся к компетенции человеческого мозга, выявили не только отсутствие адекватного аппарата для их формализации, но и пробелы в традиционно формализуемых областях – логике, методах классификации. Д. А. Поспеловым и его сотрудниками было показано, что «на бытовом уровне» не работают ни традиционные при¸мы клас-

67

сификации (они должны зависеть не только от формальных правил, но и от менталитета и образа жизни тех, кто осуществляет классификацию), ни формальные правила «аристотелевской» логики (кванторы всеобщности, понятия «всегда» и «никогда» в реальных условиях означают «как правило» и «чаще всего»).

Соответственно, в формализованных моделях и методах полу- чили «права гражданства» эвристические при¸мы, продиктованные соображениями «здравого смысла» и зачастую ускоряющие процесс решения задач, принятия решений (но отнюдь не гарантирующие этого). Более того, во многих задачах возросла роль «человеческого фактора». Появилась даже аббревиатура ЛПР – лицо, принимающее решение, вмешивающееся в ход решения и выбор той или иной модели; широкое (почти обязательное) распространение получили «дружественные интерфейсы» и диалоговые, интерактивные процедуры решения задач.

Наличие различных подходов к формализации и методам решения задач привели к необходимости введения для их оценки нетрадиционных критериев – красоты и наглядности модели и алгоритма.

Красивые самолеты лучше летают! (А. Туполев.)

Теория должна быть красивой. (П.-А.-М. Дирак. Лекции по квантовой теории поля. В оригинале «Physical Law should have mathematical beauty».)

Теперь, в частности, алгоритмы предпочитают описывать не громоздкими детальными блок-схемами и формальными операторными цепочками, а наглядными и ясными структурными схемами.

Близка к этому подходу и «идеология» Мефистофеля:

Знамением XX века можно считать появление термина «информационные технологии», фактически объединившего не только все процессы обработки и преобразования информации (то есть всю статистику, все формы отч¸тности с их детализацией, получением различных срезов данных и их агрегированием), но и все процессы математического моделирования. Если обыч-

68

ные, «материальные» технологии сводятся к различным процессам преобразования материальных объектов (материалов, веществ, заготовок и т. п.) в иную, конечную, измен¸нную форму, то новые, информационные технологии имеют дело с описаниями этих объектов, их математическими или информационными моделями. Поскольку возможности компьютеров стремительно растут, вс¸ более широкий класс реальных процессов допускает более или менее адекватное математическое описание (в форме расч¸тных, имитационных или – корректнее всего, но и сложнее всего – моделей оптимизационного типа), информационные технологии постепенно захватывают вс¸ большую часть деятельности человечества, заменяя и экспериментальные методы «проб и ошибок», и сугубо эвристические или основанные на традициях и производственном опыте предыдущих поколений рекомендации наиболее рациональных решений. Конечно, все математиче- ские модели не вполне описывают исследуемые процессы, в них всегда присутствуют те или иные упрощения (иногда обоснованные оценкой роли менее значимых факторов, иногда продиктованные той формой задачи, в которой е¸ легче решать, «принципом фонаря», под которым светлее и легче искать решение). Вс¸ же они дают более обоснованные рекомендации – тем более, если указаны условия, при которых применение этих моделей достаточно корректно. Основная трудность при построении и анализе оптимизационных моделей заключается не в проблеме решения возникших математических задач, а в том, что нам никогда не известно, какими критериями руководствуется природа в различных процессах.

Эту трудность подч¸ркивал академик Н. Н. Моисеев, цитируя Нильса Бора: «Нельзя на одном языке описать никакое сложное явление» и указывая различный выбор природой своих целей в разных ситуациях.

Уместно напомнить определение, которое в сво¸ время дал Т. Л. Саати исследованию операций: это «искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются ещ¸ худшие ответы другими способами» (Математические методы исследования операций. М.: Воениздат, 1963).

В свете отмеченной выше связи между гуманитарными и «точными» науками немаловажно мнение Е. С. Вентцель, что у прикладной математики (или «информационных технологий») много общего с гуманитарными науками – например, в использовании аналогий между различными моделями и в ассоциативном мышлении.

69

Изменение менталитета, отношения человечества к формальным математическим моделям и их компьютерным реализациям позволяет поднять на новый, более общий и высокий уровень весь процесс построения и анализа моделей и рассматривать их «с высшей точки зрения».

Одновременно возникают проблемы коренной перестройки процесса образования, преподавания тех или иных конкретных дисциплин. ×åìó нужно учить школьников и студентов – по традиции ли формальным правилам (как это делают в большинстве американских учебных заведений) или концепциям, общим подходам к постановке и анализу проблем (что делается в лучших отечественных вузах)?

Изменение отношения человека к компьютеру достаточно хорошо характеризуют строчки студенческого фольклора механи- ко-математического факультета Ростовского госуниверситета 60-х годов (при определ¸нной устарелости упоминаемого языка программирования):

Наш век привн¸с свои черты В решенье важной темы: Машине мы нес¸м цветы, Слагаем ей поэмы!

Èза не¸ вино мы пь¸м, Что пенится в стакане,

Èвдохновенно ей по¸м Поэмы… на ФОРТРАНЕ!

Разработка и применение математических моделей в естественных науках, особенно в физике, химии, технике, имеет большую историю и является уже достаточно привычным (хотя во многих случаях и здесь возникают проблемы адекватности моделей, правомерности их применения, трудности проверки результатов, например, в геологии, где повторить эксперимент невозможно).

Совершенно иначе обстоит дело с моделированием изучаемых процессов в гуманитарных науках, к которым многие склонны относить и экономику. Наличие плохо формализуемого «человеческого фактора», реакции людей на экономические условия и преобразования, на воздействие рекламы и других средств СМИ существенно затрудняет построение моделей и их проверку на адекватность, возможность использования результатов анализа математических моделей в практической деятельности. На этом основании часто делается вывод о полной неприменимости (или, мягче, об очень ограни- ченной применимости) математических моделей в таких науках.

70