МиФ, математика и филология (лекции о математике для филологов)

Ðèñ. 12. График плотности распределения усеч¸нной нормальной случайной величины f x

С помощью функций распределения можно решать все возникающие задачи оценки характеристик («статистик») для процессов, где участвуют случайные параметры.

Пример. Случайная величина 8 задана функцией распределения

Задание 1. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение:

1)меньшее –3,

2)меньшее 1,

3)не меньшее 0.

Ответы на эти вопросы получим, используя функцию распре-

деления.

Вероятность того, что в результате испытания случайная вели- чина примет значение, меньшее 3, равна

P 8 − 3 F 3 F 0 0 0 .

51

Вероятность того, что в результате испытания случайная вели- чина примет значение, меньшее 1, равна

P 8 − 1 F 1 F 2 0 2 . 3 3

Вероятность того, что в результате испытания случайная вели- чина примет значение, не меньшее 0, равна

P 8 3 F F 0 1 1 2 . 3 3

Задание 2. Найти математическое ожидание случайной вели- чины 8.

Для этого найд¸м плотность вероятности по формуле

Математическое ожидание определяется по формуле

Задание 3. Найти дисперсию случайной величины 8. Дисперсия определяется по формуле

D 8 M 82 M 2 8 ,

52

8.Математическая статистика

èприкладные задачи

Он (Андрей Белый) в¸л курс практиче- ского изучения русского классического ямба и методом статистического подсч¸та разбирал вместе со слушателями его ритмические фигуры и разновидности.

Б. Пастернак

Связь и различие между теорией вероятности и математической статистикой. – Идентификация законов распределения по экспериментальным данным. – Приложения и связь с другими теориями. – Искусственная статистика и е¸ применения

«Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов» (РЭС).

Таким образом, речь ид¸т об использовании разработанных и упомянутых выше методов для применения в различных предметных областях – в данном случае в лингвистике, литературоведении и т. д.

Кроме тех задач, о которых уже было сказано (оценка параметров, идентификация функций распределения, расч¸т характеристик вероятностных связей, оценка вероятности превышения некоторого уровня), значительная часть математической статистики посвящена проверке гипотез – оценке адекватности сделанных предположений о виде функции распределения, о значении тех или иных параметров.

Широко практикующиеся в лингвистике и литературоведении оценки частот отдельных слов, выражений, стихотворных размеров и стилей с помощью этих методов получают тв¸рдую количественную основу, легко автоматизируются, перекладываются «на плечи» компьютеров. В частности, легко повторить и дополнить результаты монографии [6].

Те же методы позволяют исследовать вопросы авторства по анализу почерка и текста.

Косвенно связаны с математической статистикой (как приложениями теории вероятностей) разработанные новые подходы – уже упомянутая теория игр è теория массового обслуживания –

«теория очередей». Последняя позволяет, в частности, обосновать

53

тираж произведений искусства (печатных и изобразительных), оценить спрос и последствия решений менеджеров (зачастую – ошибочных, приводящих к значительным убыткам).

Теория игр в гуманитарных науках обычно не имеет в явном виде «противника», но почти всегда связана с «игрой против Природы», поведение которой, по выражению А. Эйнштейна, «не злокозненно, но неизвестно и замысловато».

Важной задачей математической статистики является и оценка объ¸ма словарей. Более или менее субъективный отбор «необходимого» запаса слов привел, например, к тому, что в 7 учебниках французского языка общими оказались лишь… 10 % слов! То есть учебники посвящены, по существу, разным языкам!

Статистика «своих» и заимствованных слов в различных языках позволяет достаточно над¸жно проследить историю развития этноса. В частности, в работах Вяч. Иванова и Олжаса Сулейменова именно на этом пути были сделаны попытки «восстановить» место прародины индоевропейцев. Любопытна статистика заимствований слов в разных языках, привед¸нная Вяч. Ивановым:

албанский язык – своих лишь 430 из 5140; китайский язык – своих лишь 25 %; английский язык – своих лишь 25–45 %.

Подобный анализ позволяет проследить связи между языками, а следовательно, и этническими группами, в частности – происхождение и видоизменения индоевропейских языков и их носителей.

Одной из важнейших задач прикладной статистики является

кластеризация – выделение групп объектов (областей представляющих их точек), объедин¸нных некоторыми общими свойствами, разбиение множества объектов на типовые группы, классификация их. Эти проблемы актуальны и в археологии, и в литературоведении.

В связи с возрастающим применением вероятностных и статистических методов возникает вопрос о роли случайности.

С одной стороны – это объективная реальность, практически все параметры окружающих нас процессов являются более или менее случайными, изменяющимися независимо от нас в большем или меньшем диапазоне. Поэтому уч¸т таких изменений необходим.

С другой стороны, такой уч¸т всегда усложняет возникающие задачи, делает их более трудными для решения, и неизвестно, нужно ли «платить» таким усложнением или можно ограничиться детерминированными задачами со средними значениями пара-

54

метров. Ответ на этот вопрос требует как раз решения стохастиче- ских задач и сравнения результатов.

Но есть ещ¸ и третья сторона вопроса об уч¸те случайности. При решении достаточно сложных детерминированных задач нередко возникают серь¸зные трудности – появление «оврагов» при зада- чах оптимизации, «зацикливание» процессов решения задач и т. п. И выход необходимо искать… в применении случайности, в организации случайного поиска, случайного «наброса» точек, то есть случайность оказывается хоть и медлительной, но «палоч- кой-выручалочкой». Тот же эффект да¸т использование так называемого «метода Монте-Карло» – статистической имитации почти любых сложных процессов (от ремонта локомотивов до изучения спроса и вкусов применительно к литературным произведениям).

Пример. Предположим, что нужно вычислить площадь плоской фигуры, содержащейся в некотором квадрате. Выберем в квадрате N случайных точек. Если из них N1 точек попали внутрь фигуры (что легко проверить при любых, сколь угодно сложных, условиях, ограничениях), то площадь этой фигуры приближенно равна отношению N1/ N. Площадь фигуры будет найдена тем точ- нее, чем больше значение N. Метод вычисления площади будет справедлив, когда точки будут не просто случайными, а равномерно разбросанными по всему квадрату.

55

9. Проблемы и перспективы современной прикладной математики

Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно расположилась в самых разных его частях и уголках.

В. Успенский. Математика в современном мире

Компьютеры и изменение подходов и возможностей. – Лингвистические переменные и функции принадлежности. – «Непостижимая эффективность математики»

Проблемы и перспективы современной прикладной математики в первую очередь связаны с развитием вычислительной техники. Стремительный прогресс е¸, рост быстродействия, объ¸ма памяти, удобства обращения, возможностей ввода и обработки текстов и изображений создали возможности для качественного скачка методов и подходов. Активно ведутся работы по словарному, голосовому вводу и дальнейшей интеллектуализации компьютеров. В перспективе предполагается создание «клеточного» компьютера, вводимого внутрь организма и регулирующего его функции.

Современная математика ставит и решает задачи, немыслимые для предыдущего, «докомпьютерного» периода, – анализ текста и его характеристик, модели рекламы, демографического и экономического развития, модели музыкальных произведений.

Это и «исторические» модели – анализ Пелопоннесских войн, модель «войны между Грецией и Римом» (то есть между странами с разным уровнем развития и разным менталитетом, агрессивностью), модели «ядерной зимы» – перспектив существования (точ- нее, несуществования, гибели) цивилизации на Земле даже после локальных ядерных войн. Нужно отметить роль в этих исследованиях академика Н. Н. Моисеева, работавшего в РГУ. Модель «ядерной зимы» имела безусловное значение в изменении отношения к перспективам холодной войны.

Развитие новых методов и моделей требует создания новых языков, специализированных для решения определ¸нных классов задач. Идея создания «универсального» языка опровергнута человечеством ещ¸ на уровне попытки строительства легендарной

56

Вавилонской башни. Формализованные языки не должны допускать неоднозначности истолкования текста – к чему может привести игнорирование этого требования, наглядно показывает при- тча о заячьей лапке и тр¸х желаниях, ею выполняемых.

Реальные языки обладают высокой избыточностью, что, по мнению палеолингвистов, является одним из существенных признаков, отличающих человека от животных (наряду с чувством юмора, по мнению французского писателя Веркора). Например, в языке эвенков существует 60 слов для обозначения снега, 50 слов для указания, как пройти. Избыточность, позволяющую заменять одни понятия другими, иллюстрирует и такой факт: в языке бушменов (по сведениям М. Корнфорта) нет слова «болеть», поэтому, например, при головной боли они говорят: «у меня есть голова».

Взаимодействие лингвистики и математики не ограничивается заимствованием при создании формальных языков (в том числе типа эсперанто) законов и особенностей языков реальных.

Наблюдение над реальными языками привело к введению в арсенал математики так называемых лингвистических переменных, не имеющих определ¸нного количественного значения, а отвечающих словам большой, средний, малый èëè высокий, средний, низкий и т. д. с определ¸нной степенью принадлежности, близкой к понятию вероятности, но не совпадающей с ним.

Целое направление современной математики основано на понятии лингвистической переменной. Больше того, краеугольное понятие программирования для ЭВМ – понятие идентификатора – имеет очевидное грамматическое происхождение и отвечает понятию èìÿ объекта, предмета, а все формальные алгоритмы возникли из простых «правил поведения», детально разработанных для нужд грамматики и этики. Даже терминология прикладной математики в значительной степени заимствована из гуманитарных наук (заголововок процедуры, лексико-графическое упорядочение объектов и т. п.).

С помощью этого аппарата оказалось возможным не только описывать рассуждения, более близкие к реальным рассуждениям, чем математическая логика, но и решать оптимизационные задачи.

В заключение заметим, что для современной математики, по существу, нет задач, которые она не могла бы более или менее адекватно изучать.

Характерными примерами являются попытки научить компьютер полноценному диалогу с человеком, необходимому в пер-

57

спективе для организации голосового, вербального управления им. Кроме простейших попыток, описанных в [11, 12], можно привести диалог, связанный с анализом басни Крылова «Ворона и лисица»11, точнее, с его недостатками.

Очевидно, что в таком «ответе» виноват не только компьютер!

11 La recherche, 1978; диалог в¸лся по французскому варианту.

58

10.Математические модели

èгуманитарные науки

Любая гипотеза хороша лишь тогда, когда получит подтверждение с помощью математики.

Леонардо да Винчи

«Точные» и «неточные» науки, их связь с менталитетом. – Проблемы перевода. – Математические и компьютерные модели в гуманитарных науках. – Искусственный интеллект, философские и теологические проблемы

Вопросы соотношения между формально-логическим и худо- жественно-образным путями познания являются крайне важными и с методологической точки зрения, и с точки зрения оценки возможностей применения математики в гуманитарных науках12.

Эти пути познания настолько различны по форме (и даже, по данным физиологии, ими ведают разные полушария мозга), что традиционно существует взаимное неприятие «гуманитариями» формальных методов, а «естественниками» – поэтических и образных «красивостей». Однако в последнее время это взаимное неприятие сглаживается, предпринимается все больше попыток «алгеброй гармонию проверить» и выявить гуманитарный компонент так называемого «точного» знания. Важные шаги на пути такого двустороннего сближения сделаны создателями структурной лингвистики и различных количественных подходов к анализу художественных текстов, формализации процессов создания музыки и обучения музыкантов, а также философами, ч¸тко показавшими, что, с одной стороны, в самых «точных» науках не вс¸ так уж точно (несмотря на известные слова А. Пуанкаре: «Можно сказать, что нами достигнута абсолютная строгость»), а с другой стороны, важнейшую роль в процессе любого творчества играет ментальность, система мировоззренческих взглядов, определяемая прежде всего гуманитарной культурой. Таким образом, «мы должны отказаться от

12 Эти вопросы уже затрагивались в начале курса, но здесь целесообразно продолжить их рассмотрение.

59

мысли, будто природа разделена на факультеты, подобно университетам. Разделение труда по дисциплинам перестало быть эффективным» (Р. Акофф).

Привед¸м несколько цитат на тему связей науки (математики) и искусства:

…Вся наука пронизана математикой как тело кровеносными сосудами, и соблазны математики вместе с кровью поражают прежде всего самое больное место науки – философию. (Фр. Горенштейн. Октябрь. 1996. ¹ 1.)

Математика подобна искусству – не потому, что она представляет собой «искусство вычислять» или «искусство доказывать», а потому, что математика, как и искусство, – это особый способ познания. (В. Успенский. Математика в современном мире.)

Наука и искусство «связаны между собой как л¸гкие и сердце, так что если один орган извращ¸н, то другой не может правильно действовать.

(Ë. Толстой.)

В любой области человеческого знания заключается бездна поэзии.

(К. Паустовский.)

Наука делает из человека специалиста, искусство делает из специалиста человека. («Число и мысль». 1980. Вып. 3.)

Следует отметить, что определенные основания для осторожного отношения к попыткам вторжения математики в гуманитарные науки имеются, – недаром довольно быстро рассеялась эйфория 60-х годов, когда на волне бурного прогресса вычислительной техники казалось, что все проблемы перевода с одного языка на другой могут быть легко решены введением в память ЭВМ словарей и грамматических правил. В действительности оказалось, что имеющиеся в любом живом (а не формальном) языке идиомы не только затрудняют перевод, но порой просто исключают возможность более или менее правильного перевода (не говоря уж об образности и художественности).

Так, известная английская поговорка «Make hay while the sun shines» (дословно: «Делайте (или сушите) сено, пока светит солнце») должна быть переведена как «Куй железо пока горячо».

Аналогично – дословный (машинный?) перевод фразы «Out of sight, out of mind» «Слепой дурак» на самом деле надо заменить поговоркой «С глаз долой – из сердца вон!».

60