МиФ, математика и филология (лекции о математике для филологов)

В. Хлебникова, Н. Гумил¸ва и многих других, в том числе современных, авторов:

Между поэтом и уч¸ным Лежит извечно полоса:

Один приш¸л открыть законы, Другой – на мир открыть глаза.

А. Марков

Интересно сопоставить два «слогана», распростран¸нных выражения – математики говорят: «Бог создал 0 и 1, остальное – дело рук человеческих» (то есть из первых простейших абстракций математики вывели огромное множество достаточно тонких законов мира)3, а на одном из телеканалов существует рубрика «Как искусство создало мир».

Существенно и то, что многие гуманитарии интересовались и интересуются возможностью применения математики, а многие представители естественных наук пытаются изучать проблемы искусства. Подтверждением являются работы А. Колмогорова, Ю. Шрейдера, Б. Раушенбаха.

Известный «компьютерщик» В. Губайловский на протяжении нескольких лет регулярно публикует статьи в журнале «Новый мир» и даже вед¸т там отдельную рубрику. Название одной из его статей весьма характерно: «Геометрия Достоевского». А в другой статье, посвящ¸нной процессам изменения языка, он заявляет: «Уч¸ным удалось построить математическую модель распространения новых слов»!

Один из самых популярных писателей последнего времени Ю. Давыдов отмечает: «Ошибки математические, будучи и логи- ческими, свидетельствуют об изъянах нравственных».

Определений математики существует множество. От философского определения Ф. Энгельса (весьма устаревшего и по объектам, и по методам исследования) до анекдотических «определений Шерлока Холмса» или фразы «Математика это то, чем занимаются математики». Одно из наиболее корректных определений таково:

«Математика – это методы построения формальных моделей различных процессов и анализа этих формальных моделей».

3 Прометей в трагедии Эсхила говорит:

Послушайте, что смертным сделал я...

Число им изобр¸л и буквы научил соединять.

11

Разумеется, при этом возможны упрощения, которые выхолащивают смысл изучаемых явлений и процессов, и обнаружение таких фактов требует пересмотра моделей (репликой «Тем хуже для фактов» здесь не обойтись). Яркие примеры несоответствия формальной логики действиям реальных людей неоднократно приводились, например, Д. А. Поспеловым. Как всякая формальная система, математика имеет и порождает свои «внутренние» проблемы, которые столь же важны для е¸ развития, как и поставляемые ей «внешние» задачи и проблемы. В этом отношении у математики много общего с гносеологией, наукой о познании, а формализованность моделей позволяет «в чистом виде» изучать закономерности познания.

«Потребители» математики (в первую очередь физики) давно и неоднократно отмечали «непостижимую эффективность математики» [30], обусловленную прежде всего общностью и абстрактностью моделей изучаемых объектов. Так, например, законы развития заболеваний и эпидемий формально совпадают с законами распространения публикаций, посвящ¸нных различным проблемам,

èприводят к одним и тем же закономерностям (законы Ципфа). Естественно, как и в гуманитарных науках, нас многому учит

история развития математических знаний, подходов и методов. Огромна заслуга арабской культуры – это и создание позиционной системы счисления (в ней до сих пор легко найти арабские следы – в чтении чисел справа налево), и введение символьных

обозначений, и многие термины – от алгебры äî алгоритма. Замечательны работы древнегреческих уч¸ных – от Евклида

(до недавнего времени преподавание геометрии во многих странах шло непосредственно по его «Началам…»), Пифагора, Диофанта до Архимеда (по сути заложившего почву для исчисления бесконечно малых величин).

В последнее время предпринимаются попытки формального рассмотрения проблем филологии. Например, «теория мифа» и классификация сюжетов сказок и преданий Леви-Строса или, из совсем недавнего, попытки классификации методов рекламы в СМИ и «иммунитета» к ним (статья Г. Дубова в «Литературной газете» (2006, ¹ 29)).

Метод остраннения в искусстве, по существу, очень близок к широко используемому в математике методу доказательства от противного.

Теснейшую связь между лингвистикой (как частью филологии) и алгеброй (как частью математики) можно проиллюстрировать знаменитой фразой Л. Щербы:

12

Глокая куздра штеко будланула бокра и кудрячит бокр¸нка.

Эта «бессмыслица» демонстрирует особенности построения русской фразы и перенос принципов алгебры в лингвистику: можно заменять условные «слова» Щербы конкретными словами и получать осмысленные фразы русского языка, например:

Рыжая корова сильно толкнула козла и гоняет козл¸нка.

Таким образом, если исследователь (в любой области знания) хочет получить над¸жные результаты, позволяющие дать коли- чественные оценки каким-либо выводам, ему необходимо построить формальную (математическую) модель изучаемого процесса и явления и исследовать его математическими методами.

Если, следя за каким-то явлением, наблюдатели увидят одно и то же, тогда это наука. Если увидят разное – не наука, а поэзия, ещ¸ что-нибудь, что угодно. (Б. В. Раушенбах.)

13

2.Язык математики

èего основные элементы

Математика больше похожа на разновидность общего языка, приспособленного для выражения соотношений, которые либо невозможно, либо сложно излагать словами.

Нильс Бор

А есть ли что на свете лучше и прекраснее, чем язык?

Разве не языком держится вся философия и вся уч¸ность?

Без языка ничего нельзя сделать – ни дать, ни взять, ни купить: порядок в государстве, законы, постановления – вс¸ это существует лишь благодаря языку.

Ýçîï

Слово, число и буква. – Антипатия к математике и е¸ преодоление (М-СПИД). – Язык любой науки – грамматика и алфавит. – Формализация логики. – Аксиомы, леммы, теоремы. – Теорема Г¸деля. – Компоненты и этапы построения любой науки. – Многоязычие. – Обобщения и обращение как внутренние причины развития науки

Каждая наука имеет свой язык, понять который «непосвящ¸н- ному» трудно. Вряд ли любому человеку будет ясен смысл медицинского диагноза, утверждений механиков, химиков, лингвистов. Имеет такой язык (может быть, точнее – диалект) и математика.

Солнце останавливали словом, Словом разрушали города!

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

А для низкой жизни были числа, Как домашний, подъяремный скот.

Потому что все оттенки смысла Умное число переда¸т.

Н. Гумил¸в

14

Основой этого языка являются символьные, буквенные обозна- чения рассматриваемых величин и операций над ними. Смысл их в том, что сформулированные законы сохраняют общность, какие бы конкретные значения ни принимали эти величины. Например,

a b b a, ab ba, a b 2 a2 2ab b2 ,

какие бы значения ни принимали a è b (2, 3, 10, 100...). Это прида¸т общность получаемым соотношениям и объясняет, почему рассуждения и выкладки ведутся «в буквах, а не в цифрах» (что, к сожалению, вызывает нередко вопросы у экономистов, воспитанных на популяризованных рассуждениях К. Маркса, изложении только на числовых примерах).

Рассмотрим простейший пример. Пусть цена товара каждый год снижается на 10 % (благородная фирма!). Какова будет цена через 10 лет?

Типичный (и, разумеется, неправильный) ответ – 0 рублей! Правильный ответ (0,9)10 начальной цены, то есть около 35 %! В общих, буквенных обозначениях, если доля уменьшения це-

íû â ãîä – q, то связь между начальной ценой c0 и ценой cn через n лет такова:

cn c0 1 q n .

По этой формуле легко посчитать изменение для любого уменьшения цены, а также ответить на вопрос, через сколько лет цена уменьшится в m ðàç:

Хотя основные элементы математических рассуждений, формальной логики были заложены Аристотелем, их формализация произошла в XVIII–XIX веках и составила предмет «математиче- ской логики». Е¸ основные элементы (алфавит): понятия «истинности» (true) и «ложности» (false), а также «кванторы» (значки) «всеобщности» и «существования» .

Их смысл очевиден: «всегда имеет место» и «существует». А придание им цифровых значений и введение обозначений для основных операций (И, ИЛИ, НЕТ или and, or, not) позволяет превратить логические рассуждения в своеобразное исчисление, формализовать и передать логику компьютерам.

15

Подобно обычным, естественным языкам, эти формальные правила «исчисления высказываний» играют роль грамматики специального математического языка. Эти правила определяются АКСИОМАМИ, простейшими исходными положениями, принимаемыми без доказательства и основанными на некоторых априорных свойствах изучаемых явлений. Такой аксиоматический подход – постулирование некоторых минимальных свойств и формальное изучение всех возможных следствий из них, ТЕОРЕМ, – характерен для современной математики. Хотя он в известной степени схоластичен, является наследием средневекового стиля, но он ч¸т- ко выделяет область изучаемых явлений, е¸ упрощ¸нное представление, которое позволяет выяснить те менее очевидные свойства, которые являются следствием принятых аксиом.

Легко привести примеры аксиом, как в математике, так и в филологии:

Для любого числа найд¸тся число, большее, чем данное. Любое явление может быть описано разными текстами.

Некоторые аксиомы пытаются доказать, обосновать – и они превращаются в теоремы. Или – порождают разные классы наук.

При этом возникает необходимость анализа системы аксиом, выделения их минимального набора. Для формальной логики таким минимальным набором и правилами «правильных» заключе- ний является «теория силлогизмов», предложенная ещ¸ Аристотелем и развитая позднейшими исследователями.

Пример умозаключения:

Все мужчины смотрят телевизор

Некоторые уч¸ные – мужчины

Некоторые ученые смотрят телевизор

Оно состоит из двух высказываний-посылок и высказывания, которое является выводом. Умозаключение называют правильным или правилом вывода, если высказывание-вывод истинно во всех случаях, когда истинны высказывания-посылки.

Для проверки правильности умозаключения можно использовать диаграммы. Рисуем множество мужчин в виде круга À (рис. 1), множество уч¸ных изображаем кругом Â. Êðóã Ñ изображает множество тех, кто смотрит телевизор. Круг À должен содержаться в круге Ñ, так как «все мужчины смотрят телевизор». Круг Â должен только пересекаться с кругом À, поскольку «некоторые уч¸ные – мужчины».

16

Очевидно, что круги Â è Ñ должны иметь общие точки, а зна- чит, высказывание «Некоторые уч¸ные смотрят телевизор» истинно, и, следовательно, рассматриваемое умозаключение является правильным.

Некоторые правила вывода имеют специальные названия. Примером могут служить правила вывода «modus ponens» и «Исключение „И”».

Следовательно, имеет место q

Иллюстрацией этого правила вывода является фраза «Все люди смертны, и Сократ – человек. Поэтому Сократ смертен».

2) Правило вывода «Исключение „И”»:

Имеют место p è q (свойства, утверждения) Имеет место p

Следовательно, имеет место q

Теоремы представляют собой концентрированные выводы из аксиом, полученные в рамках рассматриваемой системы моделей и помогающие вести дальнейшие рассуждения, не обращаясь к простейшим положениям, а опираясь на эти обобщ¸нные «ступеньки». Многие теоремы не дают прямого пути к решению поставленной задачи, а лишь утверждают существование этого решения. Поскольку всякая сложная задача представляет собой «поиск ч¸рной кошки в ч¸рной комнате», теорема играет роль утверждения, что кошка действительно находится в этой комнате, следовательно, можно организовать е¸ поиск. Характерным примером является шутливая «теорема Дирака», утверждающая, что существует оптимальное расстояние, с которого лучше всего рассматривать женское лицо (с меньшего расстояния видны мелкие недостатки, с большего – трудно рассмотреть его достоинства). Но никаких путей определения этого оптимального расстояния теорема не да¸т!

17

При анализе любой задачи исследователю приходится быть полиглотом, переводя эту задачу с одного языка на другой:

–исходное, словесное описание задачи (проблемы);

–е¸ математическая формулировка – система обозначений, связей, условий;

–геометрический смысл задачи, е¸ наглядная интерпретация;

–алгоритм решения – описание процедур, ведущих к решению;

–компьютерная реализация алгоритма и его проверка.

Как уже было отмечено выше, реальные процессы не всегда

идут «по Аристотелю», и с интерпретацией формальных выводов нужно быть осторожным. Но аксиоматический подход исключает «различное понимание» тех или иных терминов и понятий, что нередко имеет место в гуманитарных науках и является источником напряж¸нных споров. Однако существует область применения этой формальной системы, где е¸ использование да¸т безусловно верные результаты. Это теория электронных схем, лежащая в основе всех приборов, использующих микроэлектронику – от простейших электронных замков до сложнейших регуляторов, анализаторов и компьютеров.

Зачем господствуют над жизнью Задуманные кем-то звуки? Непостигаемые числа Невычислительной науки?

Н. Матвеева

Поскольку можно кодировать основные логические понятия числами 0 и 1, основным «внутренним» языком почти всех компьютеров является двоичная система счисления («арифметика гуингмов» – «мыслящих лошадей» из романа Дж. Свифта)4.

Переменная, принимающая только два значения – 1 и 0, именуемые «истиной» (true) и «ложью» (false), называется булевой переменной. Для булевых переменных определены четыре операции:

ÍÅ: 1 = 0, 0 = 1;

ÈËÈ: a b = 1, åñëè a è b одновременно не равны 0; a b = 0, åñëè a = b = 0;

хранящейся информации системы счисления е¸ основание должно быть 2 или 3; машины с троичной системой счисления строились, но не нашли дальнейшего применения.

18

È: a b = 1, åñëè a = b = 1;

a b = 0 в остальных случаях.

Булевы, или логические, операции можно применить к произвольным двоичным числам.

Любое число можно представить в двоичной системе счисления, то есть используя только две цифры – 0 и 1.

Задание чисел в двоичной системе счисления позволяет представить их с помощью двоичных индикаторов. Под двоичным индикатором понимается любое устройство, которое может принимать только одно из двух состояний. Например, электрическая лампочка включена или выключена. Для представления целого десятичного числа потребуется несколько двоичных индикаторов, так как каждый индикатор представляет одну двоичную цифру или один áèò. Например, число 367 в двоичной системе изображается с помощью 9 двоичных цифр, и для его представления в памяти компьютера необходимо 9 двоичных индикаторов (9 битов). Наибольшее десятичное число, представимое с помощью 4 битов, равно 11112 1 23 1 22 1 21 1 20 1510 .

Двоичная система счисления обладает неоценимым техническим преимуществом: она позволяет по неточным сигналам (зна- чениям тока) получать точное кодирование – ведь легко отли- чить наличие сигнала (1) от его отсутствия (0), но гораздо труднее отличить сигнал уровня 7 от сигнала уровня 6 или 8!

19

Фундаментальную роль в оценке возможностей аксиоматического подхода играет теорема Г¸деля, доказанная в 1931 году и утверждающая, что в любой формальной аксиоматической системе

есть факты (утверждения), которые в рамках этой системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

То есть обнаружение таких фактов требует обобщения, расширения этой формальной системы, пополнения или изменения аксиом. Тем самым выявляется путь развития математики как способа познания мира: выделение формальной упрощ¸нной системы, е¸ изучение, установление фактов, недоступных изучению в рамках этой системы, е¸ расширение и обобщение.

Результатом применения формальной логики и аксиомати- ческого метода к геометрии явилась система аксиом Евклида, но тут же обнаружился пример е¸ неполноты – знаменитый «Пятый постулат» о параллельных линиях, иллюстрирующий ту же теорему Г¸деля. Преодоление этой трудности Гауссом, Лобачевским и Больяи привело в XVIII–XIX веках к открытию «неевклидовых» геометрий.

Математические аксиомы – не всеобщие аксиомы. То, что справедливо в применении к отношениям между формой и количеством, часто оказывается вздором в применении, например, к истинам моральным. В этой области положение: «сумма частей равна целому» – в большинстве случаев оказывается неверным. (Эдгар По.)

Простейшей формальной системой, с которой знакомы мы все, является арифметика, выделяющая понятие числа и правила действий с числами. И на этом примере легко проследить отме- ченный выше процесс познания.

Начальная система – арифметика целых чисел, на которых определены операции сложения и умножения. Но уже в этой простейшей системе попытка обращения операций (по сумме и одному из слагаемых определить второе слагаемое, по произведению и одному из сомножителей найти второй сомножитель) заставила (и весьма давно) расширить е¸: ввести понятия отрицательных и дробных, рациональных чисел. Кстати, это обобщение довольно трудно воспринималось греками и египтянами, не так уж легко оно да¸тся и современным школьникам.

Обобщение операции умножения – возведение в степень, an. Введение нецелой степени и обращение этой операции опять-таки потребовало расширения системы и е¸ аксиоматики – появились

20