МиФ, математика и филология (лекции о математике для филологов)

Ðèñ. 7. График линейной зависимости ó = 0,54x + 0,19

функций – не имеющих производной ни в одной точке, полностью заполняющих единичный квадрат и т. п. Эти примеры крайне важны для понимания условий непрерывности и гладкости, но на практике не играют заметной роли. Они существенны как напоминание о «подводных камнях», которые могут встретиться при исследовании (хотя и крайне редко). То же относится и ко многим распростра- н¸нным методам. Словом, «не так страшен ч¸рт, как его малюют»!

Следует отметить ещ¸ один немаловажный момент в истории развития математики. В школе многим с трудом да¸тся геометрия, так как для решения геометрических задач нет «железных правил», требуется индивидуальный подход и пространственное воображение. И величайшей заслугой Рене Декарта было «сведение геометрии к алгебре», разработка основ аналитической геометрии.

Рассмотрим три примера использования аналитической геометрии.

Пример 1. В аналитической геометрии прямой на плоскости соответствует множество точек (x, y), удовлетворяющих линейному уравнению

y ax b.

Чтобы найти точку пересечения двух прямых, достаточно решить систему уравнений этих прямых. Так, точку пересечения прямых, уравнения которых y 2x 2 è y x 5, найд¸м, решив систему

) 2x y 2,

x y 5.

,

31

Получим точку

)x 1, ,y 4.

Пример 2. Из аналитической геометрии известно, что середину отрезка с концами в точках (a, b) è (c, d), определяет точка

a c ,b d !#. Использование этой формулы позволяет найти сере-

2 2

дину отрезка в любом абстрактном n-мерном пространстве, так как для этого не нужны геометрические построения.

Пример 3. Уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке (1, 3) имеет вид

(x 1)2 (y 3)2 25.

Круг, ограниченный этой окружностью, зада¸тся неравенством

(x 1)2 (y 3)2 −− 25.

Для нахождения уравнения касательной к этой окружности в точке 1, 1 дифференцируем по x обе части уравнения окруж-

ности и получаем

2 x 1 2 y 3 y 0.

Из полученного равенства найд¸м значение производной при x 1, y 1:

Искомая касательная – это прямая, уравнение которой y y x b, ãäå

y 1. 2

Точка касания должна лежать на прямой, то есть е¸ координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Поэтому

1 1 (1) b. 2

32

Отсюда получаем

b 3, 2

и уравнение касательной

y 1 x 3. 2 2

Наука, как и вс¸ познание мира человечеством, развивается, как уже было отмечено, по спирали. В ХХ веке возник обратный процесс: далеко продвинутые отрасли математики (алгебра, функциональный анализ и т. п.) получили «геометрическую интерпретацию». Было введено, разработано и получило распространение понятие функционального пространства. Не давая здесь его определения, отметим, что при этом сложные математические объекты могут рассматриваться как точки обычного геометрического пространства. На этом языке можно описывать и литературные произведения, тексты, отмечать сходство и различие классов статей и книг (например, характеризуя их длиной фраз и слов), оценивать множества сходных объектов, кластеры.

33

4.Интегральное исчисление

èего приложения

Мы очищаем место бою Стальных машин, где дышит интеграл,

Ñмонгольской дикою ордою!

À.Блок. Скифы

Обращение операции дифференцирования. – Грамматика и словарь интегрирования. – Необходимость введения «новых» функций. – Интеграл как площадь. – Методы вычисления интегралов

Выше уже говорилось, что основной путь развития математики – это обобщения введ¸нных понятий и операций, а также обращение введ¸нных операций. То же произошло с дифференциальным исчислением.

Обобщения были связаны с увеличением размерности аргумента – рассмотрение многих аргументов, функций от многих переменных, введение «частных производных» (по одному из многих аргументов), производных по направлению. Эти обобщения не представляли больших трудностей и были легко реализованы.

Обращение операции дифференцирования – поиск исходной функции (первообразной, интеграла) по е¸ производной – оказалось более трудной задачей. По шутливому выражению одного из самых остроумных преподавателей РГУ Е. Л. Литвера, «дифференцировать можно научить даже обезьяну, а интегрировать – не всякого студента»8.

И дело не в технических трудностях (они в настоящее время могут считаться снятыми, так как в программное обеспечение компьютеров теперь включены блоки, реализующие поиск интеграла, первообразной). Оказалось, что далеко не все элементарные функции имеют первообразную, выражающуюся через конечную комбинацию элементарных функций!

Как и в обращении арифметических операций, операций над величинами, обращение операций над функциями потребовало расширения класса рассматриваемых функций.

8 Л. Ландау научился дифференцировать функции в 12 лет, а интегрировать – в 14 лет.

34

Интегральное исчисление также имеет свою грамматику (общие правила) и свой словарь – значительно более сложный, чем при дифференцировании (табл. 6).

Кроме того, оказалось, что процедура интегрирования тесно связана с широким классом практических задач – вычисления площадей, объ¸мов, моментов инерции, осредн¸нных значений, решения уравнений, включающих производные, дифференциальных уравнений, описывающих различные динамические и распределительные процессы. Эти вопросы, на первый взгляд, далеки от проблем и интересов филологов, но хотя бы поверхностное знакомство с аппаратом математического анализа необходимо для изучения (по крайней мере, в общих чертах) теории вероятностей и математической статистики, «выход» которых в филологию очевиден и будет рассмотрен дальше.

И для этих задач создание интегрального исчисления позволило предложить общие методы, взамен индивидуальных при¸мов, например «метода исчерпывания», применявшегося Архимедом, или метода тонких сло¸в, применявшегося Кавальери.

Оказалось, что кроме поиска функции, обратной к производной (первообразной, неопредел¸нного интеграла – так как эти функции содержат произвольную постоянную Ñ), можно ввести

35

определ¸нный интеграл как разность значений первообразной в крайних точках отрезка, и эта разность представляет собой площадь под кривой (функцией), содержащейся под знаком интеграла на данном отрезке (формула Ньютона – Лейбница).

Геометрическая интерпретация производных (как углового коэффициента касательной к кривой в данной точке) и интегралов (как площади под рассматриваемой кривой) позволила разработать процедуры вычисления этих величин с требуемой точностью, особенно важные в связи с применением компьютеров.

В качестве примера использования интегрального исчисления рассмотрим задачу о вычислении площади плоской фигуры.

Для вычисления площади области (рис. 8), ограниченной параболой и прямой, достаточно вычислить определ¸нный интеграл.

Легко вычислить точки их пересечения: x 1 è x 4.

Параболе x y2 соответствуют две функции: y x (ветвь параболы, лежащая вы- ш е о с и X ) è y x (ветвь параболы, лежащая ниже оси X). Теперь рассматривае- м у ю о б л а с т ь м о ж- норазбить вертикальной линией, пересекающей ось X в точке x 1, на две части. На область, ограниченную сверху графиком y x и снизу графи-

êîì y x, è íà îá-

графиком y x. Площадь первой области находим, вычисляя определ¸нный интеграл

36

а площадь второй области, вычисляя определ¸нный интеграл

Сложив найденные величины, получим площадь всей области

S 4 19 27 9 4,5. 3 6 6 2

Формализация этих процедур повлекла за собой расширение и усовершенствование понятия алгоритма – последовательности действий, приводящих к получению нужных величин или функций. Это понятие является ключевым для работы с компьютером, но аналоги его легко встретить в других науках и даже в быту (алгоритм кипячения воды9 или молока, алгоритм анализа слова или предложения и т. д.). Вопросам построения и анализа алгоритмов будет уделено особое внимание при изучении основ

информатики.

Филологи же неоднократно, хотя и несколько поверхностно, обращались к понятию интеграла:

Народ есть некий интеграл Отдельных личностей, Которых Бог не зря собрал

Âтаком количестве.

Â.Уфлянд

9 Упрощение алгоритмов хорошо иллюстрирует шутливый «принцип чайника».

37

5. Множества, мера и их применения

Raffiniert ist der Herr Gott, aber boshaft ist er nicht. (Господь Бог изощр¸н, но не злонамерен.)

À. Эйнштейн

Мне казалось, что наиболее достоверно математическое знание. Однако обнаружилось, что многое в этой области, полагавшееся неоспоримым, страдает недостоверностью и что для достижения достоверности необходима новая математика, основывающаяся на более тв¸рдых принципах, нежели те, что до сих пор считались достаточными.

Б. Рассел

Множество – одно из основных понятий современной математики. – Действия над множествами. – Конечные, сч¸тные, континуальные множества. – Мера множества. – Структура. – Обобщения понятия интеграла. – Отображения. – Приложения

Âматематике, как и в большинстве других наук, процесс развития ид¸т по принципу «шаг впер¸д, два шага назад». Сначала, без особых обоснований, вводятся новые понятия и подходы. Если такой, несколько авантюрный, прорыв оказался удачным, позволил получить новые результаты (шаг впер¸д), возникает необходимость вернуться назад, оглядеться, обосновать введ¸нные понятия и методы, найти границы их применимости (два шага назад).

Таким обоснованием и понятия числа, и понятия функции, и роли новых классов функций явилась разработка теории множеств. Понятие множества фактически уже использовалось выше, но теперь его определение и использование необходимо уточнить.

Множество – простейшее, первоначальное математическое понятие, не определяемое, а лишь поясняемое примерами. Это – совокупность некоторых объектов (людей, слов, чисел, функций…).

Âкачестве иллюстрации можно представить множество в виде некоторой двумерной области как совокупности принадлежащих ей точек (непрерывной или дискретной). Характеристикой множества является его мера – аналог площади области или числа содержащихся в множестве точек, элементов.

38

Естественно, вводятся операции над множествами – пересече- ние, объединение, дополнение (также хорошо интерпретируемые областями на плоскости и тесно связанные с математической логикой – алгеброй множеств).

Òàê, пересечение двух множеств A è B состоит из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам. На диаграммах Венна множество изображается в виде круга, а пересечение двух множеств изображается областью, которая является общей для этих кругов. На рис. 9 пересечению соответствует область, заштрихованная одновременно вертикальными и горизонтальными линиями.

Ðèñ. 9. Диаграммы Венна, изображающие пересечение двух множеств A 1 B и дополнение множества A

Объединение двух множеств A è B состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, и на диаграмме Венна ему соответствует область, покрываемая кругами, изображающими данные множества. На рис. 10 объединению соответствует область, заштрихованная горизонтальными линиями.

Дополнение множества À до универсального множества Å (оно изображается прямоугольником) состоит из элементов универсального множества, не принадлежащих множеству À. На диаграмме Венна дополнение изображается той частью универсального множества, которое остается после удаления из него точек круга, изображающего множество À. Íà ðèñ. 9 äополнение множества À до универсального множества Å представлено незаштрихованной частью прямоугольника.

Разность двух множеств B\A состоит из элементов множества Â, не принадлежащих множеству À. На рис. 10 разность двух

39

Ðèñ. 10. Диаграммы Венна, изображающие объединение двух множеств A B и разность двух множеств B \ A

множеств B\A изображена областью, заштрихованной только вертикальными линиями.

В математике используется понятие мощности множества, которое может быть определено как количество элементов, составляющих это множество. Мощность множества À обозначают A.

Если множество À не содержится полностью во множестве Â, òî

B B A 1 B . Мощность объединения двух пересекающихся

A

множеств можно найти, зная мощность каждого и мощность пересечения этих множеств, по формуле A 2 BABA 1 B .

Задача. Согласно провед¸нному исследованию, из 200 человек, смотрящих телевизор, 110 выбирают спортивные передачи, 120 – комедии, 85 предпочитают драмы, 60 – драмы и спорт, 70 – комедии и спорт, 55 – комедии и драмы и 30 человек смотрят все три вида передач. Сколько человек не смотрят ничего из вышеперечисленного?

На диаграмме Венна множество людей, смотрящих драму, изображает круг D, смотрящих комедии – круг Ê, смотрящих спортивные передачи – круг Ñ. Согласно условию, каждая пара множеств имеет непустое пересечение. Поэтому на рис. 11 круги попарно пересекаются и D 1 C 60, K 1 C 70, D 1 K 55. Âñå

три множества тоже пересекаются, так как есть телезрители, которые смотрят все три вида передач – их 30 человек. Поэтому D 1 C 1 K 30.

40