МиФ, математика и филология (лекции о математике для филологов)

Обозначим множество, состоящее из людей, смотрящих хотя бы одно из вышеперечисленного, буквой A.

Тогда A K D C, и искомое число людей, смотрящих хотя бы одну из передач, есть мощность этого множества.

AKDCK DD CK XD K C

120 85 110 55 60 70 30 160.

Ничего не смотрят из вышеперечисленного 200 – 160 = = 40 человек.

Связь между элементами различных множеств является îòî-

бражением. Это понятие объединяет и свойства чисел (зачастую неожиданные), и понятие функции, и дальнейшие, возникающие в математике понятия.

Одним из таких важнейших понятий является понятие структуры. «Структура (structura – строение, расположение, порядок) – совокупность устой- чивых связей объекта, обеспе- чивающих его целостность и тождественность самому себе,

т. е. сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях» (РЭС). «В современной науке понятие Ñ. обычно соотносится с понятиями системы и организации» (ФЭС).

На основе этого понятия можно уяснить смысл введ¸нных ранее математических объектов, ввести классификацию типов отображений и понятие отношения между элементами множеств.

Как всякое понятие, оно также допускает обобщение – основные структуры и построенные на их иерархии составные структуры – например, структура слова (корень, суффиксы и т. д.) и структура предложения, а далее – всего текста, каждая из которых опирается на структуру предыдущего элемента иерархии.

С такой, более общей, точки зрения становятся яснее различ- ные обобщения понятия интеграла, во множестве исследованные в ХХ веке.

41

6. Комбинаторика и теория вероятностей

…И чем случайней, тем вернее Слагаются стихи навзрыд.

Б. Пастернак

Детерминированность и случайность. – Конечное число исходов, их частоты и вероятности. – Биномиальное распределение. – Распределение Пуассона. – Грамматика и словарь. – Теоремы Маркова. – Вероятностные и причинные связи. – Приложения и примеры

В предыдущих рассуждениях (и в истории развития указанных разделов математики) предполагалось, что значения всех величин – детерминированы, мы можем присвоить им те или иные значения по своему усмотрению. В то же время уже в древности существовали процессы, где этими значениями распоряжался не человек, а «его величество Случай», – например, игра в орлянку или игра Morra, где выигрыш определялся сравнением количества выброшенных игроками пальцев.

Систематическая разработка теории таких процессов началась лишь в XVII веке, а в последнее столетие очень активно развивалась для вс¸ более сложных процессов в экономике, политике, военных действиях.

Простейшим случаем, который здесь изучается, является тот, где некоторая (случайная) величина может принимать – независимо от нашего желания – лишь конечное число значений (исходов). Основной вопрос заключается в том, чтобы как-то оценить возможность интересующих нас «благоприятных» исходов. К такой оценке можно подойти двумя путями:

–ïî наблюдениям – åñëè â n испытаниях (или реализациях) k раз мы имели благоприятный исход, то частота благоприятных исходов равна k/n и называется частотой появления благоприятного события;

–ïî теоретической возможности – как отношение числа K всех возможных благоприятных исходов к числу N всех возможных исходов K/N – эта величина называется вероятностью искомого благоприятного события.

Теоретически доказано, что при большом числе наблюдений эти величины близки, но для априорной оценки вероятности нужно научиться подсчитывать меру множеств всех исходов и благоприятных. Эти множества называются событиями, и их мера оп-

42

ределяется комбинаторными формулами: числом возможных

размещений n элементов в k ячейках, их перестановок и сочетаний (размещений без уч¸та перестановок). Эти величины определяются соответственно формулами:

Последняя величина как раз определяет число k благоприятных исходов («орел») при игре в орлянку с n бросаниями монеты и при n = 5, k = 3 равно 10, а вероятность тр¸х выпадений орла при 5 бросаниях равна 10/32 = 0,3125 (так как всего 25 = 32 варианта).

Процесс последовательных испытаний, в каждом из которых благоприятный исход имеет вероятность p (в орлянке, при честном бросании и уравновешенной монете, p = 1/2), называется процессом Бернулли, и вероятности всех исходов описываются известной формулой бинома Ньютона:

Биномиальные коэффициенты этого выражения хорошо известны и легко вычисляются с помощью «треугольника Паскаля»:

Каждый элемент n-й строки, равный сумме двух элементов над ним, да¸т соответствующий коэффициент биномиального разложения, а сумма всех элементов строки равна 2n .

Возвращаясь к орлянке, найд¸м, что вероятность выиграть не менее тр¸х раз равна сумме тр¸х первых слагаемых (отвечающих 5, 4 и 3 выигрышам) из 6, то есть

1 5 10 16 1. 32 32 32 32 2

43

Наряду с вероятностями, в изучении случайных процессов следует учитывать математическое ожидание или средний выигрыш (при частотном подходе) – он равен сумме выигрышей, умноженных на вероятности каждого исхода, – и среднее квадратическое отклонение от него (при вероятностном подходе его квадрат называется дисперсией).

Если при каждом бросании ставится и выигрывается (или проигрывается) 10 рублей, то за 5 бросаний игрок выиграет

50 40 5 30 10 20 10 10 5 0 1 800 25 (рублей),

то есть половину поставленных денег; этого и нужно было ожидать, так как вероятность одиночного выигрыша равна 1/2. Отметим, что эти средние характеристики, подтверждающиеся при большом числе испытаний, не исключают на практике более высокого выигрыша или полного проигрыша.

Более детальные исследования игрового поведения представляют предмет отдельного раздела математики – теории игр, широко использующей теорию вероятностей. Теории игр, в частности, посвящ¸н фильм «Игры разума», героем которого является лауреат Нобелевской премии Джон Нэш.

Как и ранее, в рассматриваемой области можно выделить грамматику и словарь. Грамматика состоит из общих положений, поч- ти очевидных:

–утверждение полноты – сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1;

–теорема умножения – вероятность двух независимых исходов определяется произведением их вероятностей (И-теорема);

–теорема сложения – вероятность хотя бы одного из независимых исходов равна сумме их вероятностей (ИЛИ-теорема).

Если исходы не являются независимыми (формального опреде-

ления здесь не приводится), то последняя теорема должна быть подправлена – иначе «вероятность» может стать больше 1 (а, как известно, обязательство пожарных тушить 110 % пожаров невыполнимо)10.

Словарь состоит из расч¸тов вероятностей для различных типов процессов с дискретными случайными величинами – выше приведен такой расч¸т для схемы Бернулли. Привед¸м ещ¸ один

10 Впрочем, Р. Кадыров высказал надежду, что на выборы придут больше (!?) 100 % избирателей (АиФ. 2008. ¹ 42).

44

пример. Рассмотрим вероятность того, что случайная величина принимает значение n при математическом ожидании (закон редких событий, закон Пуассона):

Теория вероятностей вс¸ шире применяется в самых разных областях исследования – в медицине, генетике, истории, криминалистике. Она помогает установить авторство текста, родственные связи, происхождение человека, место производства различных изделий.

Однако следует помнить, что вероятностные связи, мерой которых является, например, коэффициент корреляции, говорят лишь о возможности причинных связей и вывод о наличии при- чинной связи может быть ошибочным. Так, коэффициент корреляции между любовью к сол¸ным огурцам и инфарктом миокарда близок к 1, но причинной связи здесь нет. На самом деле в этом случае накладываются два явления: любовь к сол¸ным огурцам и склонность к алкоголизму (и то не всегда) и связь между алкоголизмом и сердечными заболеваниями, – тут причинные связи имеют место! Близкими псевдодоказательствами изобилует «новая хронология» академика Фоменко, смещающая ряд историче- ских явлений на несколько веков.

Есть ещ¸ один характерный пример, вероятностный парадокс. Одна из замечательных теорем А. А. Маркова в применении к альпинизму звучит так: Поскольку у каждого альпиниста имеется ненулевая вероятность упасть в глубокую трещину, из которой нельзя выбраться, то с вероятностью 1 за конечное время он там и окажется. Однако мы видим, к счастью, множество живых альпинистов! Здесь нет противоречия с теоремой – просто альпинисты прекращают восхождения раньше, чем «срабатывает» теорема.

Комбинаторная теория вероятностей позволяет решить многие практические вопросы частотного анализа в лингвистике и литературоведении, помогая оценить объ¸м анализируемого материала и над¸жность полученных выводов.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1. Согласно провед¸нному исследованию, из 200 человек, смотрящих телевизор, 110 выбирают спортивные передачи, 120 – комедии, 85 предпочитают драмы, 60 человек смотрят драмы и спорт, 70 – комедии и спорт, 55 – комедии и драмы и 30 че-

45

ловек смотрят все три вида передач. Для интервью телезритель выбирается случайно.

1)Какова вероятность, что он смотрит спортивные передачи, но не смотрит комедии?

2)Какова вероятность, что он смотрит спортивные передачи или комедии?

По определению вероятность наступления события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Если обозначим буквой À событие, означающее, что выбранный телезритель смотрит спортивные передачи, но не смотрит комедии, то вероятность

p A m1 . n

Число благоприятных исходов m1 находим, используя диаграмму Венна, привед¸нную на рис. 11. Тогда m1 CC 1 K

110 70 40 – это количество телезрителей, смотрящих спорт и не смотрящих комедии. Величина n = 200, è p A 20040 0,2 .

Пусть Â – событие, означающее, что выбранный телезритель смотрит спортивные передачи или комедии. Количество таких телезрителей

m2 CKC 1 K 110 120 70 160 è p B 160200 0,8.

Задача 2. В тр¸х урнах находятся: четыре красных шара и пять синих, шесть красных шаров и три синих, пять красных шаров и два синих, соответственно. Из тр¸х урн случайным образом выбран один шар. Какова вероятность того, что выбранный шар окажется синим?

Эту задачу проще решить, используя формулу полной вероятности.

Пусть событие À означает, что вынутый шар синий. Обозначим через Âi событие, означающее, что шар вынут из i-é óðíû (i = 1,2,3). Тогда

Условная вероятность p(A/Bi) есть вероятность вынуть синий шар при условии, что его вынимают из i-é óðíû (i = 1,2,3).

46

Тогда

Задача 3. В двух урнах находятся: четыре красных шара и пять синих, три красных шара и два синих, соответственно. Из каждой урны случайным образом выбираем по одному шару.

1)Какова вероятность того, что оба шара будут синими?

2)Какова вероятность того, что из двух шаров хотя бы один будет синим?

Пусть À – событие, означающее, что оба шара будут синими,

Â1 – событие, означающее, что из первой урны вынут синий шар, Â2 – событие, означающее, что из второй урны вынут синий шар. Тогда B1 означает, что из первой урны вынут красный шар, B2 означает, что из второй урны вынут красный шар.

Событие À есть произведение двух независимых событий Â1 è Â2 . Применяя теорему умножения, получим

Введем событие Ñ – хотя бы один из вынутых шаров синий, то есть из первой урны вынут синий шар и из второй – красный, или из первой урны вынут красный шар и из второй – синий, или из первой урны вынут синий шар и из второй – синий.

Используя теорему сложения и теорему умножения, получаем

P C p B1 p B2 p B1 p B2 p B1 p B2

5 3 4 2 5 2 11 . 9 5 9 5 9 5 15

Другой способ вычисления вероятности события Ñ основывается на том, что событие C означает: оба вынутые шары красные. Тогда

47

7. Непрерывные случайные величины

Нельзя на одном языке описать никакое сложное явление.

Нильс Бор

Функции распределения и их свойства, плотность распределения. – Статистики (параметры распределения). – Типовые функции распределения. – Таблицы и их использование. – Примеры вероятностных расч¸тов

Если случайные величины – скалярные, одномерные или многомерные, векторные – могут принимать непрерывное множество значений, то указанные подходы необходимо обобщить. При этом частотный подход, развивавшийся Р. Мизесом, уступил место подходу А. Н. Колмогорова, основанному на мере множеств возможных значений случайной величины и связанных с ними так называемых -алгебрах. В одномерном случае, которым мы здесь ограничиваемся, вс¸ проще, и может излагаться без применения этого аппарата.

Пусть для начала случайная величина Õ принимает все возможные значения от до . Тогда можно оценить вероятность (Pr) того, что случайная величина Õ принимает значе- ния, не превосходящие числа õ, и назвать е¸ функцией распределения:

F x Pr3X x4 ; F 0 , F 1

(эта функция монотонно раст¸т).

Производная этой функции f x F x 0 называется плотностью распределения случайной величины Õ. На этот случай легко переносятся понятия математического ожидания и дисперсии. Они представляются интегралами, в которых участвует плотность распределения.

Естественно, что разные случайные величины имеют разные функции распределения, среди которых отметим две наиболее употребительных.

1. Экспоненциальное распределение:

F x 1 e 5x , f x 5e5x .

Такому распределению обычно удовлетворяет время обслуживания клиента мастером или прибором. Параметр 5 равен средне-

48

му числу требований (клиентов), обслуженных в единицу времени. Естественно, что x 0.

2. Нормальное распределение, возникающее, в частности, когда имеется сумма многих независимых случайных величин с одинаковыми плотностями распределения:

x m 2

f x 21 e 2 2 .

Здесь m – математическое ожидание, а 2 – дисперсия случайной величины Õ.

При такой плотности распределения интеграл от не¸, функция распределения, не выражается через элементарные функции («интеграл не бер¸тся»), но имеются удобные таблицы, которыми можно пользоваться, если предварительно преобразовать интеграл к стандартному виду – за сч¸т масштабов получить нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

Рассматриваются и используются и другие функции распределения – их применение обосновывается различными дополнительными свойствами рассматриваемых вероятностных процессов.

Обобщение функций распределения (в том числе и упомянутых выше) на конечный отрезок возможного изменения случайной величины требует е¸ дополнительной нормировки – умножения на множитель, зависящий от величины этого отрезка.

Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения на интервале , , то е¸ плотность распределения

Пусть математическое ожидание m = 2, среднее квадратическое отклонение = 3.

Рассмотрим случайную неотрицательную величину, которая так же, как и предыдущая, нормально распределена и с теми же значениями параметров, но на интервале (0, ). Е¸ плотность распределения при x − 0 равна нулю, а при x 6

49

Множитель À найд¸м из требования

Легко найти значение полученного интеграла, используя таблицу значений стандартной функции Ф(x):

Отсюда получаем константу À = 1/0,7454 = 1,3416 и плотность распределения усеч¸нной случайной величины

Вид этой функции привед¸н на рис. 12.

Математических трудностей не вызывает и перенос функций распределения на многомерные случайные величины – возникают соответственно функции многих переменных и многомерные интегралы.

В более сложных случаях строятся эмпирические функции распределения по имеющимся опытным данным на основе уже упоминавшегося метода наименьших квадратов или специфиче- ского для вероятностных процессов метода максимума правдоподобия. Однако при этом необходимо помнить о дополнительных условиях: положительности некоторых параметров, неотрицательности плотности распределения, равенстве единице интеграла от функции распределения по всей области е¸ определения.

50