МиФ, математика и филология (лекции о математике для филологов)

понятия логарифма n log a, иррационального и трансцендентно-

го чисел.

Привед¸нные примеры являются основой методологического обобщения:

Процесс развития любой науки, процесс познания ид¸т по следующей схеме – построение формальной модели, извлечение из не¸ всех возможных выводов, обращение и обобщение введ¸нных понятий и операций, построение расширенной, обобщ¸нной модели (спираль познания).

Эта методология важна как для более глубокого познания (осмысления) математики, так и для изучения других наук, в том числе филологии.

Так, при изучении любого языка лингвисты сначала составляют словарь простейших понятий, затем – грамматику, законы изменения слов и связей между ними, а потом – более глубоко изу- чают процессы происхождения языка, связи с другими языками.

Спираль – движение природы! Спирально движутся народы. Спирально носят огороды Свои сезонные наряды. Нужны наряды – и снаряды, Нужны наяды – но и яды…

А. Кондратов

21

3.Функции и операции над ними

Àему нужно было произвести математический анализ основных факторов, создающих красоту, выразить их одной всеохватывающей формулой, такой сжатой, чтобы она объясняла искусство, как гравитационная формула материи охватывает структуру всей Вселенной.

Ñ.Ëåì

Функции, непрерывность и гладкость. – Апории Зенона. – Пределы. – Решение уравнений и метод итераций. – Дифференциальное исчисление. – История, словарь и грамматика. – Применение дифференциального исчисления. – Идентификация зависимостей. – Метод наименьших квадратов. – Алгебраизация геометрии, примеры

Следующим за понятием числа и его обобщения, величины – исторически и логически – является в математике понятие функции:

результат некоторых действий над одной величиной x, приводящий к значению другой величины f x , зависимость f îò x. Действитель-

ность да¸т неисчислимое множество таких объектов, зависимостей скорости и пути от времени, требуемой теплоты нагрева от температуры, затрат и прибыли от объ¸ма выпуска продукции и т. п.

Неявно это понятие было освоено уже в Древней Греции, но тогда же были обнаружены и некоторые парадоксы – знаменитые апории5 Зенона (догонит ли Ахиллес черепаху, летит ли стрела и др.).

Чаще всего функция зада¸тся некоторой формулой – комбинацией известных «элементарных» функций, изучаемых в школе. Например,

Y sin 2x 1 , y log 2x 1 , z 2x . x 2

Простейшей и очень наглядной формой описания функции является е¸ график – кривая на плоскости, где абсцисса – аргумент, а ордината – значение функции.

связанная обычно с противоречием между данными наблюдения и опыта и их мысленным анализом.

22

Если функция задана некоторым алгоритмом, процессом вы- числения, то надо задать порядок действий (вычисления f ïî x) или достаточно густую таблицу значений f è x. Переход от одной формы задания функции к другой сравнительно л¸гок: по формуле или алгоритму можно найти точки графика, переход от графика к формуле несколько сложнее и будет описан дальше.

Графики привед¸нных выше функций изображены на рис. 2–4. При изучении функций важную роль играют область определения функции (ООФ), то есть совокупность тех значений аргумента, при которых существует эта функция, и область возмож-

ных значений функции (ÎÇÔ).

Для привед¸нных выше примеров они таковы:

ÎÎÔ: ( ,) , x 1 , õ 2 ; 2

ÎÇÔ: 1 Y 1 , ( ,) ( ,) .

Рассмотрение функции как отображения точек из ООФ в ОЗФ позволяет легко перейти от одного, скалярного аргумента к функциям многих переменных – просто аргумент является вектором õ = (õ1, õ2, … õn)6.

Ðèñ. 2. График функции Y sin 2x 1

случая, а геометрический смысл использовать лишь как двумерную или тр¸хмерную иллюстрацию.

23

выписать. Выше было отмечено это методологическое свойство: обратная задача, как правило,

сложнее прямой задачи. Анализ графиков функций при этом играет важную роль, определяя существование и (или) единственность решения рассматриваемого уравнения.

Например, для уравнения x – cx – d 0, 0 1 («филологическое» происхождение которого будет пояснено далее) легко убедиться в существовании положительных решений и найти их с любой требуемой точностью методом последовательных приближений. На рис. 5 изображены графики функций y x è

y cx d, когда 0,5; c 0,4; d 0,1 . Корни уравнения соответствуют точкам пересечения этих графиков. Очевидно, что уравнение имеет два положительных корня.

Эти корни можно найти методом итераций. Для определения корня, близкого к нулю, для организации итерационного процес-

24

Ðèñ. 5. Графики функций y x è y cx d

( 0,5; c 0,4; d 0,1)

25

Найденные значения корней: x1 0,01; x2 5,73.

Для обеспечения выхода из процесса последовательных приближений с заданной точностью, вообще говоря, нужно организовать двусторонние приближения. Тогда разность между приближением справа и приближением слева определяет точность результата.

Изучение функций, их графиков и апорий Зенона привело (уже значительно позже) к понятию о непрерывности функции, формализованному с помощью теории пределов, а также вопросов, связанных с изучением динамики изменения величин и функций.

Важной характеристикой функции, зависимости f x , является быстрота, скорость е¸ изменения при изменении аргумента, то есть отношение приращений f/ x или его предельная форма (при x 0) f(x), введ¸нная Ньютоном и Лейбницем в конце XVII века. Правила вычисления производных составляют предмет дифференциального исчисления и, как всякий язык, имеют свою грамматику (общие правила) и словарь (таблицы производных). Эти правила позволяют вычислять производные практически всех обычно встречающихся функций (кроме исключительных случаев, важных для теории, но для практики не существенных). Правила дифференцирования сведены в табл. 3.

Привед¸нные простейшие соотношения позволяют вычислять производные любых функций, заданных различными выражениями. Например, производная дроби может быть вычислена при помощи производной произведения и т. д. На практике удобнее

26

использовать более разв¸рнутые грамматические формулы («расширенную грамматику») и «расширенный словарь».

Наличие словаря и грамматики позволяет вычислять производные, не обращаясь каждый раз к общему определению и предельному переходу. Это аналогично использованию словаря и грамматики в филологии: нужное слово и правила его изменения смотрим в словаре, а не анализируем его происхождение (хотя такой анализ зачастую да¸т дополнительную языковедческую информацию).

Знание производных позволяет применять их для решения важных прикладных задач: отличать рост функции от е¸ убывания, оценивать приближ¸нные значения прироста функцийf f(x) x , решать уравнения, искать экстремальные значения (максимум и минимум) функции, которые отвечают нулевым зна- чениям производной.

Привед¸м пример, точнее – интерпретацию примера, рассмотренного выше. Пусть анализируется некоторый текст, и эффективность анализа, естественно, раст¸т с ростом времени анализа õ, прич¸м этот рост пропорционален степени затраченного времени в степени :

F1 c1 x , 0 1.

Если затраты на проведение анализа пропорциональны времени F2 c2 x c3 , ñ1, ñ2, ñ3 – положительные константы, то оконча- тельный эффект анализа определяется разностью этих функций7:

F x F1 F2 c1 x c2 x c3 .

Возникает вопрос: сколько же времени нужно анализировать текст, чтобы добиться максимального эффекта?

Построив графики рассматриваемых функций (рис. 6), убеждаемся (с помощью анализа производных при õ = 0, õ = ), что окончательный эффект положителен в некотором диапазоне [x1, x2] и достигает максимума в точке x*. Значения x1, x2 определяются решением уравнения

F x F1 F2 c1 x c2 x c3 0,

аналогичного рассмотренному выше, а x* уравнением F x c1 x 1 c2 0,

27

òî åñòü

Вычисления границ отрезка, определяющего положительный эффект, приведены в табл. 4, 5.

Вычисление левой границы очередное приближение вычисляется по формуле

Вычисление правого конца итерации проводилось по формуле

При этом с точностью до двух знаков получили x1 = 0,06, x2 = 3,66.

28

Ðèñ. 6. График функции F x c1 x c2 x c3 , ãäå c1 200, c2 130, c3 20, 0,7

При указанных значениях параметров найдено x* = 1,28 è F(x*) = 51,33.

Тот же аппарат позволяет решать и ещ¸ одну важную прикладную задачу (упомянутую ранее – переход от графика к формуле): получать зависимость, отвечающую некоторым наблюдаемым данным. Зависимость выбранного вида (например, многочлен) с неопредел¸нными коэффициентами должна дать минимум сумме

квадратов отклонений теоретических значений от наблюдаемых. Этот метод получил название «метод наименьших квадратов» è

широко используется в самых разных науках, несмотря на некоторые его недостатки. Например, оценкой величины Õ по известным результатам ее измерений xi (i = 1, 2, …, n) будет число X, которое минимизирует выражение

n

f XBar xi XBar 2 .

i1

Âдругом примере использования метода наименьших квадратов предположим, что есть некоторые результаты наблюдений

(x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) и предполагается или точно известно, что между переменными x è y имеется линейная связь y ax b.

29

Тогда параметры a è b можно оценить по методу наименьших квадратов, определив их такими, которые минимизируют выражение

n

yi axi b 2 .

i 1

Пример. Результаты наблюдений заданы парами (1; 1,0), (2; 1,5), (3; 1,7), (4; 2). Тогда можно найти линейную связь между переменными x è y, наилучшим образом соответствующую данным наблюдениям.

Для этого построим задачу минимизации функции1,0 a b 2 1,5 2a b 2

1,7 3a b 2 2,0 4a b 2 .

Значения a è b можно найти из системы уравнений

После несложных преобразований получим

График полученной линейной зависимости y 0,54x 0,19 изображен на рис. 7.

Открытие и развитие дифференциального исчисления явилось очень важной вехой в развитии математики, дав общий метод решения этих задач (до тех пор каждая задача требовала индивидуального подхода). Как всякое крупное открытие, оно привлекло внимание философов, осмысливавших его, – от самого Г. Лейбница до К. Маркса.

Важным моментом изучения математики на методологическом уровне является оценка роли и места «экзотических» примеров

30