Методы качественного анализа динамических систем. Учебное пособие
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
Е. И. АЛГАЗИН
МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2023
УДК 517.938:621.38(075.8) А456
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор В. А. Хрусталев д-р техн. наук, профессор В. П. Разинкин
канд. техн. наук, доцент СибГУТИ Г. М. Сидельников
Работа выполнена на кафедре электроники и электротехники НГТУ и предназначена для магистрантов кафедры ЭЭ НГТУ
по специальности 11.04.04 «Электроника и наноэлектроника», профиль «Промышленная электроника и микропроцессорная техника»
Алгазин Е. И.
А456 Методы качественного анализа динамических систем: учебное пособие / Е. И. Алгазин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2023. – 71 с.
ISBN 978-5-7782-4933-2
Настоящее учебное пособие содержит материал по теории динамических систем и методам их качественного исследования. Приведены основы бифуркационного анализа динамических систем. Цель пособия – показатьэффективностьметодовиприемовкачественногоисследования динамических систем, что несомненно способствует расширению набора используемых методов и подходов магистрантов в их исследованиях и разработках устройств электроники и наноэлектроники.
|
УДК 517.938:621.38(075.8) |
ISBN 978-5-7782-4933-2 |
© Алгазин Е. И., 2023 |
|
© Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2023 |
Оглавление
Предисловие............................................................................................................ |
6 |
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ БИФУРКАЦИЙ........................................................... |
7 |
ГЛАВА 1. Двумерные консервативные системы. Неконсервативные |
|
динамические системы теории колебаний......................................... |
7 |
§ 1. Свойства консервативных систем на плоскости................................ |
7 |
§ 2. Динамические системы, характерные для теории колебаний.......... |
9 |
§ 3. Измененные системы. Системы, правые части которых |
|
зависят от параметра.......................................................................... |
11 |
ГЛАВА 2. Грубые динамические системы......................................................... |
14 |
§ 1. Определение грубой динамической системы................................... |
14 |
§ 2. Состояния равновесия, возможные в грубой динамической |
|
системе................................................................................................. |
18 |
§ 3. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими |
|
корнями ............................................................................................... |
19 |
§ 4. Замкнутые траектории, возможные в грубой системе.................... |
20 |
§ 5. Поведение сепаратис седел в грубых системах............................... |
22 |
§ 6. Необходимые условия грубости. Достаточность этих условий |
|
для грубости системы......................................................................... |
23 |
§ 7. Пространство динамических систем. Плотность грубых |
|
(двумерных) динамических систем................................................... |
25 |
3 |
|
§ 8. Понятие грубости при более общих предположениях |
|
относительно правых частей динамической системы..................... |
27 |
§ 9. Типы особых траекторий и ячеек в грубых системах..................... |
29 |
§ 10. Замечания по поводу определения грубой системы...................... |
32 |
ГЛАВА 3. Простейшие негрубые динамические системы |
|
(системы первой степени негрубости).............................................. |
34 |
§ 1. Общие замечания................................................................................ |
34 |
§ 2. Системы первой степени негрубости................................................ |
34 |
§ 3. Состояния равновесия, возможные в системе первой степени |
|
негрубости........................................................................................... |
36 |
§ 4. Замкнутые траектории, возможные в системе первой степени |
|
негрубости........................................................................................... |
37 |
§ 5. Условия для сепаратисы седел и седел-узлов в системе первой |
|
степени негрубости ............................................................................ |
38 |
§ 6. Необходимые и достаточные условия первой степени |
|
негрубости........................................................................................... |
39 |
§ 7. Динамические системы более высокой степени негрубости.......... |
41 |
ГЛАВА 4. Бифуркации при изменении правых частей динамической |
|
системы................................................................................................ |
44 |
§ 1. Определение бифуркации.................................................................. |
44 |
§ 2. Бифуркации систем первой степени негрубости............................. |
46 |
§ 3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек................... |
51 |
§ 4. Бифуркации двукратной точки, для которой = 0 и = 0............. |
55 |
§ 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий |
|
степени негрубости выше первой..................................................... |
59 |
ГЛАВА 5. Динамические системы, правые части которых содержат |
|
параметры............................................................................................ |
61 |
§ 1. Возможный характер зависимости правых частей |
|
динамической системы от параметров............................................. |
61 |
4
§ 2. |
Бифуркации от бесконечности.......................................................... |
63 |
§ 3. |
Поворот векторного поля................................................................... |
66 |
Заключение............................................................................................................ |
69 |
|
Библиографический список................................................................................. |
70 |
|
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Целью настоящего учебного пособия является: во-первых, знакомство читателя с качественной теорией динамических систем на плоскости, причем главным образом с теорией бифуркаций таких систем; во-вторых, указание роли бифуркаций при объяснении поведения динамических систем.
Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, созданная А. А. Андроновым и его учениками, – естественная и прозрачная по своей идейной стороне – представляется имеющей большое математическое значение как в теоретической, так и в прикладной части анализа динамических систем.
Необходимо отметить, что при увеличении размерности пространства измерений теория бифуркаций динамических систем чрезвычайно усложняется. Однако и в этом случае теория таких систем на плоскости остается основой.
В данной работе использованы материалы из источников [1, 2] библиографического списка.
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ БИФУРКАЦИЙ
ГЛАВА 1
Двумерные консервативные системы
Неконсервативные динамические системы теории колебаний
§ 1. Свойства консервативных систем на плоскости
Предположим, что правые части динамической системы – это аналитические функции.
Простейший случай консервативной системы – это гамильтонова система, т. е. система, имеющая вид
|
H |
; |
|
H |
, |
(H) |
x |
y |
y |
x |
где H(x, y) – аналитическая функция переменных x и y. Система (H) имеет аналитический интеграл
H(x, y) = C
(интеграл энергии). При этом:
а) в системе (H) возможны простые состояния равновесия седла и центра;
б) в системе (H) замкнутые траектории (соответствующие периодическим решениям этой системы) не являются изолированными, а заполняют целые области.
Отметим также следующее характерное для гамильтоновых систем свойство.
7
Выделим на плоскости x, y область 0 , ограниченную простой за-
мкнутой кривой, не содержащую состояний равновесия. Площадь этой области может быть записана в виде
0 ∫∫ dx0dy0 .
0
Рассмотримтраекторииприt = 0, проходящиечерезточкиобласти 0 ,
x (t; x0, y0 ) , |
y (t; x0, y0 ) , |
и возьмем область , которую при некотором фиксированном t заполнят эти точки. Нетрудно показать, что имеем площадь
∫∫ dxdy ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
x0 |
|
y0 |
|
1, |
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
y0 |
|
|
|
и что при этом область |
имеет ту же площадь, что и область |
0 |
|||||
(рис. 1). |
|
|
|
|
|
|
|
Вмомент t = 0 |
Вмомент t = |
|
0 |
|
Седло |
Сепаратриса |
Центр |
|
Рис. 1. Фазовый портрет гамильтоновой |
||
системы 0 |
|
|
|
8 |
|
Это утверждение носит название теоремы Лиувилля. Консервативной системой будем называть систему
dx |
P(x, y) , |
dy |
Q(x, y) , |
(1.1) |
dt |
|
dt |
|
|
определенную в некоторой области плоскости G или на всей плоскости, котораяпослеумноженияправыхчастейнаинтегрирующиймножитель M(x, y), являющийся аналитической функцией, не обращается в нуль во всей области определения системы (1.1), и после изменения параметризации может быть приведена к гамильтонову виду (H):
|
dx |
|
M (x, y)P(x, y) H |
; |
|
|
d |
||||
|
|
y |
|
||
dy |
M (x, y)Q(x, y) |
H |
, |
||
d |
|
|
x |
|
|
d |
dt |
|
|
. |
|
M (x, y) |
||
Свойства а) и б) остаются справедливыми и для консервативной си-
стемы (1.1).
Однако для консервативной системы (1.1) инвариантной остается не площадь, а следующий интегральный инвариант:
∫∫M (x, y)dxdy .
§2. Динамические системы, характерные для теории колебаний
Динамические системы, адекватным образом описывающие задачи, рассматриваемыетеориейколебаний, являются, еслиможнотаксказать, существенно неконсервативными.
9
Существенная неконсервативность этих систем характеризуется тем, что у них не может быть областей, сплошь заполненных замкнутыми траекториями: все траектории одной и той же области стремятся при t к одному и тому же центру притяжения, а при t – к одному и тому же центру отталкивания.
Кроме того, замкнутые траектории таких динамических систем всегдаявляютсяизолированными, т. е. предельнымициклами. Именноони, а не замкнутые кривые консервативной системы являются адекватным математическим образом автоколебаний.
Сделаем некоторые общие замечания относительно грубых динамических систем. Всякая реальная физическая система характеризуется некоторыми физическими параметрами (такими параметрами могут быть, например, масса, емкость, коэффициент трения и т. д.). Эти параметры никогда не могут быть абсолютно неизменными во время движения физической системы. Поэтому, если мы утверждаем, что при некоторых заданных значениях параметров движение имеет какой-то определенный характер, например, имеют место автоколебания, то это может иметь смысл лишь при условии, что малые изменения физических параметров не меняют характер движения.
Это свойство реальной физической системы, без которого изучение ее поведения вообще не представляется возможным, должно найти отражение в свойствах соответствующих математических моделей, т. е. динамических систем, описывающих реальные физические системы. Это означает, что у таких динамических систем при малых изменениях входящих в них параметров, которые соответствуют реальным физическим параметрам, характер траекторий не меняется.
Высказанные соображения являются теми эвристическими соображениями, на основании которых представляется целесообразным выделение среди динамических систем второго порядка таких систем, у которыхкачественнаяструктураразбиениянатраекториинеменяетсяпри «малых изменениях» этих систем. Динамические системы, обладающие этими свойствами, называют грубыми.
Именно грубость динамической системы и можно считать тем свойством, которое называют существенной неконсервативностью.
10