Методы качественного анализа динамических систем. Учебное пособие

Очевидно, что, в частности, система (Aλ) может быть негрубой при всех значениях параметров . Так, например, рассмотрим систему вида

которая является гамильтоновой системой при всех значениях параметров (т. е. с точки зрения введенной классификации – бесконечной степени негрубости).

Возможны также системы вида (Aλ) , не являющиеся гамильтоно-

выми, но оказавшиеся негрубыми при всех значениях параметров. Например, при всех значениях параметров у системы может быть сложное состояние равновесия, сепаратиса, идущая из седла в седло, и т. д.

Однако в дальнейшем будем предполагать, что у рассматриваемых систем, правые части которых зависят от n параметров: 1, 2 , , n ,

в пространстве параметров (являющихся n-мерным пространством), несуществуетникакойn-мернойобласти, всемточкамкоторойсоответствуют негрубые системы.

Значенияпараметров i , соответствующиегрубымсистемам, будем

называтьгрубымизначениямипараметров, аобласти, заполненныегрубыми значениями параметров, – грубыми областями.

Области, заполненныегрубымисистемамисразличнымикачественными структурами, разделяются n–1-мерными «пленками», точкам которых соответствуют негрубые системы, причем в общем случае – это системы первой степени негрубости. Это такие системы, которые выделяются одним (и только одним) условием типа равенства, например:

(x0 , y0 ) 0 ,

или

Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 ,

62

или

∫ Px ( , ) Qy ( , ) dt 0 .

0

Такое условие в пространстве параметров выделяет в общем случае n–1-мерную поверхность – «пленку».

Прирассмотренииобщегопространства RAm говорят, чтоодноусло-

вие типа равенства выделяет множество систем «коразмерности один», разделяющее пространство. Для таких множеств будем пользоваться наглядным термином – пленка.

Значения параметров 10 , , 0n , соответствующие негрубой си-

стеме (при которых точка 10 , 02 , , 0n лежит хотя бы на одной

пленке, разделяющей две различные грубые области), будем называть

бифуркационными значениями параметров, а изменение качественной структуры, которое происходит в системе (Aλ) при переходе от бифур-

кационных значений параметров к грубым значениям параметров, будем называть бифуркацией.

§ 2. Бифуркации от бесконечности

Смена качественных структур происходит вблизи негрубого особого элемента (сложной особой точки, сложного фокуса и т. д.), лежащего внутри области определения динамической системы. Можно также рассмотреть и возможные смены качественных структур в том случае, когданегрубыйособыйэлементлежитнаграницеобластиопределения динамической системы. Рассмотрим случай, когда система

dxdt P(x, y, 1, , n ),

dydt Q(x, y, 1, , n )

(Aλ)

определена на всей плоскости.

63

Вэтомслучаеприизменениипараметровотнекоторыхфиксированных значений i0 возможно, например, при рассмотрении функциони-

рования системы.

1. Появление состояния равновесия из бесконечности.

Пример 1

При = 0 усистемынетсостоянийравновесия, при 0 (носколько

угодно малом) появляется состояние равновесия с координатами x 1/ , y 1/ 1 .

2. Рождение предельного цикла из бесконечности.

Пример 2

x y x (x2 y2 )x,

y x y (x2 y2 ) y.

При = 0 получим линейную систему

с единственным неустойчивым фокусом в начале. Если составить выражение

d(x2 y2 ) 2xx 2 yy 2(x2 y2 ) , dt

то нетрудно видеть, что бесконечность устойчива, так как все окружности являются циклами без контакта, и траектории при возрастании t выходят из этих окружностей.

Если 0 , то получим

64

65

y

Рис. 17. Качественная структура при > 0

Предельный цикл – эллипс.

x2 y2 / 1 /

родился из бесконечности (от пары прямых y2 1 0).

§ 3. Поворот векторного поля

Угол между вектором, определенным системой

и вектором, определенным системой

имеет один и тот же знак.

В качестве системы (Ã) рассмотрим систему вида

66

Будем говорить, что при переходе от системы (A) к системе (Ã) имеемповоротполя(или чтополеповорачивается науголтогоилидругого знака), если P(x, y) и Q(x, y) обращается в нуль в тех и только тех

точках, в которых

и выражение

P(x, y)Q(x, y) Q(x, y)P(x, y)

неменяет знаканаплоскостиx, y (иливнекоторойданнойобласти) и не обращается в нуль вдоль интегральных кривых систем (A) и (Ã).

Пример 1. Пусть дана система

Рассмотримеепринекоторомфиксированномзначении 0 ипо-

смотрим, как меняется поле при фиксированных и d и при изменении , т. е. рассмотримуголмеждувекторами, определяемымисистемой

и векторами, определенными системой (A).

Выражение P(x, y)Q(x, y) Q(x, y)P(x, y) в этом случае имеет вид

( 0 )y .

Таким образом, в области, где y > 0, при увеличении поле поворачиваетсянаположительныйугол, авобласти, гдеy < 0, – наотрицательный. Приуменьшении от 0 имеетместообратноеповедениесистемы.

Пример 2. Пусть

x y P(x, y) , y x x2 y2 Q(x, y) .

67

Рассмотрим измененную систему

x y , y x dy x2 y2 .

Выражение

P(x, y)Q(x, y) Q(x, y)P(x, y) dy2

неменяетзнаканаплоскостиx, y, касаниетраекторийпроисходитвдоль оси x, не являющейся интегральной кривой, и при этом касание – нечетного порядка. Траектории измененной системы всюду пересекают траектории исходной системы.

68