Методы качественного анализа динамических систем. Учебное пособие

достаточно близкую к системе (A), построим на той же дуге l функцию последования, соответствующуютакойсистеме(функцияпоследования длясистемы(Ã), достаточноблизкойк(A), надугеl существуетвсегда).

Сформулируем следующие утверждения.

Замкнутая траектория с характеристическим показателем, не равным нулю, т. е. такая, для которой 1 1 , является грубой.

На диаграмме Ламерея грубым предельным циклам соответствуют простыеточкипересечениякривой s f (s) сбиссектрисой s s . Если

s f (s) – функция последования системы (Ã), достаточно близкой к (A), то в силу требования близости производных от правых частей систем (A) и (Ã) не только сама функция f (s) близка к f (s) , но и произ-

Пусть L0 – сложный k-кратный (k 2) предельный цикл. Сформу-

лируем следующее утверждение о рождении предельного цикла из сложного предельного цикла.

Если L0 – сложный (k-кратный при k 2) предельный цикл системы (A), то при любых 0 и 0 всегда можно указать такую систему (Ã), -близкуюксистеме(A), у которойв -окрестности L0 суще-

ствует, по крайней мере, два предельных цикла.

Предельные циклы системы (Ã), существование которых доказано в предыдущем утверждении, «рождаются» из предельного цикла L0 .

Сформулируем следующее утверждение: если L0 – замкнутая траектория системы (A), и все траектории, проходящие через точки некоторой 0 -окрестности этой траектории, замкнуты, то при любом достаточно малом 0 можно указать такую измененную систему (Ã),-близкую к (A), у которой в -окрестности L0 не существует ни одной

замкнутой траектории.

Следующее утверждение, дающее необходимые условия грубости динамической системы (A), непосредственно вытекает из двух предыдущих.

21

Сформулируем это утверждение: если система (A) является грубой в области G , то в области G не может существовать замкнутая траектория с характеристическим показателем, равным нулю.

§ 5. Поведение сепаратис седел в грубых системах

Предыдущие утверждения касаются двух типов особых траекторий: состоянийравновесияи замкнутых траекторий. В настоящем параграфе рассматривается последний тип особых траекторий – сепаратисы.

В грубых системах возможны только сепаратисы седел (рис. 2, 3). Если сепаратиса L0 седла O, стремящаяся к этому седлу, например

при t , при t также стремится к седлу (отличному от O или к тому же седлу O), то можно сказать, что «сепаратиса седла O идет из седла в седло». Следующее утверждение дает последнее необходимое условие грубости системы (A). Сформулируем это утверждение.

В грубых системах не может быть сепаратис, идущих из седла

вседло (т. е. невозможны случаи, представленные на рис. 2, а и 3, а). Для подтверждения этого утверждения наряду с данной систе-

мой (A) рассматривается измененная система, дающая поворот поля, т. е. система

Состояния равновесия системы (А ) те же, что и у системы (A). Однако нетрудно показать, что сепаратиса состояния равновесия (O)

22

системы (А ) уже не идет из седла в седло («сепаратиса L0 разделяется», рис. 2, б, в и рис. 3, б).

L0

аб

Рис. 3. Изображение поведения сепаратисы

Отсюдавытекаетсправедливостьсформулированногоутверждения.

Следствие

Вгрубойсистемепредельнымитраекториямимогутбытьтолькосостояния равновесия (грубые) и предельные циклы (грубые).

§ 6. Необходимые условия грубости Достаточность этих условий для грубости системы

Объединение полученных результатов дает следующие необходимые условия грубости.

I. В замкнутой области G могут быть только грубые состояния равновесия, т. е. такие, для которых действительные части корней характеристического уравнения отличны от нуля. Это требование может быть

сформулировано еще так: в области G не может быть состояний равно-

23

б) при 0 , Px (x0 , y0 ) Qy (x0 , y0 ) 0 .

II. В области G могут быть только простые (грубые) предельные циклы, т. е. такие предельные циклы, для которых характеристический показательнеравеннулю. Этотребованиеможетбытьсформулировано

еще и так: в области G не может быть периодических движений

для которых

III. В области G не может быть сепаратис, идущих из седла в седло. В силу этих условий в грубой системе возможны особые траектории лишь следующих типов: грубые состояния равновесия, т. е. состояния равновесия: «узел», «фокус» и «седло», простые (грубые) предельные циклы, сепаратисы седел, в одну сторону стремящиеся к узлу, фокусу или к предельному циклу, или при некотором значении t, выходящие

из замкнутой области G .

Предельными траекториями в грубых системах могут быть только состояния равновесия и предельные циклы.

Сформулируем следующее утверждение, непосредственно вытекающее из необходимых условий грубости.

У грубой в замкнутой области G системы может существовать только конечное число предельных циклов.

Необходимые условия I–III являются также достаточными для грубости системы вида (A). Имеет место следующее утверждение.

Если для системы (A) в области G выполняются условия I–III, то

такая система в области G является грубой.

Для подтверждения такого утверждения необходимо построить для всякой измененной системы (Ã), достаточно близкой к системе (A),

такого топологического отображения области G в себя, при котором траектории системы (Ã) отображаются в траектории системы (A),

24

и соответствующие друг другу точки находятся на сколько угодно малом расстоянии друг от друга.

В заключение сформулируем следующее утверждение, которое позволяет охарактеризовать, какое место грубые динамические системы вида (A) занимают среди всевозможных систем, рассматриваемых в за-

мкнутой области G .

Если система (A) является грубой в области G , то существует0 0 такое, что все измененные системы (Ã), 0 -близкие к систе-

ме (A), такжеявляютсягрубымивобласти G (иимеюттужекачественную структуру).

§ 7. Пространство динамических систем

Плотность грубых (двумерных) динамических систем

При изложении теории грубых систем весьма естественно и удобно ввести пространство динамических систем. Рассмотрим всевозможные динамические системы, правые части которых определены в данной

ограниченной замкнутой области G и являются в этой области аналитическимифункциямиx иy. Введемпространство, точкамикоторогоявляются также динамические системы.

Расстоянием между двумя точками этого пространства, т. е. между точками, соответствующими динамической системе

будем считать максимум модуля выражений:

25

стемы, -близкиекданнойдинамическойсистеме(A), соответствующей точке M пространства RA , соответствуют точкам RA , лежащим на расстоянии, меньшем от точки M. Воспользовавшись введенным пространством RA , можно сформулировать предыдущее утверждение

в следующей геометрической форме.

Если динамическая система (A), соответствующая точке M пространства RA является грубой, то и все точки некоторой окрестности

точки M соответствуют грубым динамическим системам (с той же качественной структурой).

Отсюда следует, что грубые динамические системы заполняют области пространства динамических систем. Однако можно доказать еще более сильное утверждение. Будем рассматривать в пространстве динамических систем всевозможные системы, а именно как грубые, так и негрубые. Тогда можно сформулировать следующее утверждение.

Если (A) – негрубая система, то при любом 0 можно указать-близкую к системе (A) систему (Ã), являющуюся грубой.

Изэтогоутверждениявытекает, что грубыесистемывсюду плотны в пространстве динамических систем. Таким образом, грубые системы можно рассматривать как наиболее простые, наиболее многочисленные динамические системы в соответствующем пространстве динамических систем. Действительно, грубые системы выделяются условиями типа неравенств, и поэтому их естественно рассматривать как общий случай.

26

§ 8. Понятие грубости при более общих предположениях

относительно правых частей динамической системы

Рассмотрим приведенные выше динамические системы, правые части которых – аналитические функции. Однако понятие грубости динамической системы может быть введено совершенно так же, как и в случае, когдаотносительноправыхчастейP(x, y) иQ(x, y) рассматриваемых динамических систем сделаны более общие предположения.

Наиболее общим – возможным по самому смыслу понятия грубости – является требование наличия у функций P(x, y) и Q(x, y) лишь частных производных первого порядка (как и выше, функции P(x, y) и Q(x, y) предполагаются определенными в ограниченной замкнутой

области G ). При этом вывод необходимых условий фактически не изменяется.

Вместе с тем можно определить грубость динамической системы, предположив правые части рассматриваемых динамических систем аналитическими (или имеющими непрерывные частные производные до порядка m) при другом определении близости динамической системы. Можно считать близкими динамические системы (A) и (Ã), у которых близки не только сами функции и их производные первого порядка, но и все соответствующие производные порядка m. Это означает, что рассматривается пространство, точками которого являются динамические системы с аналитическими правыми частями, в котором расстоянием между двумя точками M и M – одной, соответствующей системе (A), другой – системе (Ã), является наибольшая из величин:

P(x, y) P(x, y) , Q(x, y) Q(x, y) , …,

27

Вдальнейшембудемговорить, чтосистема(Ã) -близкаядоранга  m

ксистеме (A), если выполняются неравенства

неравенства (2.1) можно записать в виде

и в этом случае будем называть добавки p(x, y) и q(x, y) -добавками ранга m.

Пространство динамических систем с введенным здесь определением расстояния между точками (динамическими системами) обозна-

чим через RAm .

Двединамическиесистемы, близкиевсмыслеопределения, данного в § 1, могут не быть близкими при m 2 в смысле приведенного здесь определения.

До сих пор рассматривали при том или другом определении расстояния между динамическими системами пространство всевозможных динамических систем. Однако по ряду вопросов представляет интерес рассмотрение относительной грубости, т. е. грубости по отношению к некоторому классу динамических систем, именно по отношению к некоторому подмножеству пространства динамических систем

RA или RAm .

28

Отметим также, что введение понятия грубости естественно не только при определении дифференциальных уравнений. Так, например, рассматривая вопрос о топологии аналитической кривой

F(x, y) = 0

или аналитического многообразия

F(x, y, z, u, v, ...) 0 ,

естественно ввести понятие грубости кривой или многообразия. Рассматривая общие точки двух кривых

естественно ввести понятие грубости расположения двух кривых.

§9. Типы особых траекторий и ячеек

вгрубых системах

Необходимыеидостаточныеусловиягрубостиналагаютопределенные ограничения на возможные в грубых системах типы особых траекторий.

Особыми траекториями в грубых системах являются: грубые состояния равновесия (узлы, грубые фокусы, седла), предельные циклы (грубые) и сепаратисы седел. При этом ( ) – сепаратисы при t

(t ) стремятся либо к узлу, либо к фокусу, либо к предельному

циклу.

Знаниерасположенияэтихособыхтраекторий(схемадинамической системы) полностью определяет качественную структуру разбиения на траектории. В рассматриваемом случае грубых систем нужно знать число и характер состояний равновесия, число предельных циклов, взаимное расположение состояний равновесия и предельных циклов и ход сепаратис (рис. 4).

Особые траектории разделяют область G на подобности – ячейки, заполненные неособыми траекториями.

29