Методы качественного анализа динамических систем. Учебное пособие

3)  сепаратисыседла-узланемогутниидтивседло, ниявлятьсяпродолжением одна другой.

Сформулируем следующее утверждение.

Если система (А) удовлетворяет в области G условиям г), то она является системой первой степени негрубости в G .

§ 7. Динамические системы более высокой степени негрубости

В рассматриваемом случае аналитических динамических систем, или в более общем случае, потребуем у правых частей динамической системы наличие не менее пяти производных. Таким образом, можно определить динамические системы второй степени негрубости как системы, релятивно грубые в множестве систем негрубых и не являющихся системами первой степени негрубости.

Совершенно аналогично можно определить динамические системы 3-й, 4-й, ..., n-й степени негрубости. Определение вводится индуктивно. Врассматриваемомслучаединамическихсистемсаналитическимиправыми частями введем определение близости систем (расстояния между двумя системами) до ранга 5, 7, ..., 2n + 1. Пусть даны системы

Система (Ã) называется -близкой к системе (A) до ранга 2n + 1, если выполняются неравенства

41

Динамическая система (А) называется системой n-й степени негрубости в замкнутой области G, если она является негрубой системой, не являющейся негрубой системой степени, меньшей или равной n – 1, и если она является релятивно грубой во множестве негрубых систем, не являющихся негрубыми системами степени, меньшей или равной n – 1.

Отметим, чтоусловия, определяющиетуилиинуюстепеньнегрубости, являются аналитическими условиями. При этом топологический характертраекторийвокрестностиособойтраекториитойилиинойстепени негрубости может и не отличаться от характера траекторий в окрестности некоторой грубой особой траектории или особой траектории меньшей степени негрубости.

Рис. 9. Замкнутый контур, составленный из сепаратис седел

Укажем некоторые особые траектории или образования из особых траекторий степени негрубости выше первой.

1.  Состояние равновесия, для которого 0 , 0 , краткости больше двух (т. е. для которого P2 (1,0) 0 ).

2.  Состояния равновесия, для которых 0 и 0 . Такие состояния равновесия также могут иметь различную кратность.

42

3.  Сложный фокус кратности выше первой, т. е. такой, для которого 0 , т. е. 1 1, 2 3 0 , а некоторое i 0 , i 5 .

4.  Предельный цикл кратности больше двух. 5.  Петля сепаратисы, у которой в седле O(x0 , y0 )

c Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 .

6.  Замкнутый контур, составленный из сепаратис седел (см. рис. 9).

43

У всякой негрубой системы (А) непременно существует, по крайней мере, одна негрубая особая траектория, т. е. либо негрубое состояние равновесия, либонегрубыйпредельныйцикл, либонегрубаясепаратиса состояния равновесия.

Изменение качественного характера траекторий в некоторой достаточно малой окрестности какой-либо негрубой особой траектории (т. е. в окрестности особой точки, в окрестности замкнутой траектории, в окрестности сепаратисы особой точки или некоторого контура, составленного из сепаратис), говорит о том, что рассматривается бифуркация негрубой особой траектории (или контура, составленного из особых траекторий) того или другого типа.

Простейшей бифуркацией называется бифуркация при переходе от данной системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, к сколько угодно близким грубым системам. При рассмотрении простейших бифуркаций системой (Ã), близкой к системе (А), будем считать систему, у которой правые части P(x, y) и Q(x, y) и их производ-

ные до третьего порядка близки соответственно к P(x, y), Q(x, y) и производным от них до третьего порядка.

В случае, когда система (А) является системой первой степени негрубости, у нее имеется негрубая (независимая) траектория одного из следующих типов:

а)  двукратное состояние равновесия седло-узел, б)  сложный фокус первого порядка, в)  двойной предельный цикл,

г)  сепаратиса, идущая из одного узла в другое, или сепаратиса, идущая из седла в то же седло (образующая петлю), в том случае, когда в этом седле O(x, y) величина

Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 .

Рассмотрим каждую из этих негрубых траекторий и их бифуркации.

45

§ 2. Бифуркации систем первой степени негрубости

I.  Бифуркации двукратного состояния равновесия седло-узел.

В этом случае линейной заменой переменных систему можно привести к виду

dxdt P2 (x, y) P3 (x, y) P(x, y),

(A)

dydt by Q2 (x, y) Q(x, y),

где Pk (x, y) – однородные многочлены степени k. При этом

Px (0,0) Qy (0,0) b 0 , P2 (1,0) 0 .

Взависимостиотзнаковвеличинb и мыполучаемразличныеслу-

чаи расположения узловой области и ее устойчивости.

При достаточно малых изменениях правых частей (напомним, что рассматриваем только такие достаточно малые изменения правых частей, при которых их частные производные до третьего порядка достаточномаломеняются), прикоторыхсистемаделаетсягрубой, возможны два случая:

1)  либо седло-узел (рис. 10, а) разделяется на два грубых состояния

при условии b < 0, > 0));

2)  либо седло-узел исчезает (рис. 10, в).

II.  Бифуркации сложного фокуса первого порядка, т. е. состояния

46

то для двукратного цикла (рис. 11, а) имеем

При достаточно малых изменениях правых частей, при которых система (Ã) грубая, возможны два случая:

1)  двукратныйпредельныйциклразделяетсянадвагрубыхпредельных цикла – устойчивый и неустойчивый (рис. 11, б);

2)  двукратный предельный цикл исчезает (рис. 11, в).

а б в

Рис. 11. Двукратный цикл (а); появление устойчивого и полуустойчивого цикла (б); двукратный предельный цикл исчезает (в)

IV.  Бифуркации сепаратисы, идущей из седла в седло. Возможны два случая:

а)  сепаратиса L0 идет из седла O1 в другое седло O2 ; б)  сепаратиса L0 выходит из седла O(x0 , y0 ) и возвращается в то

же седло (образует петлю) (рис. 12, а), и в седле O(x0 , y0 )

c Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 .

тисы уходят из окрестности бывшей петли сепаратисы L0 (рис. 12, б);

48

предельного цикла (в)

V.  Бифуркации сепаратисы седло-узел. Рождение предельного цикла из сепаратисы седло-узел.

Пусть у системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, негрубой особой траекторией является седло-узел O(x0 , y0 ) . То-

гдани одна изсепаратис седло-узелнеможет идти в седло или являться и -, и -сепаратисой седла-узла.

Пусть L1 и L2 – сепаратисыседла-узлаO, ограничивающиеузловую область седла-узла, и L0 – третья сепаратиса седла-узла.

Вслучае Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 узловая область седла-узла яв-

ляется устойчивой ( -устойчивой), а сепаратисы L1 и L2 – -сепара- тисами.

Вслучае Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 узловая область седла-узла яв-

ляется неустойчивой ( -узловой), а L1 и L2 – -сепаратисами. Возможны следующие типы поведения сепаратисы L0 . А.  Сепаратиса L0 стремится к узлу, фокусу или предельному циклу

при t или t в зависимости от того, будет ли L0 - или -

сепаратисой седла-узла, и, значит, в зависимости от того, будет ли в седле-узле

Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 ,

49

или

Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 .

В этом случае возможные бифуркации сепаратисы L0 очевидны. Один из примеров изображен на рис. 13.

а б в

Рис. 13. Cедло-узел (а); седло-узел разделяется (б); седло-узел исчезает (в)

Рис. 13, б соответствует тому случаю, когда седло-узел (рис. 13, а) разделяется на седло и узел, рис. 13, в – случаю, когда седло-узел исче-

(рис. 14, а).

В этом случае при достаточно малых добавках к правым частям системы (А), при которых седло-узел разделяется (на седло и узел), получаем в окрестности L0 качественную структуру, изображенную на

рис. 14, б.

50