Методы качественного анализа динамических систем. Учебное пособие

L0

Рис. 14. Cепаратиса L0 стремитсякседлу-узлу(а); седло-узелразделяется(б); рождается предельный цикл (в)

При достаточно малых добавках, при которых седло-узел исчезает, от сепаратисы L0 рождается предельный цикл, и притом един-

ственный (рис. 14, в). Этот предельный цикл устойчив, если в седлеузле мы имели

Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 ,

и неустойчив, если в седле-узле мы имели

Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 .

§ 3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек

Пусть для рассматриваемой системы

точка O(x0 , y0 ) является (изолированной) сложной особой точкой, т. е. особой точкой, для которой

51

В этом случае всегда можно так изменить правые части этой системы, чтобы «сложная точка O» распалась на несколько особых точек, т. е. чтобы у соответствующей измененной системы

dxdt P(x, y) P(x, y) p(x, y) , dydt Q(x, y) Q(x, y) q(x, y)

в достаточно малой окрестности точки O было несколько особых точек. Поэтому естественно ввести понятие кратности общей точки.

Определение

Особая точка O(x0 , y0 ) системы (А) называется m-кратной, если: а) существуют такие 0 0 и 0 0 , что при всевозможных 0 -добав- ках ранга m у соответствующей системы (Ã) в 0 -окрестности O может быть не более чем m особых точек; б) при любых 0 и 0 всегда

существуют такие -добавки ранга m, при которых у соответствующей системы (Ã) в -окрестности точки O существует m грубых особых точек.

Очевидно, особаяточкакратностиm можетпринадлежащемвыборе добавок разделяться и на меньшее, чем m число особых точек, и, в частности, могут быть такие сложные особые точки, которые при надлежащем образом выбранных, но сколько угодно малых добавках исчезают (например, седло-узел).

Сформулируем следующее утверждение.

Индекс сложной особой точки O кратности m равен сумме индексов тех особых точек, на которые сложная особая точка O может разделяться при сколько угодно малых добавках ранга m.

I. Разделение при малых добавках к правым частям системы (А) сложной особой точки O с одним нулевым характеристическим корнем (т. е. особой точки, для которой = 0, 0 ) на грубые особые точки.

В окрестности такой особой точки система может быть приведена линейным неособым преобразованием к виду

52

где P2 (x, y), Q2 (x, y) – функции, разложение которых по степеням x, y

начинается с членов не ниже второй степени, и b 0 .

Наряду с системой (A) будем рассматривать измененную систему

Сформулируем следующее утверждение.

Если m 0 , то кратность особой точки O системы (A) есть m.

И, кроме того, сформулируем еще одно утверждение.

ЕсликратностьособойточкиO системы(A) естьm (m 2) , точисло грубыхсостояний равновесия (O1, O2 , ..., Ok ) системы(Ã), накоторые

точка O может разделиться при сколько угодно малых добавках p(x, y) и q(x, y) ранга m, при m нечетном может быть любым нечетным числом, меньшим или равным m, при m четном – любым четным числом, меньшим или равным m; при этом:

1) если O имеет характер узла (т. е. m – нечетно и m 0 ), то число грубых узлов среди особых точек O1, ..., Ok системы (Ã) на единицу

больше числа грубых седел;

2) если O имеетхарактерседла(т. е. m – нечетнои m 0 ), точисло грубых седел среди особых точек O1, ..., Ok системы (Ã) на единицу

больше числа грубых узлов;

3) если O имеет характер седла-узла (т. е. m – четное), то среди особых точек O1, ..., Ok системы (Ã) число узлов равно числу седел.

Нетрудно видеть, что в рассматриваемом простейшем случае сложной особой точки ее качественный характер полностью определяется числомихарактеромгрубыхсостоянийравновесия, накоторыеонаразделяется.

II. Разделение при малых добавках к правым частям системы (А) сложной особой точки O(0, 0) с двумя нулевыми корнями ( = 0, = 0),

бые точки.

53

В этом случае система может быть приведена линейным неособым преобразованием к виду

dxdt by P2*(x, y) P(x, y),

(В)

dydt Q2*(x, y) Q(x, y).

Рассмотрим функции:

1) функцию y (x) , являющуюся решением уравнения

by P2*(x, y) 0 ;

2) функцию

Z (x) Q2*(x, (x)) m xm

Здесь m 2 и m 0 .

Нарядуссистемой(B) будемрассматриватьвсевозможныеизмененные системы

dxdt P(x, y) P(x, y) p(x, y),

(B)

dydt Q(x, y) Q(x, y) q(x, y),

достаточно близкие до ранга m к системе (B).

Сформулируем следующие утверждения для систем (B) и (B) . Если m 0 , то кратность особой точки O системы (B) есть m. Если

m – кратность состояния равновесия O, то число k грубых состояний равновесия системы (B) O1, ..., Ok , на которые O может разделиться

при сколь угодно малых добавках p(x, y) и q(x, y) ранга m, при m нечетном может бытьлюбым нечетным числом, меньшим или равным m, при m четном– любымчетнымчислом, меньшимилиравнымm, иприэтом:

1) если m – нечетно и особая точка O имеет либо характер узла или фокуса, либо является особой точкой с эллиптической областью, то

54

среди особых точек O1, O2 , ..., Ob системы (B) число грубых узлов

или фокусов на единицу больше числа грубых седел;

2) еслиm – нечетноиO имеетхарактерседла, тосредиособыхточек O1, O2 , ..., Ok число грубых седелнаединицу большечислагрубых уз-

лов или фокусов;

3) еслиm – четно, т. е. особаяточкаO являетсявырожденнойособой точкой либо имеет характер седла-узла, то число грубых узлов или фокусов равно числу седел.

Замечание 1

В рассматриваемом случае = 0 всегда можно указать такие, сколько угодно малые до ранга m добавки, при которых среди грубых

особых точек O1, O2 , ..., Ok системы (B) были бы фокусы и такие до-

бавки, при которых существовали бы предельные циклы (целиком лежащие в сколько угодно малой окрестности O).

Замечание 2

Индекс особой точки O системы (B), имеющий характер узла, фокуса или являющейся особой точкой с эллиптической областью, равен +1, индекс особой точки O, имеющий характер седла, равен –1, и индекс особой точки O, имеющий характер седла-узла или вырожденной особой точки, равен нулю.

§ 4. Бифуркации двукратной точки, для которой = 0 и = 0

В настоящем параграфе рассмотрим двукратное состояние равновесия, для которого = 0, = 0, и выполнены еще некоторые дополнительные условия.

Состояние равновесия O(x0 , y0 ) , для которого выполняются усло-

вия

(x0 , y0 ) (x0 , y0 ) 0 ,

55

может быть приведено линейной заменой к виду

Полагаем

by P2*(x, y) v .

Выражая из этого соотношения y через x и v и переходя к переменным x и v, перейдем к системе вида

а20 0 , и это состояние равновесия O имеет вид, представленный на рис. 15, а. Предположим, кроме того, что а11 0 .

Будем наряду с системой (4.2) рассматривать всевозможные, достаточно близкиек ней до ранга 3 системы. Так как качественный характер тех близких систем, у которых в окрестности O(0, 0) нет ни одного состоянияравновесия, очевиден(рис. 15, б), тообратимсякрассмотрению близких систем, имеющих состояния равновесия. Такие близкие системы можно представить в виде

где Q3 (x, y) начинается со степеней по x и y, не меньших трем.

56

Нетрудновидеть, чтовнекоторойдостаточномалойокрестностисостояния равновесия O(0, 0) системы (4.2) у всевозможных систем (4.3) может быть:

1)одно двухкратное состояние равновесия того же типа, что и у исходной системы;

2)одно двухкратное состояние равновесия типа седло-узел (при

= 0, 0 с устойчивым узловым сектором при < 0, и неустойчивым

при > 0 (рис. 15, в, г); 3) два грубых состояния равновесия узел или фокус и седло (узел

при 0 , 0 и 2 4 2 и фокус при 0 , 0 и 2 4 2 ) ;

4)два состояния равновесия – сложный фокус и седло при = 0,

0 (рис. 15, д).

Непосредственным вычислением устанавливается, что первая ляпуновская величина сложного фокуса имеет вид

следовательно,

L1 0 .

Таким образом, сложный фокус, возможный у близких систем (при= 0), является устойчивым или неустойчивым в зависимости от знака выражения a20a11 , и из него может рождаться единственный цикл – со-

ответственно устойчивый или неустойчивый (рис. 15, е).

Еслипредполагать, чтоциклединственный, тодляразличныхдостаточно близких к системе (4.2) систем (4.3) возможна, кроме указанных выше, одна из качественных структур, представленных на рис. 15, ж, з.

58

§ 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий степени негрубости выше первой

I. Рассматривается случай, когда система (А) имеет сложный фокус кратности m > 1, т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями такое, что первый, не равный нулю коэффициент i (i > 1) функции последования, есть

2m 1 Lm 0 (m > 1).

Наряду с данной системой

имеющей сложныйфокуспорядкаm > 1, будемрассматриватьизмененную систему

dxdt P(x, y) P(x, y) p(x, y),

(Ã)

dydt Q(x, y) Q(x, y) q(x, y),

где p(x, y) и q(x, y) – достаточно малые добавки ранга m. Сформулируем следующее утверждение.

При любом k m всегда можно подобрать такие (сколько угодно малые добавки) p(x, y) и q(x, y) ранга 2m + 1, чтобы при переходе от системы (А) к системе (Ã) из сложного фокуса рождалось k грубых предельных циклов.

II. Предположим теперь, что система (А) имеет сложный предельный цикл L0 кратности m выше2-й (m > 2), т. е. если рассмотреть функ-

цию последования на дуге без контакта l, проведенной через какую-ни- будь точку предельного цикла L0

S 1S 2S 2

59

(S – параметр на дуге l), то будем иметь

( x (t) , y (t) – решение, соответствующее предельному циклу L0 ,

Сформулируем следующее утверждение.

Всегда можно указать сколько угодно малые добавки p(x, y) и q(x, y) ранга m такие, чтобы при переходе от системы (А) к системе (Ã) от замкнутой траектории L0 системы (А) рождалось любое число k (k m)

грубых циклов или k1 (k1 m) предельных циклов кратности ni таких, что

n1 n2 ... nk1 m .

III. Рассмотрим случай, когда сепаратиса седла O(x0 , y0 ) образует петлю, и при этом в седле

Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 .

Вэтом случае возможен как вариант, когда петля устойчива, так

ивариант, когда петля неустойчива, а также вариант, когда все траектории, проходящие через близкие к петле точки, замкнуты.

60