Методы качественного анализа динамических систем. Учебное пособие

§ 3. Измененные системы

Системы, правые части которых зависят от параметра

Прежде чем переходить к определению грубой системы – понятию, являющемуся основным в дальнейшем, приведем некоторый необходимый вспомогательный материал.

Всюду в дальнейшем наряду с заданной системой

которую будем предполагать определенной в некоторой ограниченной области G (или замкнутой ограниченной области G) , будем рассматривать также другие системы вида

dxdt P(x, y) P(x, y) p(x, y),

(Ã)

dydt Q(x, y) Q(x, y) q(x, y).

Систему (А) будем называть исходной системой, а отличные от (А) системы (Ã) – измененными системами.

Функции p P(x, y) P(x, y) и q Q(x, y) Q(x, y) называются до-

бавками к правым частям системы (А). В дальнейшем всегда предполагается, что правые части являются в рассматриваемой области аналитическими функциями.

В области G каждая из систем (A) и (Ã) задает свое векторное поле. Синус угла между направлением векторного поля, заданного системой (A), и направлением векторного поля, заданного системой (Ã) в каждой точке, дается выражением

11

Очевидно, в точках, в которых

Q(x, y)P(x, y) P(x, y)Q(x, y) 0 ,

угол положителен, в точках, в которых

Q(x, y)P(x, y) P(x, y)Q(x, y) 0 ,

этот угол отрицателен, а в точках, где

Q(x, y)P(x, y) P(x, y)Q(x, y) 0 ,

направления поля систем (A) и (Ã) совпадают или прямо противоположны. В том частном случае, когда во всех точках плоскости (или рассматриваемой области)

Q(x, y)P(x, y) P(x, y)Q(x, y) 0 ,

будем говорить, что система (Ã) дает поворот поля системы (A) (или просто поворот поля) на неотрицательный или неположительный угол.

Предположим, что рассматривается динамическая система, правые части которой зависят от некоторого параметра

Причемэтусистемупринекоторомчастномрешениипараметра, например, при 0 , т. е. систему

будемприниматьзаисходнуюсистему (A). Тогдаизмененнойсистемой будет система (A ) при 0 , и она, очевидно, может быть получена

из исходной системы (А) с помощью добавок:

P(x, y, ) P(x, y,0) p(x, y, ) ,

Q(x, y, ) Q(x, y,0) q(x, y, ) .

12

В дальнейшем будем часто рассматривать добавки, линейно зависящие от , т. е. наряду с данной системой (A) будем рассматривать из-

мененную систему вида

Отметим еще один встречающийся в дальнейшем частный случай измененной системы, а именно

При использовании формулы (1.2) или выражения для tg , которое

нетрудно получить, эта система дает поворот поля системы (A) на постоянный угол, тангенс которого равен .

В этом частном случае измененной системы ее состояния равновесиясовпадаютссостояниямиравновесиясистемы(A) (хотяхарактерих может быть отличен от характера состояний равновесия системы (A)).

Действительно, заметим, что при любом можно иметь одновременно

только тогда, когда одновременно

Здесь остановились лишь на этом частном случае добавок ввиду того, что поворот поля часто используется в дальнейшем при рассмотрении конкретных систем.

13

что система (Ã) мало меняется, если наряду с системой (A) рассматриваются всевозможные измененные системы (Ã), близкие к системе (A) в указанном смысле.

Предполагается, чтограницаобласти G , вкоторойрассматривается система (A), является циклом без контакта для траекторий этой системы, т. е. простой гладкой замкнутой кривой C, не имеющей контактов (не касающейся траекторий системы (А)). Тогда кривая C является циклом безконтактатакжеи длятраекторий всякой системы (Ã), достаточно близкой к (A).

Хотя это предположение сильно ограничивает класс рассматриваемых динамических систем, однако при этом смысл понятия грубости системы сохраняется, а определение грубости значительно проще, чем

при общих предположениях относительно границы области G . Определение I. Динамическая система (А) называется грубой (в за-

мкнутой области G , граница которой есть цикл без контакта), если для любого 0 можно указать такое 0 , что для всевозможных измененных систем (Ã), правые части которых P(x, y) и Q(x, y) , удовлетво-

ряют в области G условиям

Существует топологическое отображение области G в себя, при котором каждая траектория системы (A) отображается в траекторию измененной системы (Ã) и обратно, и при этом соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем .

15

Предположение о том, что граница области G есть цикл без контакта, является весьма сильным и ничем не оправданным ограничением на рассматриваемые динамические системы.

Определение грубости может быть освобождено от этого предположения, однако при этом оно значительно усложняется.

Для формулировки этого общего определения грубости введем некоторую вспомогательную терминологию.

Пусть, как сказано выше, система (A) и измененная система (Ã) рассматриваются в замкнутой ограниченной области G. Пусть дано некоторое 0 .

1. Измененная система (Ã) называется -близкой в G к системе (A), если во всех точках области G выполняются неравенства:

Предположим теперь, что система (A) рассматривается в некоторой замкнутой области H целиком вместе с границей, лежащей в области G,

а данная измененная система (Ã) – в некоторой замкнутой области H , такжецеликомвместесграницей, лежащейвобластиG (такчтониодна

граничная для областей H или H точка не является граничной для области G).

2. Разбиение области H на траектории системы (A) называется

-тождественным разбиению области H на траектории системы (Ã), если существует топологическое отображение замкнутых областей H

и H , при котором траектории систем (A) и (Ã) отображаются друг в друга, и при этом соответствующие точки находятся на расстоянии,

меньшем (при этом всякая точка области H находится в -окрест- ности некоторой точки области H ).

16

Рассматривая исходную систему (A) и измененные системы (Ã), определенные в замкнутой области G , будем говорить о грубости системы (A) – по самому смыслу этого понятия – не во всей области G , а в некоторой (произвольной) замкнутой области G0 , целиком содержащейся в открытой области G.

При этом будем предполагать, что граница области G0 является

простой замкнутой кривой (но теперь уже эта граница может и не быть целиком без контакта).

Определение I . Динамическая система (A) называется грубой в замкнутой области G0 G , если существует замкнутая область H , цели-

ком содержащаяся в G(H C) и целиком содержащая G0 (G0 H ) , в которой выполняются следующие условия: при любом 0 можно указать 0 такое, что какую бы систему (Ã), -близкую в области G к системе (A), мы ни взяли, существует замкнутая область H G , разбиение которой на траектории системы (Ã) -тождественно разбиению области H на траектории системы (A). Однако нетрудно видеть, пользуясь введенным ниже понятием грубой и негрубой траектории, что это определение не запрещает наличия негрубых траекторий (негрубых состояний равновесия, негрубых предельных циклов), лежащих на границе области G0 . А это не соответствует содержанию понятия грубости. Данное в тексте определение с введением вспомогательных обла-

стей H и H выделяет системы, полностью адекватные интуитивному понятию грубой системы.

Введение понятия грубости без специальных предположений о границе области представляется естественным и необходимым с различныхточекзрения. Изданногоопределениягрубойсистемы, вчастности, следует, что если выбрать достаточно малое 0 и соответствующее0 , то у всевозможных -близких к (A) систем (Ã) в -окрестности каждого состояния равновесия системы (A) будет лежать одно и только одно состояние равновесия и при этом того же характера, что и у системы (A), и в -окрестности каждого предельного цикла – один

итолько один предельный цикл того же характера, что и у системы (A),

ит. д. Но это накладывает определенное ограничение на возможные

17

угрубыхсистемсостоянияравновесияизамкнутыетраектории, атакже на поведение сепаратис седел. Подчеркнем, что ограничения, которые требование грубости накладывает на рассматриваемые динамические системы, таковы, что они выделяют общий случай. Другими словами, всякая наперед заданная динамическая система является грубой, в то время как негрубые системы являются исключительными системами.

§2. Состояния равновесия, возможные

вгрубой динамической системе

Выдвинем следующее утверждение: если система (A) является гру-

бой в замкнутой области G , то в G у нее может существовать только конечное число состояний равновесия.

В рассматриваемом случае аналитических правых частей системы (A) бесчисленное множество состояний равновесия возможно лишь в случае, когда правые части имеют общий множитель. Но тогда можно рассмотреть сколько угодно близкую вместе со своими производными аналитическую систему, у которой правые части уже не имеют общих множителей, откуда и будет следовать справедливость выдвинутого утверждения.

При более общих предположениях относительно правых частей динамической системы (например, при предположениях о наличии производных до некоторого конечного порядка k 1) у системы (A) может

существовать бесчисленное множество корней и в том случае, когда P(x, y) и Q(x, y) не имеют общего множителя. В этом случае всегда можно взять сколько угодно близкую к (A) систему (Ã) с аналитическими правыми частями, не имеющими общего множителя.

Таким образом, у грубой в G системы все состояния равновесия изолированные.

Пусть M0 (x0, y0 ) – состояние равновесия системы (A). В дальнейшем будем рассматривать величины

18

Выдвинем следующее утверждение: если система (A) является грубойвзамкнутойобласти G , тоу неенеможетсуществоватьв G состояния равновесия, для которого

(x0, y0 ) 0 .

Действительно, условие (x0, y0 ) 0 означает, что изоклины

P(x, y) = 0, Q(x, y) = 0 в их общей точке Q(x0, y0 ) не просто пересекаются, а имеют кратную общую точку. А это значит, что всегда найдется измененная система (Ã), у которой сколько угодно близко от точки O существует более одной общей точки, что противоречит грубости системы. Из этого утверждения следует, что если система (A) является

грубой в G , то в G могут существовать только простые состояния равновесия.

Состояние равновесия, возможные в грубой системе, будем назы-

вать грубыми состояниями равновесия.

Выдвинем следующее утверждение: простые состояния равновесия, у которых 0, 0 и у которых 0 (т. е. простые состояния равновесия типа «узел», «фокус» и «седло»), являются грубыми.

§ 3. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями

Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями может быть изучено после перехода к полярной системе координатпутемрассмотренияфункциипоследования r f (r0 ) , построенной,

например, на оси x. Рассмотрение такой функции последования для систем, близких к данной, т. е. построение функции последования

r f (r0 )

для надлежащим образом выбранной системы x P(x, y) , y Q(x, y) ,

близкой к данной, позволяет сформулировать следующее утверждение (утверждениеорождениипредельногоциклаизсложногофокуса). Если состояние равновесия O системы с чисто мнимыми характеристиче-

19

скими корнями является сложным фокусом кратности k 1, то при любых 0 и 0 всегда существует такая -близкая к системе (A) система (Ã), у которой в -окрестности состояния равновесия O существует, по крайней мере, один предельный цикл.

Естественно говорить, что предельный цикл L системы (Ã), лежащий в указанной -окрестности состояния равновесия O, «рождается из сложного фокуса».

Сформулируем следующее утверждение: если состояние равновесия O системы (A) является центром, то при любом 0 существует измененная система (Ã), -близкая к (A), у которой состояние равновесия O является фокусом.

Доказательство двух предыдущих утверждений может быть получено путем рассмотрения измененной системы, у которой действительные части характеристических корней не равны нулю, с привлечением функции (r0 ) , аналогичной (r0 ) , построенной для такой изменен-

ной системы с использованием выражения для первого, не равного нулю, из коэффициентов в разложении функции (r0 ) .

Следующее утверждение, дающее второе необходимоеусловие грубости системы, непосредственно вытекает из предыдущего утвержде-

ния: если система (A) является грубой в G , то в G не может быть состояния равновесия, для которого 0 , 0 .

§4. Замкнутые траектории, возможные

вгрубой системе

Замкнутые траектории, возможные в грубой системе, будем называть грубыми.

Свойства замкнутой траектории данной системы x P(x, y), y Q(x, y) естественным образом изучаются с помощью функции последования s f (s) , построенной на дуге без контакта l (s – параметр

на этой дуге). Рассматривая наряду с данной системой измененную систему

20