Методы качественного анализа динамических систем. Учебное пособие

2. Ячейка односвязна и в ее границу входят:

а) одно седло, три сепаратисы этого седла: две, стремящиеся к седлу при t (t ) , и одна – при t (t ) , и состояния рав-

новесия или предельные циклы, являющиеся предельными для этих сепаратис;

б) два седла, две сепаратисы одного седла, стремящиеся к нему при t и t , и два состояния равновесия (или один или два предельных цикла) – устойчивое и неустойчивое, являющиеся предельными для этих сепаратис.

Примеры ячеек типа а) и б) в случае, когда сепаратисы стремятся к состояниям равновесия, представлены на рис. 4, а и б.

Рис. 6. Различные типы ячеек

Когда предельными для сепаратис являются предельные циклы, могут представляться различные случаи в зависимости от того, лежат ли сепаратисы, входящие в границу ячейки, вне или внутри того предельного цикла, к которому они стремятся, и в зависимости от того, совпадает ли положительное направление обхода предельного цикла с направлением обхода в сторону возрастания t или противоположно ему.

На рис. 5 и 6 показаны некоторые ячейки типа а) и б). Число различных типов ячеек в грубых системах на плоскости конечно.

31

§ 10. Замечания по поводу определения грубой системы

Как уже было сказано в § 1 настоящей главы, определение грубой динамической системы впервые было дано в предположении, что гра-

ница замкнутой области G , в которой рассматривается данная система и все близкие измененные системы, является циклом без контакта. Это предположение вызвано только тем, что формулировка определения грубости при нем упрощается.

При принятии такого определения невозможно говорить о грубости целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривается динамическая система, которая имеет в не-

которой области G (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло или узел и седло. Такие системы следует считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области G в этих примерах не может быть циклом без контакта. Индекс замкну-

той кривой, являющейся границей области G в этих случаях не равен единице, и поэтому она не может быть циклом без контакта. Можно «подправить» определение I, делая более общие предположения от-

носительно границы области G . Например, допустим, что граница об-

ласти G есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (A) и не содержащая состояний равновесия. Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу по-

нятия грубости грубость системы в некоторой области G должна вытекатьнепосредственноизопределениягрубостисистемывпроизвольной

замкнутой области G0 , содержащейся в G . Поэтому все указанные

определениягрубости(сусловияминагранице) неполностьюотражают смысл понятия грубости системы, а отражает его более сложное по форме определение I . Отметим, что из определения I непосредственно

вытекает, чтосистема(A) – грубаявнекоторойобласти G , онагрубаво всякой области g G . Определение I фактически используется также

32

при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматриваетсянегрубаясистема, естественнымобразомразделяетсяначасти, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы.

Рассмотрим определение, которое было дано в предположении, что

граница области G , в которой рассматривается система (A), является циклом без контакта.

Определение II (грубости динамической системы без -тождест- венности). Система(A) являетсягрубойвобластиG (ограниченнойциклом без контакта), если существует такое 0 , что всякая динамиче-

ская система (Ã), -близкая к (A), имеет в области G ту же качественную структуру, что и система (A).

Очевидно, что если система груба в смысле определения I, то она являетсягрубойивсмыслеопределенияII. Обратноенеочевидно. Определение II имеет следующее преимущество: непосредственно из этого определения вытекает тот факт, что грубые системы в пространстве динамических систем заполняют области. При определении I этот факт нужно доказать, опираясь на необходимые и достаточные условия грубости.

В настоящее время широко используется определение грубости динамической системы на двумерных (и многомерных) многообразиях, а также определение грубости диффеоморфизмовмногообразий (точечных отображений) без -тождественности. При этом используется не термин «грубость», а термин «структурная устойчивость».

33

правые части которой – аналитические функции x и y в некоторой ограниченной замкнутой области G плоскости x, y.

Также, каки приопределениигрубойдинамическойсистемы, пред-

положим, чтограницаобласти G являетсяцикломбезконтактадлятраекторий системы (A).

Наряду с системой (A) рассмотрим всевозможные измененные системы

определенные в той же области G , что и система (A), с правыми частями, также являющимися аналитическими функциями x и y. При вве-

дении понятия системы первой степени негрубости по самому смыслу понятия естественно использовать другое определение близости двух динамических систем.

Можно сказать, что система (Ã) -близка в области G к системе (A)

(т. е. если близки и сами функции Q(x, y) и Q(x, y) и P(x, y) , P(x, y) и их производные до третьего порядка включительно). В дальнейшем для краткости опустим слова «в области G ».

Определение III. Динамическая система (A) называется системой первой степени негрубости в области G , если она не является грубой в G и если для всякого 0 найдется 0 такое, что, какую бы систему (Ã), негрубую в G и -близкую до ранга 3 к системе (A) мы не

взяли, существует топологическоеотображениеобласти G насебя, при которомтраектории системы(A) и (Ã) отображаются друг вдруга, и соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем .

35

В силу определения III динамические системы первой степени негрубости являются системами релятивно грубыми в множестве негрубых систем.

Сформулируем основные предложения, с помощью которых устанавливаются необходимыеидостаточныеусловиятого, чтосистема(A)

является системой первой степени негрубости в G .

Необходимыми и достаточными условиями грубости динамической системы являются условия I–III, см. § 6, гл. 2.

Следовательно, если система (А) является негрубой, то у нее непременно должны существовать:

1)либо состояние равновесия, у которого 0 ;

2)либо состояние равновесия, у которого 0 , 0 ;

3)либо предельный цикл с характеристическим показателем, равным нулю;

4)либо сепаратиса, идущая из седла в седло.

§3. Состояния равновесия, возможные

всистеме первой степени негрубости

Сохраним обозначения:

Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) .

Сформулируем следующее утверждение.

Если система (A) является системой первой степени негрубости в замкнутой области G , то она не может иметь в G состояние равновесия, для которого 0 , 0 . Всегда можно считать, что x0 y0 0 ,

итогда систему (A) в окрестности состояния равновесия, для которого

0 , 0 , можно привести линейной заменой переменных к виду

x P2 (x, y) , y by Q2 (x, y) ,

где P2 (x, y) и Q2 (x, y) – функции, разложение которых по степеням x и y начинается с членов не ниже второй степени.

36

Сформулируем следующее утверждение.

Если система (A) является системой первой степени негрубости в области G , то в G у нее не может быть состояний равновесия, у которых 0 , 0 , P2 (1,0) 0 . Состояние равновесия, для которого0 , 0 , P2 (1,0) l0 0 , является седлом-узлом.

§4. Замкнутые траектории, возможные

всистеме первой степени негрубости

Перейдем к выяснению вопроса о том, какие замкнутые траектории возможны в системе первой степени негрубости. Пусть L0 – замкнутая

траектория, а x (t), y (t) – соответствующее ей решение.

Пусть s h1s h2s2 h3s3 ... – функция последования, построенная в окрестности L0 на некоторой дуге без контакта, проведенной через какую-нибудь точку L0 .

При этом

Сформулируем следующее утверждение.

Если система(A) является системой первой степени негрубости в G , то в G не может существовать замкнутая траектория, у которой

Замкнутаятраектория, длякоторойh = 0 (т. е. h1 = 1) и h2 0 , назы-

вается двойным (двукратным) предельным циклом (этот цикл является полуустойчивым).

37

§5. Условия для сепаратисы седел и седел-узлов

всистеме первой степени негрубости

Пустьтеперьу системы(A) существуетсепаратиса, идущаяизседла в седло. Рассмотрим случай, когда сепаратиса L0 идет из седла O в то

жеседло. Тогда L0 вместесседломO образуетпростуюзамкнутуюкривую C0 . Скажем, чтовэтомслучаесепаратисаобразуетпетлю, или, что

имеем петлю сепаратисы. Если при этом сепаратисы седла O, отличные от L0 , лежат внутри петли (внутри C0 ), то можно сказать, что L0 обра-

зует большую петлю. Укажем следующие основные свойства петли сепаратисы (рис. 7 и 8).

0

0

Рис. 7. Иллюстрация устойчивости петли сепаратисы для случая c > 0

Рис. 8. Иллюстрация устойчивости петли сепаратисы для случая c < 0

38

1. Если в седле O(x0 , y0 ) величина

c Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 ,

то петля неустойчива (т. е. все траектории, проходящие через достаточно близкиек ней точки, лежащие внутри нееили соответственно вне ее, стремятся к петле при t ).

Если величина

c Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 ,

то петля устойчива (см. рис. 7 и 8). 2. Если в седле

Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 ,

то возможен как случай, когда петля устойчива, так и случай, когда петля неустойчива, а также случай, когда все траектории, проходящие через точки внутри (вне) петли, достаточно близкие к петле, замкнуты.

Сформулируем следующее утверждение.

Если система(A) является системой первой степени негрубости в G , то в G не может существовать сепаратисы, идущей из седла в то же седло, если в этом седле Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 ( x0 , y0 – координаты седла).

Величина c Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) ( O(x0 , y0 ) – седло) называется седловой величиной.

§ 6. Необходимые и достаточные условия первой степени негрубости

Назовем независимой особой траекторией первой степени негрубости каждую из траекторий следующих типов:

1)  состояние равновесия седло-узел, для которого 0 , 0 ,

P2 (1,0) 0 ;

2)  сложный фокус первого порядка ( 0 , L1 3 0 ); 3)  двойной предельный цикл (h = 0, h2 0 );

39

4)  сепаратису, идущую из одного седла в другое; 5)  сепаратису, идущую из седла в то же седло, причем в седле

c Px (x0, y0 ) Qy (x0, y0 ) 0 ( x0 , y0 – координаты седла).

Сформулируем следующее утверждение.

Если система (A) является системой первой степени негрубости в G , то у нее не может существовать в G двух независимых особых траекторий первой степени негрубости.

Сформулируем также следующее утверждение.

Если система (A) является системой первой степени негрубости в области G , то в G не может быть:

а)  сепаратисы седла-узла, идущей в седло (или из седла); б)  двух сепаратис седла-узла, являющихся продолжением одна дру-

гой; в)  двух сепаратис седел, одна из которых накручивается на двойной

предельный цикл, а другая скручивается с него; г)  сепаратисы, образующей петлю, на которую накручивается (или

с которой скручивается) сепаратиса другого седла.

Можно сказать, что система (A) в области G удовлетворяет усло-

виям г), если в области G :

а)  онаимеетоднуитолькооднунегрубуюнезависимуюособуютраекторию первой степени негрубости;

б)  эта особая траектория принадлежит к одному из следующих типов:

1)  седло-узел,

2)  сложный фокус первого порядка,

3)  двойной предельный цикл, 4)  сепаратиса, идущая из седла в седло, причем если она возвраща-

ется в то же седло, то в этом седле c 0 ;

в)  сепаратисы седел и седла-узлов (являющихся не независимыми негрубыми особыми траекториями) удовлетворяют следующим требованиям:

1)  сепаратиса седла не может накручиваться на сепаратису другого седла, идущую из седла в то же самое седло (или скручиваться в нее); 2)  сепаратиса седла не может накручиваться на двойной цикл, если

есть сепаратиса, скручивающаяся с него (и наоборот);

40