Математическое моделирование. Практикум. Учебное пособие
.pdf
Sregr = 41.392
Ftabl := qF (0.95 , k - 1 , N - k)
Fvych := Sregr
Sost
Fvych = 34.255
Ftabl = 19
Ftabl := qF (0.95, k - 1, N - k )
Kef := Fvych
Ftabl
Kef = 1.803
4. Оцениваем значимость коэффициентов модели:
j := 0.. 2
Z := |
( |
|
T |
)- 1 |
|
|
|
|
F |
F |
|
|
|
||
|
æ |
38.083 |
-10.583 |
12.833 ö |
|||
Z = |
ç |
-10.583 |
3.083 |
-3.833 |
÷ |
||
ç |
÷ |
||||||
|
è |
12.833 |
-3.833 |
4.833 |
ø |
||
Tvychj :=
Bj
Sost×Zj , j
æ -1.167 ö
Tvych = çç 1.252 ÷÷ è -0.276 ø
qt (0.975 , N - k) = 4.303
71
Контрольные вопросы и задания
1.Что такое параметрический синтез и с помощью каких методов он проводится?
2.Запишите модель объекта, линейную относительно коэффициентов bi.
3.Как составляется матрица плана эксперимента?
4.Запишите регрессионную матрицу в общем виде.
5.Что такое транспонированная матрица?
6.Приведите формулу остаточной дисперсии. Что она показывает?
Практическая работа № 11. Полный факторный эксперимент
Цель работы: освоить методы построения статистических моделей на основе регрессионного анализа.
Теоретические сведения
При полном факторном эксперименте(ПФЭ) число опытов равно числу всех возможных комбинаций уровней факторов и при
одинаковом числе уровней для каждого фактора |
определяется |
формулой: |
|
N = nk , |
(1) |
где n — число уровней; k — число факторов ( j = 1, 2, …, k). ПФЭ 2k называется такое проведение опытов, при котором каждый изk факторов рассматривается только на двух уровнях. При этом уровни факторов представляют собой границы варьирования данного параметра.
При реализации ПФЭ требуется выполнитьN = 22 = 4 опыта. Произведем кодирование факторов (замену переменных):
|
|
|
|
|
|
z |
j |
- z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x j |
= |
|
|
j |
, |
|
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
Dz j |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
zmax + zmin |
|
|
|
|
zmax - zmin |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z0j |
= |
j |
j |
|
, |
|
Dz j |
= |
j |
j |
, |
(3) |
||
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
72
где zminj |
и zmaxj |
— верхняя и нижняя границы варьирования j- |
||
фактора. Точка (z0 |
, z0 ) называется центром |
плана, или основным |
||
|
1 |
2 |
|
|
уровнем; величины ∆z1 |
и ∆z2 — интервалами варьирования по осям |
|||
z1 и z2 . |
следует |
из |
уравнений(1) и (2), для |
переменных х1 и х2 |
Как |
||||
нижний уровень равен –1, верхний — +1, координаты центра плана равны нулю.
Пример расчета
Условие. В результате эксперимента получены статистические данные для процесса обогащения хлеба сывороточно-белковым концентратом. В качестве основных факторов, влияющих на изменение
3
удельного объема хлебаY (в см/100 г), выбраны X1 – количество вносимого сахара (в %), Х2 – количество сывороточно-белкового концентрата (в %), Х3 – влажность теста (в %), с матрицей планирования и результатами эксперимента (таблица).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
N |
X1 |
X2 |
X3 |
X1,% |
X2,% |
X3,% |
Y1 |
Y2 |
Yн |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1.01 |
2.83 |
40.2 |
359.6 |
358.6 |
359.1 |
2 |
+1 |
-1 |
-1 |
3.99 |
2.83 |
40.2 |
384.4 |
388.7 |
386.5 |
3 |
-1 |
+1 |
-1 |
1.01 |
8.17 |
40.2 |
368.4 |
369.0 |
368.7 |
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
3.99 |
8.17 |
40.2 |
395.6 |
395.6 |
395.6 |
5 |
-1 |
-1 |
+1 |
1.01 |
2.83 |
43.7 |
374.1 |
375.7 |
374.98 |
6 |
+1 |
-1 |
+1 |
3.99 |
2.83 |
43.7 |
400.6 |
404.9 |
402.84 |
7 |
-1 |
+1 |
+1 |
1.01 |
8.17 |
43.7 |
384.6 |
386.7 |
386.7 |
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
3.99 |
8.17 |
43.7 |
412.0 |
416.0 |
414.05 |
Количество членов модели не должно превышать количество опытов.
Неполная квадратичная модель строится в виде
Y( i ) = b0 x0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x1 x2 + b5 x1 x3 + b6 x2 x3 + + b7 x1 x2 x3 ,
где х0 – фиктивный входной параметр для учета случайных по-
мех, х0 = 1.
Коэффициенты регрессии вычисляются по формуле
73
|
|
|
bj = |
1 |
åN x(i,j )× yн(i); j =1 ¸ M , |
|
|
|
|||
|
|
|
|
N i=1 |
|
где М – количество коэффициентов уравнения (М<N). |
|||||
|
1 |
В рассматриваемом примере |
|||
b = |
|
( -1 × 359 ,1 + 1 × 386 ,5 - 1 × 386 ,7 + 1 × 395 ,6 - 1 × 374 ,98 + |
|||
|
|
||||
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 × 402 ,838 - 1 × 386 ,7 + 1 × 414 ,05 ).
Проверка значимости коэффициентов регрессии выполняется по критерию Стьюдента
T j = |
|
b j |
|
, |
|
|
|
|
|||
Sb j |
|||||
|
|
||||
где Sbj - точность определения коэффициентов регрессии:
Sbj = S восп ,
N
где Sвосп = S2 восп , S2 восп – дисперсия воспроизводимости эксперимента:
|
1 |
N N1 |
|
Sвосп2 = |
åå(Y (i, k) -Yн(i))2 , |
||
N (N1 -1) |
|||
|
i =1 k =1 |
где N1 – число серий параллельных опытов; N - число опытов в одной серии; Y(i, k) – значение исходного параметра в i- м опыте k -й серии; Yн(i) – среднее значение в i –м опыте.
Для рассматриваемого параметра N1 = 2, N = 8.
S |
2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|
восп = |
|
((359,67- 359,1) |
+ (358,611- 359,1) |
+ (384,416- |
|
|
8(2 -1) |
- 368,5)2 + (388,707- 386,5)2 + ... + (416,010- 414,05)2 ).
Коэффициент в уравнении регрессии является значимым, если расчетное значение критерия Стьюдента больше табличного (Тj >Ттабл). Табличное значение критерия выбирается из таблицы для числа степеней свободыf = N·(N1–1) и требуемого уровня значимости Р. В рассматриваемом примере для f = 8 ×(2 -1) = 8
74
и Р=0,05 Ттабл = 2,31. Незначимый коэффициент из уравнения регрессии исключается (приравнивается нулю).
Проверка адекватности модели выполняется по критерию Фишера:
|
F = |
|
S 2ад |
, |
||
|
|
S 2восп |
||||
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
N |
|
||
S 2 ад = |
|
å(Yн(i) -Yв(i))2 , |
||||
|
||||||
|
N - NP i=1 |
|
||||
где NP – количество значимых коэффициентов в уравнении регрессии; Yв(i) – значение выходного параметра, рассчитанное по уравнению регрессии при условии i-го опыта. Модель адекватна, если расчетное значение критерия Фишера меньше табличного (F < Fтабл) при проведении серии параллельных опытов или дополнительных. Табличное значение критерия Фишера определяется по таблице для соответствующего числа степеней свободы f1 = N – NP и f2 = N1 – 1 и заданного уровня значимости Р =0,05.
В рассматриваемом примере f2 = 2 – 1 = 1.
Решение
75
76
77
78
Контрольные вопросы и задания
1.В чем заключается метод наименьших квадратов?
2.Приведите последовательность действий при выполнении регрессионного анализа.
3.На чем основано определение коэффициентов линейной параболической регрессии?
4.Приведите формулы расчета коэффициентов трансцендентной регрессии.
5.Что такое полный факторный эксперимент?
79
Приложение 1
Исходные данные по выполнению практической работы № 1
№ вари- |
min |
V0 |
R1 |
R2 |
h0 |
|
анта |
||||||
|
|
|
|
|
||
1 |
S |
5 |
0,5 |
1,5 |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
L |
7 |
0,5 |
1,5 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
S |
8 |
1,2 |
2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
L |
9 |
1,2 |
2 |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
S |
10 |
0,5 |
1,5 |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
L |
11 |
0,5 |
1,5 |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
S |
12 |
1,4 |
2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
L |
13 |
1,4 |
2 |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
S |
14 |
1 |
1,8 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
L |
15 |
1,2 |
2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
S |
16 |
1,2 |
2 |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
L |
17 |
0,5 |
1,5 |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
S |
18 |
0,5 |
1,5 |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
L |
19 |
1,4 |
2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
S |
20 |
1,4 |
2 |
015 |
|
|
|
|
|
|
|
80