Математическое моделирование. Практикум. Учебное пособие

c(t)

Рис. 2. Отклики для модели идеального вытеснения: а - на входе ступенчатое возмущение; б - на входе импульсное возмущение

Задание. (Исходные данные в приложении 3.)

1.Составить аналитическую модель описания процесса.

2.Составить модель решения и записать ее в аналитическом виде.

3.Разработать алгоритм поиска решения.

4.Получить выходные данные.

5.Построить графическую интерпретацию полученного решения.

Пример расчета

Условие. В проточный аппарат трубчатого вида диаметром d = 0,05 м и длиной l = 7 м поступает поток с объемным расходом v = 1,7 м3/ч, содержащий в нулевой момент времени по всей длине аппарата начальную концентрацию cвых(0) = cн = 10 моль/м3 (рис. 3).

x = 0 x = l

l

Рис. 3. Схема условного трубчатого аппарата

21

При этом концентрация вещества в начале аппарата в любой момент времени есть некоторая входная функция от времени, изме-

центрацию вещества в аппарате cвых(t) по его длине в момент времени

T = 2 ч.

Решение

1. Словесная постановка задачи.

Исходными данными рассматриваемого процесса являются:

-диаметр трубчатого аппарата d = 0,05 м;

-длина аппарата l =7 м;

-объемный поток n = 1,7 м3/ч;

-начальная концентрация вещества по всей длине аппарата в момент времени t = 0 была равна начальному значению c (0) = cн = 10;

-концентрация вещества в начале аппарата в любой момент

времени равна концентрации вещества во входном потоке

t cвх (t) = 1 + t ;

- исследуемый интервал времени T = [0, 2].

2. Синтез аналитической модели описания.

Для рассматриваемого процесса, проходящего в аппарате (см. рис. 3), принимаем следующие допущения:

-диаметр намного меньше длины (d<< l );

-в поперечном направлении в каждом слое осуществляется идеальное смешение;

-в продольном направлении перемешивание отсутствует, т. е. вытеснение идеальное.

Концентрация исследуемого вещества в потоке аппарата зависит от двух переменных:

1) концентрация изменяется во времени на каждом бесконечно

малом интервале сечения (Dx);

2) в каждый момент времени происходит изменение концентрации вещества по всей длине рассматриваемого аппарата.

22

Следовательно, исследуемая концентрация есть функция двух переменных - времени (t) и координаты длины аппарата(x), т. е. cвых = f(t,x). При исследовании динамики изменения cвых по обеим переменным может быть использовано дифференциальное уравнение 1-го порядка в частных производных.

Исходя из вышесказанного для описания структуры потока в аппарате (см. рис. 3) применяем следующую математическую модель:

где w - линейная скорость передвижения вещества, м/с,

w = v , S

где S - площадь поперечного сечения аппарата (м2):

Для решения дифференциального уравнения в частных производных (5) запишем начальное и граничное условия:

- начальное условие:

свых(x, 0) = cн=10, при t = 0, 0 < x < l , (6) - граничное условие:

3. Разработка модели решения.

Математическая модель исследуемого процесса записана в виде дифференциального уравнения 1-го порядка в частных производных (5) с начальным и граничным условиями (6) и (7). Для решения воспользуемся методом конечных разностей.

Левая часть уравнения (5) представляет собой производную по времени t (T=[0,2)). В конечных разностях она примет вид:

23

где Dt - бесконечно малый промежуток интервала времени, Dt = T , n

где n - число разбиений интервала времени; i - номер интервала раз-

биения, целые числа, i = 0, 1, 2, …, (n-1), n.

Правая часть уравнения(5) представляет собой производную по координате длины аппарата x (x=[0, l )). В конечных разностях она примет вид

где Dx - бесконечно малый участок сечения аппарата, Dx = l , где m - m

число разбиений аппарата по длине; j - номер интервала разбиения,

целые числа, j = 0, 1, 2, …, (m-1), m.

Алгоритм вывода численного решения уравнения (5).

Введем обозначения ¶ x = ¶z - безразмерная координата дли- l

ны; ¶[cвых (x,t) / cн ] = ¶c - безразмерная координата концентрации;

24

¶ w t = ¶Q - безразмерная координата времени. Тогда уравнение (5), l

начальное условие (6) и граничное условие (7) примут вид

î

Заменим в уравнении ¶c = - ¶c частные дифференциалы ле-

¶Q ¶z

восторонними конечными разностями относительно c j +1,i +1 :

Таким образом, численное решение уравнения (5), основанное на методе конечных разностей, примет вид

Dz

Начальное (6) и граничное (7) условия в конечных разностях будут иметь вид:

25

начальное условие:

бора значений интервалов n и m:

m > nlpd 2 . 4vT

Аналогично, задаваясь параметром m=const, определим параметр n. Таким образом, модель решения уравнения (5) с начальным

(6) и граничным (7) условиями будет состоять из (8) - (11).

4. Решение задачи в среде MathСad.

Введем исходные данные задачи (рис. 4).

Рис. 4. Ввод исходных данных

Рассчитаем значение концентрации исходного вещества на входе в аппарат в каждой точке разбиения интервала времени. Для определения выражений, переменных и функций в несколько строк

26

(при возвращении различных значений, как в нашем случае) в системе MathCAD используются программные модули.

Для вставки программного кода в документы используется специальная панель инструментовProgramming (Программирование, рис. 5), которую можно вызвать на экран нажатием кнопки

Programming Toolbar на панели Math (Математика).

Рис. 5. Панель инструментов Programming

Присваивание в пределах программ в отличие от остальных документов MathСAD производится с помощью оператораLocal Definition (Локальное присваивание), который вставляется нажатием кнопки с изображением стрелки на панелиProgramming. Ни оператор присваивания «:=», ни оператор вывода«=» в пределах программ не применяются.

Определим с помощью программы функцию свх(t) (рис. 6).

Рис. 6. Вычисление значений функции свх(t)

27

Программный модуль обозначается в MathСAD вертикальной чертой, справа от которой последовательно записываются операторы языка программирования.

Для создания программного модуля нужно сделать - сле дующее (см. рис. 6).

1.Введите часть выражения, которая будет находиться слева от знака присваивания и сам знак присваивания. В нашем примере это имя функции cv.

2.При необходимости вызовите на экран панель инструментов Programming (Программирование) (см. рис. 5).

3.Нажмите на этой панели кнопку Add Line (Добавить линию).

4.Если приблизительно известно, сколько строк кода будет содержать программа, можно создать нужное количество линий повторным нажатием кнопкиAdd Line (Добавить линию) соответствующее число раз (рис. 7).

Рис. 7. Начало создания программного модуля

5. В появившиеся местозаполнители введите желаемый программный код, используя программные операторы. В нашем примере в верхнем местозаполнителе вводим операторFor (при этом автоматически добавляется местозаполнитель для записи тела цикла), имя параметра цикла и диапазон его значений. В появившейся строке с помощью оператора Local Definition вводим тело цикла, т. е. выражение, которое должно выполняться циклически. В нижнем местозаполнителе записано имя заполняемого массива. Заметим, что переменная s существует только внутри программы, выделенной верти-

кальной чертой. Из других мест документа получить ее значение невозможно.

28

После того как программный модуль полностью определен и ни один местозаполнитель не остался пустым, функция может использоваться обычным образом, как в численных, так и в символьных расчетах. Для того чтобы вывести посчитанные значения после программного кода, введем выражение “cv=” и нажмем клавишу Enter, на экран будет выведена таблица решений(см. рис. 6).

Далее для решения дифференциального уравнения в частных производных (5) запишем начальное и граничное условия(6), (7) и численное решение уравнения (5) – формулу (10). Для этого необходимо записать следующий программный код (рис. 8).

Рис. 8. Заполнение массива концентрации исходного вещества

Для вывода посчитанных значений запишем выражение “cw=” и нажмем клавишу Enter (рис. 9).

5. Построение графиков.

Теперь по полученным данным построим графики зависимости выходного параметра во времени в указанном интервале. Сначала построим график изменения концентрации по длине аппарата в конечный момент времени. Для этого на макете для построения графиков в позиции оси абсцисс вводим параметрi, пределы изменения которого задаются перед построением,

29

а в положении оси ординат– обозначение последнего столбца матрицы значений функции свых(t) (рис. 10).

Рис. 9. Массив концентрации исходного вещества

i:=0..20

cwi,10

i

Рис. 10. Зависимость распределения концентрации вещества свых(t) по длине аппарата в момент времени t = 2 ч

30