Математическое моделирование. Практикум. Учебное пособие

Given r £ 1.5, r ≥ 0.5,

z := Minimize(S,r), z =0.708,

S(0.708) = 13.342, h(0.708) = 4.445.

Контрольные вопросы и задания

1.Перечислите основные модели решения.

2.Назовите основные этапы моделирования.

3.По каким критериям оценивается модель?

4.Расскажите о структурном и параметрическом синтезе мо-

дели.

5.Какие вам известны варианты структуры модели ? Как перейти от одного вида модели к другому?

6.Как построить график в MathСAD?

Практическая работа № 2. Модель идеального смешения

Цель работы: изучить реальные процессы, которые могут быть аппроксимированы при исследовании модели идеального смешения.

Теоретические сведения

Моделью идеального смешения описываются процессы, происходящие в цилиндрических аппаратах со сферическим дном в условиях больших скоростей перемешивания и при наличии отражающих перегородок.

Она относится к классу моделей с сосредоточенными параметрами. Для таких моделей характерно постоянство перемешивания в пространстве. Математическое описание включает алгебраические уравнения или дифференциальные уравнения1го порядка для нестационарных процессов.

11

Модели идеального смешения соответствует аппарат, в котором поступающее в него вещество мгновенно распределяется

где cвх - количество вещества на входе, кмоль; свых - количество вещества на выходе, кмоль; V - вместимость аппарата, м3; n - объемный расход потока через аппарат, м3/с. Для решения дифференциального уравнения (1) начальным условием является следующее: в начальный (нулевой) момент времени в аппарате начальная концентрация была равна некоторому начальному значе-

нию cн, т. е. с(0) = сн.

В лабораторных условиях для исследования изменения концентрации вещества в потоке на выходе из аппарата используют два различных приема: если на входе аппарата импульсное возмущение и при этом применяется метод вымывания и если на входе ступенчатое введение индикатора со скачкообразным -из менением концентрации.

При импульсном введении индикатора в количествеg он мгновенно распределяется по всему объему аппарата и затем начинается его вымывание. Изменение концентрации на выходе потока из аппарата описывается уравнением

c(t) = cн e-t t ,

где сн - начальная концентрация, cн = g V ; t - исследуемый ин-

тервал времени; t - среднее время пребывания частиц потока в аппарате, t =V n .

Если на вход аппарата подано ступенчатое воздействие, т. е. скачкообразное изменение концентрации в момент времени

12

t = 0 от c = 0 до c = cвх , то уравнение изменения концентрации на выходе потока из аппарата примет вид

c(t) = cвх (1 - e-t t ) .

Аппарат идеального смешения может быть аппроксимирован апериодическим звеном первого порядка с передаточной функцией

где Т1 - постоянная времени объекта, T1 = t .

Задание. (Исходные данные в приложении 2.)

1.Составить аналитическую модель описания процесса.

2.Составить модель решения и записать ее в аналитическом виде.

3.Получить решение.

4.Построить графическую интерпретацию полученного решения.

Пример расчета

Условие. В аппарат с мешалкой вместительностьюV = 3 м3 поступает объемный поток n = 0,7 м3/ч (см. рис. 1). Концентрация некоторого вещества в потоке составляетсвх. Начальная концентрация этого же вещества в аппарате c(0) = cн = 0.

Определить концентрацию вещества на выходе из аппарата cвых(t) в течение времени T = 2 ч при условии, что процесс перемешивания происходит в цилиндрическом аппарате со сферическим дном в условиях больших скоростей работы мешалки, концентрация вещества во входном потоке cвх зависит от времени

Решение

1. Словесная постановка задачи.

Исходными данными рассматриваемого процесса являются:

13

-вместительность аппарата идеального смешения V = 3 м3;

-объемный поток n = 0,7 м3/ч;

-закон изменения концентрации вещества во входном по-

t

токе cвх (t) = 1 + t ;

-начальная концентрация вещества в аппарате c(0) = cн = 0;

-исследуемый интервал времени T = [0, 2].

2. Синтез аналитической модели описания.

Рассматривается аппарат идеального смешения, т. е. вещество, поступающее в аппарат (см. рис. 1), мгновенно распределяется по всему объему аппарата и не происходит завихрений потока и налипания поступающего вещества на стенки аппарата. Математическая модель процесса идеального перемешивания может быть представлена в виде следующей системы:

3. Разработка модели решения.

Математическая модель рассматриваемого процесса записана в виде дифференциального уравнения1-го порядка с начальным условием (2).

4. Выполнение задания в среде MathСAD.

Для решения дифференциальных уравнений применяется метод Рунге - Кутта 4-го порядка из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода– уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и четырехкратное вычисление производных в методе 4-го порядка.

14

В методе Рунге - Кутта 4-го порядка следующее приближение функции рассчитывается по алгоритму

U(t+dt) = U(t) + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6,

где k1 = F(U,t)dt;

k2 = F(U+k1/2, t+dt/2)dt; k3 = F(U+k2/2, t+dt/2)dt;

k4 = F(U+k3, t+dt)dt.

Для решения дифференциальных уравнений используются функции rkfixed и Rkadapt:

-rkfixed для поиска решения использует метод Рунге - Кутта 4-го порядка с постоянным шагом;

-Rkadapt для поиска решения использует метод Рунге - Кутта 4-го порядка с переменным шагом.

В результате решения получается матрица, имеющая два столбца.

1) Первый столбец содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения.

2) Второй столбец содержит значения найденного решения

всоответствующих точках.

Функции rkfixed и Rkadapt имеют следующие аргументы:

1)у - вектор начальных условий размерности п, где п - порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений);

2)xl, х2 - граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальное условие - это значение решения в точке x1, заданное в векторе у;

3)npoints - число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк(1 + npoints) в матрице, возвращаемой функцией rkfixe;

4)D(x,y) - функция, возвращающая значение в виде вектора из п элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

15

Обращение к функциям имеет вид: rkfixed ( у, xl, x2, npoints, D); Rkadapt (у, xl, x2, npoints, D).

Для решения задачи в среде Mathcad достаточно ввести исходные данные, написать формулы для вычисления правой части уравнения и вызвать функцию решения дифференциального уравнения (рис. 2).

Через переменную w (см. рис. 2) обозначен объемный поток, с – начальная концентрация исходного вещества. Если решение поставленной задачи обозначить черезz, то для вывода на экран таблицы решений достаточно ввести выражение “z= “ после обращения

к функции Rkadapt. На экран будет выведена таблица решений

(рис. 3).

Рис. 2. Обращение к функции Rkadapt

16

Рис. 3. Исходные данные и результат решения

5. Построение графика.

Для построения графика полученного решения достаточно в панели инструментов «График» дважды щелкнуть кнопку «Вычерчивание X-Y» (см. рис. 2, с. 9).

Для построения графика в позиции оси абсцисс и ординат необходимо ввести обозначение столбцов параметра и функции

(рис. 4).

17

Рис. 4. Зависимость концентрации от времени

Контрольные вопросы и задания

1.Как записывается аналитическая модель описания процесса идеального перемешивания?

2.Каковы начальные условия процесса идеального перемешивания?

3.Как записывается модель решения для процесса идеального перемешивания?

4.Какие численные методы используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений?

5.Расскажите об алгоритме метода Рунге - Кутта.

6.Какие функции используются вMathCAD для решения дифференциальных уравнений?

7.Расскажите о способах построения графиков вMathCAD.

Практическая работа № 3. Модель идеального вытеснения

Цель работы: изучить реальные процессы, которые могут быть аппроксимированы при исследовании модели идеального вытеснения.

18

Теоретические сведения

Модель идеального вытеснения относится к классу моделей с распределенными параметрами. Для таких моделей характерно, что переменные процесса могут изменяться как во времени, так и в пространстве, или только в пространстве. Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в -ча

стных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной переменной.

Примером процесса, описываемого такими моделями, служит трубчатый аппарат с большим отношением длины к диаметру и значительной скоростью движения реагентов (рис. 1).

ld > 100

Рис. 1. Схема модели идеального вытеснения:n - объемный расход потока через аппарат, n = const; свх- исследуемая концентрация н входе аппарата; свых- исследуемая концентрация на выходе аппарата;

l- длина аппарата; d - диаметр аппарата

Воснове модели идеального вытеснения лежит допущение

опоршневом течении без перемешивания вдоль потока при равномерном распределении вещества в направлении, перпендикулярном движению потока. Время пребывания всех частиц в системе одинаково и равно отношению объема системы (аппарата) к объемному расходу жидкости. Такой поток, например, имеет место в трубчатом аппарате при турбулентном режиме течения жидкости через него.

Математическое описание модели идеального вытеснения (см. рис. 1) имеет вид

19

которой передвигается вещество и вдоль которой исследуется изменение концентрации; w - линейная скорость передвижения вещества, м/с, w =nS , где S - площадь поперечного сечения аппарата, м2.

Для решения дифференциального уравнения в частных производных (1) начальное условие: в начальный (нулевой) момент времени по всей длине аппарата начальная концентрация

Из решения (4) следует, что любое изменение концентрации на входе в аппарате идеального вытеснения появляется на его выходе через время, равное среднему времени пребывания

t = l w , где l - длина аппарата (см. рис. 1).

Аппарат идеального вытеснения аппроксимируют звеном чистого запаздывания. Передаточная функция этого звена имеет вид

W ( p ) = e- pt ,

где t - время транспортного запаздывания, с.

Виды выходных сигналов при различных входных воздействиях представлены на рис. 2.

20