Математическое моделирование. Практикум. Учебное пособие

Функция распределения СВ

Математическое статическое ожидание: M[x ]= a +2 b .

Дисперсия: D[x ]= (b - a) 2 . 12

2. Нормальный закон.

СВ h распределена по нормальному закону с параметрами m и s (s>0), если ее плотность имеет вид

Известно, что М[h]=m, D[h]=s2 (рис. 2).

Рис. 2. Функция плотности вероятности f(x) нормального закона распределения

3. Показательный закон.

СВ h называется показательно распределенной с параметром l > 0, если ее плотность имеет вид (рис. 3):

41

Рис. 3. Функция плотности вероятности f(x) показательного закона распределения

Предварительная обработка данных– действия, выпол-

няемые с результатами эксперимента перед построением модели. Назначение предварительной обработки - изучение вероятностных свойств объекта, проверка возможности построения ста-

тистической модели.

Предварительная статистическая обработка позволяет изучить свойства усл (х) и проверить указанное допущение.

Последовательность действий при предварительной обработке:

1)статистический контроль качества полученных результатов эксперимента (выборки);

2)вычисление основных статистических оценок;

3)определение характера объекта (стохастический или детерминированный);

4) проверка допущения о нормальности распределения

усл (х) ;

5)выводы о возможности построения модели.

42

S

Если условие выполняется, то yj – аномально и его надо исключить.

Если условие не выполняется, то yj – не аномально и его надо вернуть в выборку, а оценки пересчитать с учетом yj.

3) Объект считается детерминированным, если степень влияния случайных помех невелика. В противном случае он считается стохастическим. Это можно оценить по коэффициенту вариации:

V = S 2 . y

Если V < δ (максимальная погрешность модели), то объект можно считать детерминированным. В пищевой отрасли обычно

δ = 5 – 10 %.

43

Если δ ≤ V ≤ 0,3, то объект стохастический, но доля детерминированной составляющей достаточно велика, можно построить модель.

Если V > 0,3, то объект чисто стохастический, его поведение непредсказуемо и модель построить нельзя.

Замечание. Для вычисления коэффициента вариации и оценки степени стохастичности объекта входные параметры должны быть постоянны (одинаковы) во всех опытах, тогда оценивается влияние только случайных помех. Обычно входные параметры фиксируют посредине рабочего интервала.

4) Для проверки нормальности распределенияусл необходимо интервал экспериментальных значенийуi (интервал [ymin, ymax]) разбить на d частей, d=1+3,32lg(N) и вычислить nэкспj - чис-

ло попаданий результатов наблюдений в j-ю часть интервала, так же вычисляется nтеорj - теоретическое число попаданий вj-ю

часть интервала, которое должно получиться, если результаты наблюдений действительно распределены нормально. Потом вычисляются значения критерия Пирсона:

å n теорj j =1

Если c2выч < c2табл (a = 0,05; n) , то считаем, что нормальность подтверждается: n = d-3 – параметр критерия Пирсона.

44

Задание (Исходные данные в приложении 6.)

1.Выявить аномальный результат в экспериментальных данных.

2.Вычислить статистические оценки.

3.Определить характер объекта по коэффициенту вариации.

4.Проверить нормальность распределения случайной величины.

5.Решить задачу с помощью MathCAD, построить график.

6.Записать вывод.

Пример расчета

yi = {1,09; 0,3; 0,66; 1,38; 0,34; 0,83; 1,14; 0,97; 0,79; 1,11}; N = 10; d = 1+3,32lg(10) ≈ 4.

Точка y = 1,11 совпала с граничной точкой, в этом случае ее можно отнести к любому интервалу, но только к одному (рис. 4).

Затем строится гистограмма.

njэксп

Рис. 4. Пример гистограммы

По ее виду можно догадаться о законе распределения случайной величины (нормальный, равномерный, показательный)

(рис. 5).

45

njэксп

Рис. 5. Определение закона распределения

Если нормальность подтверждается иV < 0.3, то модель можно построить.

Решение в MathCAD:

æ 1.09ö

ç÷

ç0.3 ÷

ç0.66÷

çç 1.38÷÷

Y := ç 0.34÷

ç0.83÷

ç÷

ç1.14÷

ç0.97÷

ç0.79÷

ç÷

d := round (1 + 3.32×log (10));

d = 4

46

inti := h×i + y1

æ 0.3 ö

ç÷

ç0.57÷

int = ç 0.84÷

çç 1.11÷÷ è 1.38ø

p := hist (int , Y)

æ 2 ö

ç ÷

p= ç 3 ÷

ç2 ÷

ç÷

è 3 ø

47

1

ys := N ×æçåYiö÷ ys = 0.861

èi ø

å(Yi - ys )2

48

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое модель, математическая модель?

2.Охарактеризуйте статистическое моделирование.

3.Что такое случайная величина, выборка, генеральная совокупность?

4.Сформулируйте закон распределения случайной величины.

5.Перечислите основные виды распределения.

6.Что такое предварительная обработка данных?

7.Перечислите действия при предварительной обработке

данных.

8.Какой критерий используется для обнаружения грубых ошибок эксперимента?

9.Какие объекты считаются детерминированными?

10 Какой критерий используется для подтверждения нормальности распределения yсл?

Практическая работа № 7. Проверка статистических гипотез

Цель работы: изучить способы проверки статистических гипотез.

Теоретические сведения

Статистическая гипотеза – это некоторое предположение Н0 о свойствах случайной величины. Альтернативной гипотезой называется гипотеза На, противоречащая Н0.

49

Задача проверки статистических гипотез состоит в , том чтобы на основании результатов эксперимента установить, насколько данные, полученные из выборки, согласуются с выбранной гипотезой и можно ли, опираясь на эксперимент, принять или опровергнуть гипотезу.

Проверка состоит в следующем.

1.На основании выдвинутой гипотезы подбирается некоторая статистика K = φ(x1,…, xN). Называется эта статистика– статистический критерий. Для каждого типа статистический гипотез придуман свой критерий.

2.Так как в математической статистике не бывает абсолютно достоверных результатов, то заранее оговаривают возможность ошибки при проверке гипотезы.

Обозначим α – максимально допустимая вероятность того, что гипотеза будет отвергнута, хотя на самом деле она верна (ошибка 1-го рода) или α – уровень значимости.

В качестве α выбирается маленькая величина (α = 0,05). Ошибка 2-го рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза Н0. Вероятность ошибки 2-го рода обозначают через β.

Например, допустим, идет суд. Обвиняемый либо виновен, либо невиновен.

Гипотеза Н0: обвиняемый невиновен.

Ошибка 1-го рода – осуждение невиновного, ошибка 2-го рода – оправдание виноватого.

3.Все множество значений статистического критерияК разбивается на два непересекающихся подмножества: 1) область

U – область принятия гипотезы Н0; 2) V – область опровержения гипотезы Н0.

Если экспериментальное (вычисленное) значение критерия

Кпопадает в областьU – принимают гипотезу Н0, а если в область V – принимают гипотезу На.

Основной принцип выбора критерия V:

1) P(I) ≤ α; 2)P(II) → min.

Различают правостороннюю, левостороннюю и двустороннюю критические области.

Правосторонней называется критическая область, определяемая неравенством К > Rкр, где Rкр – положительное число.

50