Математическое моделирование. Практикум. Учебное пособие

Регрессионный анализ применяется для построения статистической модели и включает в себя два этапа.

1)Структурный синтез – определение вида модели, например, y = a+bx.

2)Параметрический синтез – вычисление неизвестных ко-

эффициентов модели (a и b).

Структуру модели определяем исходя из количества входных параметров.

Коэффициенты модели рассчитываем таким образом, чтобы

N

Φ(a,b) = å( yiвыч - (a + bxi )) ® min .

i=1

Для этого:

- составляется регрессионная матрицаF = {Fij} = {fj(xi)}. Число строк матрицы равно числу экспериментов, число столбцов равно числу функций модели. Например, y = a + bx = =1× a + b × x , f1 = 1, f2 = x:

- составляется столбец выходных параметров:

é10ù

êú

Y = ê20ú ;

ê30ú

êú

ë40û

-b - столбец искомых коэффициентов модели:

éaù b = ê ú .

ëbû

)

Затем из уравнения (ΦT Φ) ×b = ΦT Y находят значения коэф-

фициентов - вектор b . FТ – транспонированная матрица F.

После построения модели проводится ее статистический анализ.

61

1) Вычисляется значение остаточной дисперсии:

где k – число коэффициентов модели.

2) Вычисляется коэффициент детерминации:

N

R2 = Qрегр = åi=1 ( yiвыч - y)2 ~1.

Q N

общ å( yiэксп - y)2

i=1

Коэффициент детерминации показывает, какую долю общей суммы квадратов можно объяснить неслучайными причинами.

3) Проверяется эффективность модели:

F эф

Kэф = выч >1,

Fтабл

ды для знаменателя Sост2 .

Кэф позволяет оценить, насколько влияние контролируемых параметров сильнее влияния случайных помех.

4) Оценивается значимость коэффициентов модели. Основная гипотеза Н0: bi = 0 – коэффициент незначимый.

Альтернативная гипотеза Н: b ¹ 0 – коэффициент значи-

а i

мый.

Проверку проводят с помощью 3-го критерия Стьюдента:

62

Если коэффициент незначимый, то его необходимо исключить из модели и пересчитать все заново.

Значимость коэффициентов оценивает влияние отдельных входных параметров или каких-то их сочетаний.

Задание. (Исходные данные в приложении 9.)

1. Определить вид модели. Составить регрессионную мат-

рицу.

2.Вычислить коэффициенты модели.

3.Провести статистический анализ модели.

4.Записать вывод.

Пример расчета

Пусть даны входные и выходные параметры (таблица).

Рассмотрим модель: y = b0 + b1x1 + b2 x2 . Для данной модели

f0 = 1, f1 = x1, f2 = x2.

Построим регрессионную матрицу:

63

é 41 ù

проводится статистический анализ полученной модели.

Контрольные вопросы и задания

)

1. Запишите условие, согласно которому ищутся оценкиb j

при использовании метода наименьших квадратов.

2.Перечислите этапы регрессионного анализа.

3.Как составляется регрессионная матрица?

4.Каким образом находят значения коэффициентовb и строят

модель?

5.Назовите этапы статистического анализа полученной мо-

дели.

6.Для чего необходим коэффициент детерминации и как его вычисляют?

7.Запишите формулу расчета коэффициента эффективности. Что он показывает?

8.Как рассчитывается 3 коэффициент Стьюдента?

9.В каком случае коэффициент уравнения регрессии будет

)

значимым? Если коэффициент b j окажется незначимым, что не-

обходимо сделать?

Практическая работа № 10. Параметрический синтез и статистический анализ

Цель работы: освоить методы построения статистических моделей на основе регрессионного анализа.

64

Теоретические сведения

Параметрический синтез – это определение коэффициентов модели. Одним из методов, используемых для этого, является метод наименьших квадратов (МНК).

Пусть есть данные эксперта:

x- вектор входных параметров;

y- вектор выходных параметров.

Рассмотрим модель объекта, линейную относительно коэф-

Проведем расчет коэффициентов моделиbi, исходя из следующего условия:

N

= - ) 2 ®

S (b) å( yi yi ) min,

i=1

где N – объем выборки; yi – экспериментальные выходные значе-

)

ния; yi - значения выходных параметры, рассчитанные по моде-

ли (1).

Введем обозначения:

X = {xi} – матрица входных параметров или матрица плана эксперимента;

Y = {yi} – матрица выходных параметров.

Тогда матричная форма записи МНК будет иметь вид

ΦT - транспонированная матрица. Операция транспонирования означает, что в матрице F столбцы заменяются на строки;

65

b - вектор (столбец) коэффициентов модели, b = {bi};

y - вектор (столбец) выходных экспериментальных параметров.

Из (2) получаем, что значения коэффициентов b определяют по формуле

b = (ΦT Φ)-1 ×ΦT y ,

где (ΦT Φ)-1 - обратная матрица.

На этом этапе параметрический синтез закончен.

Статистический анализ полученной модели - это оценка качества модели и принятие решения о ее пригодности.

Статистический анализ модели включает в себя следующие

66

3. Проверка эффективности модели.

При проверке эффективности модели выдвигаются две гипотезы.

Основная Н0: S рег2 = Sост2 - модель неэффективна;

Альтернативная На: S рег2 > Sост2 - модель эффективна.

Проверку проводят с помощью критерия Фишера:

показывает разброс модельных выходных параметров относительно их среднего значения.

По значениям S рег2 и Sост2 принимается одна из гипотез (Н0

или На). Если модель эффективна, то тогда целесообразно говорить о коэффициенте эффективности. Определяется

Fтабл (a, nч , nзн ) ,

где α – уровень значимости; nч = k-1 – число степеней свободы числителя для S рег2 ; nзн = N – k – число степеней свободы для

знаменателя Sост2 .

Если Fвычэф > Fтабл , то модель эффективна. Определяется коэффициент эффективности модели:

F эф Kэф = выч .

Fтабл

Если Кэф >>4, то модель эффективна.

4. Оценка значимости коэффициентов модели. Выдвигаются две гипотезы.

Основная Н0: bi = 0 – коэффициент незначимый; Альтернативная На: bi ¹ 0 – коэффициент значимый.

Проверку проводят с помощью III критерия Стьюдента:

67

где Сii – диагональный элемент обратной матрицы (ΦT Φ)-1 . Определяется табличное значение критерия Стьюдента

Ттабл(α/2, n), где α/2 = 0,025; n = N – k - число степеней свободы для знаменателя Sост2 .

Если | Tз выi ч | > Ттабл(α/2, n), то i коэффициент значимый.

Задание. (Исходные данные в приложении 10.)

1.Выполнить параметрический синтез модели.

2.Провести статистический анализ полученной модели.

3.Решить задачу с помощью MathCAD.

4.Записать вывод.

Пример расчета

Рассмотрим модель: y = b0 + b1 x1 + b2 x2 .

Матрица входных параметров (матрица плана эксперимента):

Матрица выходных экспериментальных данных:

æ 6 ö ç ÷

ç 8 ÷

Y= çç12÷÷ . ç15÷

ç ÷ è17ø

68

Решение

1. Исходные данные

4.Вычисляем ФТY

æ58 ö

FT Y = çç 589 ÷÷

è313 ø

5.Находим коэффициенты регрессии

69