Математическое моделирование. Практикум. Учебное пособие

Левосторонней называется критическая область, определяемая неравенством К < Rкр, где Rкр – отрицательное число.

Двусторонней называется критическая область, определяемая неравенствами К < R1,K > R2, где R2 > R1 – положительное число.

Для проверки статистических гипотез используются специальные методы, основанные на данных эксперимента. На основании такой проверки гипотеза подтверждается или опровергается.

Статистическая гипотеза является абстрактной формой представления (модели) некоторых технических или технологических задач. Проверяя статистические гипотезы, мы решаем эти задачи.

Количество различных классов статистических гипотез невелико. Каждый класс гипотез проверятся с помощью своего критерия.

Задание (Исходные данные в приложении 7.)

1.Выдвинуть основную и альтернативную гипотезы.

2.Вычислить статистические оценки.

3.Сделать вывод о принятии или отвержении гипотезы.

Пример расчета

Пример 1. Сравнение среднего значенияmx с заданным числом a. Словесная постановка: можно ли утверждать, что жирность продукта соответствует стандарту – 43 %?

Данные эксперимента: 41,2; 44,8; 42,2; 40,2; 42,8; 41,4.

Статистическая гипотеза Н0: mx = 43, где х – жирность продукта.

Оценка x = 42,08 %, S = 1,593 %. Расхождение x - 43 = -0,92 может быть случайным (в силу того, что x - случайная величина) или закономерным. Если различие закономерно, то статистическая гипотеза неверна. А если случайно, то верна. Для проверки статистической гипотезы 1-го класса используется критерий Стьюдента:

51

если |T| > Tтабл(α, ν) – то гипотеза неверна, т. к. разница x - a слишком велика. Если |T| ≤ Tтабл(α, ν), то гипотезу надо принять верной; α – уровень значимости (максимальная вероятность

ошибки), a Î[0.01;0.1]. Обычно α = 0,05, ν = N -1 – параметр Tтабл.

Твыч = -1,414, Tтабл(0,05; 5) = 2,57 – гипотезу следует при-

нять, т. е. жирность продукта соответствует 43 %.

Пример 2. Сравнение двух средних значенийmx и my. Словесная постановка: можно ли утверждать, что производительность двух аппаратов одинакова?

Данные эксперимента:

Х: 2,1; 2,7; 2,2; 2,6; 2,4; 2,3

Y: 2,7; 3,1; 2,9; 3,0; 2,6; 2,5; 2,8.

Статистическая гипотеза: mx = my, где х – производительность первого аппарата, y – производительность второго аппарата.

Оценки x =2,38, Sх= 0,2317. y =2,8, Sу= 0,216.

если |T|<Tтабл(α, ν) – то гипотеза принимается, иначе гипотеза отвергается; α = 0,05; ν = Nх + Ny -2 ≡ 1; Tтабл = 2,2 – гипотеза отвергается, т. е. производительность аппаратов различна.

Замечание. Для решения 1 и 2-й задачи использовался критерий Стьюдента, т. е. задачи аналогичны.

Если обозначить z = x – y, то z = x - y Þ x - y = z ~ 0, т. е. в задаче 2 происходит сравнение mz с 0 (как в 1-й mx c 43). Различие в формулах (1) и (2) возникает из-за того, что Nx ≠ Ny. При Nx = Ny задачи 1 и 2 эквивалентны.

Пример 3. Сравнение двух дисперсий. Словесная постановка: можно ли утверждать, что точность 2 приборов одинакова?

Данные эксперимента:

Прибор 1: 43,8; 42,7; 44,1; 43,5; 42,9; 44. Прибор 2: 47,2; 46,9; 47; 47,1; 47;46,8; 47.

52

Статистическая гипотеза: σ1 = σ2 (точность определяется дисперсией измерений эталонного образца, поэтому если дисперсии измерений 2 приборов одинаковы, то точности равны).

Получаем S12 = 0,34, S22 = 0,0167 . Для проверки используется критерий Фишера:

Fтабл(5; 6; 0,05) = 4,39, следовательно, гипотеза отвергается - точность различна.

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое статистическая гипотеза?

2.В чем заключается проверка статистической гипотезы?

3.Что такое уровень значимости α?

4.Запишите основной принцип выбора критической области.

5.Что такое правосторонняя, левосторонняя и двусторонняя критические области?

6.Что такое критический критерий и для чего он необходим?

7.Перечислите классы статистических гипотез.

8.Запишите формулу расчета критерия Стьюдента для первого класса статистической гипотезы.

9.Как рассчитывается критерий Стьюдента для гипотезы сравнения двух средних значений?

10.При сравнении двух дисперсий какой критерий рассчитывается? Запишите его формулу.

53

Практическая работа № 8. Дисперсионный анализ

Цель работы: изучить проведение дисперсионного анализа.

Теоретические сведения

Очень часто изучаемый объект подвергается воздействию различных качественных факторов, т. е. таких, которые нельзя измерить в каких-либо единицах. Например, способы переработки сырья, тип катализатора и т. д.

Качественные факторы дискретны по своей природе, их значениям (уровням) не соответствует никакая шкала, отсюда следует – нельзя говорить, например, о возрастании или убывании качественного фактора. Можно лишь пронумеровать его уровни 1, 2,… или А1, А2…

Математически эту задачу можно сформулировать так: на случайную нормально распределенную величину воздействует качественный фактор А, принимающий значения на N различных уровнях. Необходимо проверить значимо ли его влияние?

Надо проверить гипотезу: my1 = my2 =…= myN, где myi – математическое ожидание случайной величиныу, когда фактор А принимает значения своегоi-го уровня (А = Аi). Если гипотеза верна, то фактор А влияет на случайную величину у.

Способ 1.

Применяется если N = 2 (два уровня). В этом случае необходимо проверить гипотезу my1 = my2. Она проверяется по второму критерию Стьюдента.

Способ 2.

Если N > 2, то применяют метод дисперсионного анализа. Пусть на каждом уровне А проведено L измерений, результат l-го измерения при i-м уровне А обозначим уil.

N l =1

54

N -1 i=1

сия. Она показывает как различаются между собой yi , т. е. оценивает влияние фактора А и случайные помехи.

Она показывает средние величины влияния случайных помех. Если влияние А незначимо, то Sфакт2 » Sвосп2 , т. к. они оценивают влияние только случайных помех, отсюда следует: если

S 2

F выч = факт < Fтабл (a, N -1, N (L -1)), то факторА не влияет на у.

Sвосп2

Иначе – влияет.

Задание (Исходные данные в приложении 8.)

1.Вычислить групповое и общее среднее.

2.Вычислить факторную дисперсию.

3.Определить дисперсию воспроизводимости.

4.Сделать вывод о влиянии случайного фактора.

Пример расчета

Условие. Надежность компьютера определяется временем его безотказной работы до1–го сбоя в каком-либо устройстве. Необходимо заключить договор с одной из трех фирмMITS, APPLE, IBM. При прочих равных условиях выбрать надо фирму, выпускающую наиболее надежные компьютеры. Проведено по 4 испытания компьютеров каждой фирмы с измерение времени безотказной работы (час) (таблица).

55

Решение

1.Исходные данные:

N := 3; L := 4;

æ51 52 56 57ö

56

L N

3. Вычислим Sфакт2 = N -1 åi=1 ( yi - y)2 - факторная дисперсия.

Она показывает как различаются между собойyi , т. е. оценивает влияние фактора А и случайные помехи.

i := 0.. N - 1

на у. Иначе – влияет. Fv := Sf = 0.16 Sv

57

Для рассматриваемого примера: у = 52. Sфакт2 =19; Sвосп2 =118,75;

F выч = 0,16; Fтабл = 4,256 - влияние фактора не значимо.

Ft := qF[0.95, N - 1,N×(L - 1)]

Ft = 4.256

Замечание. В данном случае метод дисперсионного анализа не позволяет определить лучшую фирму. Можно только установить фактическую надежность различных фирм. Определить лучшую фирму– это другая задача, более сложная.

Контрольные вопросы и задания

1.В чем суть дисперсионного анализа? В каких случаях он применяется?

2.В каком случае гипотеза проверяется по 2-му критерию Стьюдента?

3.Запишите формулу факторной дисперсии Sфакт2.

4.Что такое дисперсия воспроизводимости?

5.С помощью какого критерия производится оценка адекватности модели?

Практическая работа № 9. Регрессионный анализ

Цель работы: освоить методы построения статистических моделей на основе регрессионного анализа.

Теоретические сведения

Изучим метод построения статистических моделей, не делая никаких предположений о распределении выходных параметров.

1. Сведения о матрицах. а) Правило умножения:

C = A × B, A = [m ´ n], B = [n ´ k ], C = [m ´ k ];

N

Cij = åair ×brj . r =1

58

Существует частный случай матриц– матрицы-столбцы и матрицы-строки:

X = (x1, x2 ,..., xN ) - строка;

2. Метод наименьших квадратов.

Статистической моделью какого-либо объекта называется уравнение вида: y = y дет (x) , т. е. зависимость детерминирован-

ной составляющей выхода от входных параметров. Будем искать это уравнение в виде квазилинейных моделей, т. е.

y = b1 f1( X ) +L+ bk fk ( X ) ,

где fj – некоторые известные функции нескольких переменных;

bj – неизвестные коэффициенты модели.

)

Необходимо найти статистические оценки b j .

Метод наименьших квадратов – метод построения стати-

)

стических моделей, согласно которому оценки b j ищутся из ус-

ловия:

Q = å[b1 f1 ( X i ) + L + bk f k ( X i ) - yiэксп ] ® min ,

i=1

где X i , yiэксп - результаты i-го эксперимента, т. е. коэффициенты

)

b j подбираются таким образом, чтобы разница

59

получаем систему из k уравнений относительно k неизвестных:

Систему (*) удобно представить в матричной форме. Для этого введем следующие обозначения:

1)X = {xij} – значение j-го входного параметра в i-м эксперименте; Х – матрица плана эксперимента.

2)F = {Fiu} = {fu( X i )} – регрессионная матрица. Число строк матрицы равно числу экспериментов, число столбцов равно числу функций модели.

3)Y = {yiэксп }- столбец выходных параметров.

¶b

ричную запись системы (*):

)

(ΦT Φ) ×b = ΦT Y .

Отсюда получим: b) = (ΦT Φ)-1 ×ΦT Y . 3. Регрессионный анализ.

60