Математическое моделирование. Практикум. Учебное пособие

j:=0..10

cw20,j

j

Рис. 11. Зависимость распределения концентрации вещества свых(t) в каждый момент времени t в конце аппарата

Аналогично строим график изменения концентрации - ис ходного вещества в конце аппарата в каждый момент времени, при этом на оси абсцисс отображается изменение параметраj (начальное и конечное значение которого предварительно задаются), на оси ординат – интересующие нас значения выходного параметра, что соответствует последней строке матрицы значений функции свых(t) (рис. 11).

Контрольные вопросы и задания

1.Как записывается аналитическая модель описания процесса идеального вытеснения?

2.Каковы начальные условия процесса идеального вытес-

нения?

3.Как записывается модель решения для процесса идеального вытеснения?

4.Какие численные методы используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений?

5.Каковы особенности модели решения для процесса идеального вытеснения?

6.Рассказать о программировании в среде MathСAD.

7.Назвать способ построения графиков в MathСAD.

31

Практическая работа № 4.

Численные методы решения нелинейных уравнений

Цель работы: изучить решения систем нелинейных уравнений в среде MathCAD.

Теоретические сведения

Для решения нелинейных уравнений (нелинейных систем) можно рекомендовать метод Ньютона, который относится к классу приближенных или итерационных методов. Идея метода состоит в приближенной замене нелинейной системы линейной, которая решается методом Гаусса.

Метод Ньютона рассмотрим на примере системы из двух уравнений:

ìí f1 (x1 , x2 ) = 0 î f2 (x1 , x2 ) = 0.

1) Выбираем начальное приближение (с помощью графика или пробных расчетов). Пусть (х1(0), х2(0)) – начальное приближение.

2) Строим линейную систему

где частные производные вычисляются в точке(x1(0), x2(0)), h1, h2 – приращения для x1, x2.

Решив систему, находим h1 и h2 и вычисляем следующее

приближение:

x1(1) = x1(0)+h1 x2(1) = x2(0)+h2.

Если | fi (x1(1) , x2(1) ) |<ε, то считается, что решение с тре-

буемой точностью найдено. Если нет, то повторяем снова для x1(1) и x2(1) и т. д.

32

Задание. (Исходные данные в приложении 4.)

1. Найти начальное приближение.

2. Решить задачу с помощью MathCAD.

3. Записать результат.

Решение

1. Поиск начального приближения.

Для поиска начального приближения преобразуем уравне-

ние

Составим таблицу начальных приближений для х1 (таблица).

Вычисляем левые части уравнений при различных1. Решение где-то при 3 < х < 4. Например, возьмем х1 = 3,4.

При х1 = 3,4 получаем:

х2 = 2,23 из (1’) х2 = 2,1 из (2’),

т.е. 2,1 ≤ х2 ≤ 2,23. Например, возьмем х2 = 2,2.

Итак, в качестве начального приближения мы выбрали: x1(0) = 3,4; x2(0) = 2,2.

33

2. Вычисление приращения.

Вычисляем значения функции из (1’), (2’) при полученных

x1, x2.

f1 (3,4; 2,2)= 0,1544; f2 (3,4; 2,2)= - 0,3600.

Если мы не получили решение с точностью ε = 0,01, то нужно уточнить значения x1, x2. Для этого строим матрицу частных производных:

h1 = 0,0899; h2 = 0,0633.

3. Вычисление следующих приближений для x1, x2. x1(1) = x1(0) + h1 = 3,4 + 0,0899 = 3,4899;

x2(1) = x2(0) + h2 = 2,2 + 0,0633 = 2,2633. f1 (3,4899; 2,2633)= -0,00417;

f2 (3,4899; 2,2633)= 0,0106.

Вновь не получили решение с точностьюε = 0,01, поэтому необходимо еще построить матрицу частных производных уже по новым значениям x1, x2 и повторить все дальнейшие действия:

4. Решение с помощью MathCad.

Искомым переменным x1 и x2 присваиваем найденное вручную начальное приближение. Затем в блокеGiven записываем выражения функций, приведенных к виду f(x) = 0 при помощи панелей инструментов «Арифметика» (см. рис. 1 с. 9) и «Булево» (рисунок).

34

Рисунок. Панель «Булево»

После этого с помощью функцииFind найти значения переменных. Решенная задача в MathCAD будет выглядеть следующим образом:

x1:=3.4; x2:=2.2;

Given

x1 + 0.3029ln× (x1) - x22 0; 2×x12 - x1×x2 - 5×x1 + 1 0;

æ 3.306ö findfind(x(1,x1x,2)x2)== ç ÷

è 1.915ø

Контрольные вопросы и задания

1.Какой метод применяется для решения систем нелинейных уравнений?

2.Назовите способы нахождения начального приближения.

3.В каком блоке записываются ограничения в виде ра - венств или неравенств?

Практическая работа № 5. Моделирование стационарных режимов

Цель работы: изучить моделирование стационарных -ре жимов.

Теоретические сведения

Понятие статических систем, как правило, не существует. Речь может идти о стационарных состояниях или режимах функ-

35

ционирования какой-либо системы, которая в каждый момент под действием внешних воздействий может выйти из этого - со стояния.

Стационарное состояние является основным рабочим -ре жимом непрерывных технологических процессов.

Существуют 2 класса исследования стационарных состояний.

1)Задача анализа – определение неизвестных режимных переменных системы, при которых достигается заданное стационарное состояние.

2)Задача оптимального синтеза– выбор оптимального стационарного состояния среди множества возможных.

Таким образом, видим, что первая задача – это составная часть второй. Решением первой задачи является конечный набор числовых значений.

Основа моделей стационарных режимов – уравнение материального и энергетического баланса в системе. Всегда входной поток материи равен выходному потоку. Накопления не происходит.

Состояние системы называется стационарным(статическим), если параметры системы не изменяются во времени.

Рассмотрим технологическую систему, в которой происходит обработка некоторого продукта. В схеме возможны рециклы (т.е. возврат части продукта на повторную обработку).

Задача состоит в том, чтобы при заданных значениях относительных интенсивностей материальных потоков между операциями Рi j составить модель схемы для нахождения нагрузки на каждую операцию.

Обозначим:

Рi j – доля потока, выходящего с i-операции и направляемого на j-операцию. Справедливы следующие соотношения:

0 £ Рi j £ 1; åРi j = 1.

П – объем выпускаемой продукции (ед./ч);

Ni – абсолютная интенсивность потока, выходящего с i-й операции;

N0 – выход с нулевой операции (склад сырья);

36

Ri – коэффициент выхода с i-й операции.

Тогда на основании условий материального баланса при отсутствии накоплений выходной поток с каждой операции равен входному с поправкой на коэффициент выхода: Ni+1 = Ri+1 · Ni

Задание. (Исходные данные в приложении 5.)

1.Записать уравнения материальных потоков.

2.Решить систему с помощью MathCad.

3.Записать результат.

Пример расчета

Условие 1. При заданных значениях относительных интенсивностей материальных потоков между операциями составить модель схемы для нахождения нагрузки на каждую операцию

(рис. 1).

Рис. 1. Технологическая схема

Составим уравнения материального баланса для каждой операции:

1)N1 = R1 × N0 ;

2)N 2 = R2 × Р12 × N1 + R2 × Р32 × N3 = R2 × (0,3 × N1 + 0,8 × N 3 ) ;

3)N3 = R3 × Р13 × N1 + R3 × Р33 × N3 = R3 ×(0,7 × N1 + 0,2 × N3 ) ;

4)N2 = П .

Полученное соотношение можно записать в виде

n

N j = R j ×(åNi × Pij ) . i=1

37

Если число операций равно m, то имеем (m + 1) уравнений от (2m + 2) параметров N0, N1, N2, … , Nm, П, R1, R2, … Rm. Коэф-

фициенты выхода обычно зависят от режимных параметров технологических операций. Если эти параметры заданы, то можно определить Rj. Среди оставшихся (m + 2) параметров должно быть задано либоN0, либо П. Оставшиеся (m + 1) параметры можно найти из системы.

Условие 2. Имеется каскад из двух химических реакторов (рис. 2), в которых происходит превращение исходного вещества в конечный продукт.

Рис. 2. Каскад реакторов: F – расход сырья (моль/час); XF – концентрация исходного вещества в сырье (моль/м3)

Необходимо определить концентрацию исходного вещества в готовом продукте, т.е. долю не прореагировавшего вещества.

Обозначим:

si - количество исходного сырья, расходуемого в 1 м3 объема i-го реактора за час;

Vi – вместимость i-го реактора, м3;

Ki – константа скорости реакции, определяемая по закону Аррениуса.

Уравнения баланса: ìF × X F = F × X1 + s1V1 ,

íîF × X1 = F × X 2 + s2V2

где V1 и V2 – объемы соответствующих аппаратов, м3.

Получили два уравнения с четырьмя неизвестными. Заменим уравнение связи. Пусть si = ki × xi .

Получим аналитическое решение:

38

Контрольные вопросы и задания

1.Какое состояние системы называется стационарным?

2.Назовите классы исследования стационарных состояний.

3.Запишите уравнение материального баланса.

Практическая работа № 6 Предварительная обработка данных при статистическом моделировании

Цель работы: получить навыки предварительной обработки данных: контроля качества экспериментальных данных, вычисления основных статистических оценок, определения характера объекта, закона распределения случайной величины.

Теоретические сведения

Модель – это упрощенная копия объекта, сохраняющая его основные свойства, необходимые для решения поставленной задачи.

Математическая модель – совокупность знаний об объекте, представленная в виде математических соотношений.

Статистическое моделирование – процесс построения ста-

тистической модели объекта, которая имеет свои особенности.

1) Любой объект моделирования представляется в виде «черного ящика», т. е. системы, в которой исследователю известны только входные данные и выходные, а внутренняя структура объекта неизвестна (рис. 1).

ζ

X Y

Рис. 1. Черный ящик: X - контролируемые входные параметры; x - неконтролируемые входные параметры(случайные помехи); Y - выходные параметры

2) Применяется статистический подход – т. е. происходит наблюдение и обработка большого числа экспериментов(в каж-

39

дом эксперименте происходят ошибки, но при большом количестве экспериментов можно уловить важные закономерности, исследуя какую-нибудь усредненную величину).

3) В статистическом моделировании делается допущение, что y эксп = удет (х) + усл (х), где y эксп - экспериментальные значения y, удет ( х) - детерминированная составляющая, усл (х) - случайная величина, которая распределена нормально, М[ усл (х) ]=0.

4) Вероятностный характер последствий принятого реше-

ния.

Случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, неизвестные заранее.

Выборкой (выборочной совокупностью) называется совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которой произведена выборка.

Закон распределения случайной величины – это любое соот-

ношение, устанавливающее связь между возможным значением случайной величины и соответствующей вероятностью принятия этого значения.

Статистической функцией распределения случайной величины Х называется функция F(X) = P(X<x), которая определяет вероятность того, что случайная величинаХ примет значение, меньше фиксированного действительного числа.

Основные виды распределения приведем ниже.

1. Равномерный закон.

Статистические характеристики случайной величины(СВ) x, равномерно распределенной на интервале [a,b]:

Вероятность попадания значений СВx в любую область длины D из отрезка [a,b] равна D/(b-a) и, следовательно, не зависит от размещения этой области в пределах отрезка [a,b].

40