Математический анализ. Учебное пособие

функции убывает в этом направлении.

3.2.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана функцией двух переменных z = f (x; y), которая дифференцируема в некоторой точке (x0; y0 ) области (то есть имеет непрерывные частные производные).

В точке (x0; y0; z0 ) данной поверхности можно провести касательную плоскость, уравнение которой имеет вид:

z′x (x0; y0 ) (x − x0 )+ z′y (x0; y0 ) (y − y0 )− (z − z0 ) = 0. (3.3) Прямая, проходящая через точку (x0; y0; z0 ) перпендикулярно

вить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = x2 + xy − y в точке C(1; 2; z0 ).

Решение. Найдем частные производные и вычислим их значе-

ния в заданной точке:

z′x = 2x + y z′x (1; 2)= 2 1+ 2 = 4; z′y = x −1 f y′ (1; 2) = 1−1 = 0.

Значение z0 = f (x0; y0 ) = f (1; 2) = 12 + 1 2 − 2 = 1.

Запишем уравнение касательной плоскости, для чего подставим необходимые данные в (3.3), получим

4(x −1)+ 0(y − 2)− (z −1)= 0 или 4x − z − 3 = 0.

Для получения уравнения нормали подставим все данные в

уравнение (3.4). Получим: x −1 = y − 2 = z −1. 4 0 −1

82

4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4.1. Неопределенный интеграл

4.1.1. Таблица и свойства неопределенных интегралов

Пусть функция f (x) является производной от функции F(x), то есть

F′(x) = f (x).

Тогда функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f (x).

Например, задана функция f (x)= 3x2 и следует найти функцию, производная которой равна 3x2. Это могут быть функции: x3,

произвольное постоянное число.

Неопределенным интегралом от функции f (x) называется совокупность первообразных:

∫ f (x) dx = F(x) + C,

где ∫ – знак неопределенного интеграла; f (x) – подынтегральная функция; f (x) dx – подынтегральное выражение.

Имеем: ∫3x2 dx = x3 + C .

На основании определения запишем таблицу основных интегралов (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Таблица основных интегралов

83

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

(∫ f (x)dx)′ = f (x).

По определению (∫ f (x)dx)′ = (F(x)+ C)′ = f (x).

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

d(∫ f (x)dx) = f (x)dx .

Так как дифференциал функции dU =U′ dx, то

d(∫ f (x)dx)= (f (x)dx)′ dx = (F(x)+ C)′ dx = f (x)dx.

84

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции плюс произвольная постоянная

∫dF(x)= F(x)+ C ,

Так как подынтегральное выражение f (x) dx = F′(x) dx = dF(x). Таким образом, знаки дифференциала и интеграла взаимно

уничтожают друг друга, интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными функциями.

4.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

∫kf (x)dx = k∫ f (x)dx.

5.Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций

∫( f1(x) + f2 (x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx. Рассмотрим применение основных свойств интегралов.

∫(5x4 − 3x2 +1)dx = 5∫ x4dx − 3∫ x2dx + ∫dx = x5 − x3 + x + C .

= ∫ sint t 2tdt = 2∫sin tdt = −2cost + C = −2cos x + C.

Интегрирование по частям

Пусть u = u(x) и v = v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Производная произведения равна: (u v)′ = u′ v + u v′.

Домножим обе части на dx: (u v)′ dx = u′ v dx + u v′ dx. Получим d(u v) = v du + u dv. Проинтегрируем обе части:

∫d(u v) = ∫v du + ∫u dv. Окончательно получим ∫udv = uv − ∫vdu.

Формула интегрирования по частям используется в случае, если требуется найти интеграл вида: ∫ P(x) u(x) dx, где P(x) – многочлен от x; u(x) = sin x (или cos x, arcsin x, ex , arctg x, ln x).

Пример 7. Найти ∫ xexdx.

Выделим в подынтегральном выражении u и dv.

= x ln x − x + C .

Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональная функция имеет вид:

R(x) = Pm(x),

Qn(x)

где Pm (x),Qn (x) – многочлены степени m и n соответственно:

87

Pm (x) = bm xm +K + b1x + b0 ; Qn (x) = an xn + K + a1x + a0 .

Если m ≥ n – дробь называется неправильной, в противном случае – правильной.

Простейшие рациональные дроби подразделяются на 4 вида:

AА

II вида: (x − α или xα ;а)

Если дробь правильная, то интегрирование производится следующим образом:

1) выписывается знаменатель и находятся все его корни, после чего он представляется как произведение линейных и квадратичных множителей:

Qn(x) = (x − а1)α1 (x − a2)α2 ... (x2 + p1x + q1)β1 (x2 + psx + qs)β2 ; 2) правильная рациональная дробь раскладывается на сумму

простейших дробей следующим образом:

3) находится интеграл от суммы простейших дробей.

Пример 9. Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:

89

Подставляем найденные коэффициенты в разложение, получаем, что

Знаменатель не имеет корней, разложить на более простые дроби эту дробь невозможно, данная дробь является простейшей 3 вида. Выделим в числителе производную знаменателя и распишем на два интеграла: