Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

lim	f (x)= lim (x2 +1)= 2,	lim	f (x)= lim 2 = 2 .
x→1−0	x→1−0	x→1+0	x→1+0

3. Значение функции и односторонние пределы равны между собой.

Так как все три условия непрерывности выполняются, то в точке x2 =1 функция непрерывна. График показан на рис. 1.19.

y = −x	y = 2
	y = 2
2
1	y = x2 +1
0	1	x

								Рис. 1.19
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию y =										sin x	.
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию y =											.
										x
Функция не определена в точке x = 0, которая является точкой
разрыва. Найдем односторонние пределы:
lim		sin x		=	lim	sin x	=1.
lim				=	lim		=1.	y
x→0−0 x					x→0+0 x			y
Так как они равны между								1
собой, то	x = 0 – точка устра-										x
нимого разрыва (рис. 1.20).											x
нимого разрыва (рис. 1.20).								–π	π		2π
								–π	π		2π
								Рис. 1.20
Функцию можно доопределить в точке								x = 0 таким образом,
чтобы она была непрерывной:
sin x
			, x		≠ 0
			, x		≠ 0
y =		x
					= 0
1 , x					= 0

1.3.3. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех точках интервала (a, b) и непрерывна в точке x = a справа и в точке x = b слева. Для функций, непрерывных в точке или на отрезке, справедливо:

1. Если y = f (x) и ϕ(x) непрерывны, то их сумма, произведение и частное (если знаменатель ≠ 0) есть непрерывные функции.

2.Сложная функция, составленная из непрерывных функций, есть непрерывная функция.

3.Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Так функция y = ctg x непрерывна для всех действительных

чисел, за исключением точек x = πk (k – целое) (см. рис. 1.12, г). Теорема 1. Если y = f (x) непрерывна на [a, b], то на этом от-

резке она ограничена и достигает своего наибольшего значения M и своего наименьшего значения m.

Например, f (x)= x2 – непрерывная на отрезке [− 2; 3]. Она ограничена на этом отрезке, так как x2 ≤ 9, и достигает в точке x = 3

своего наибольшего значения M = 9, а в точке меньшего значения m = 0.

Теорема 2. Если y = f (x) непрерывна на [a, b] и имеет значения на концах интервала f (a)= A, f (b)= B, то функция принимает любое значение С, заключенное между A и B хотя бы один раз.

x = 0 своего наи- y

аb x

Рис. 1.21

Геометрически это означает, что прямая y = C , где C – любое число между A и B, пересечет график функции y = f (x) по крайней мере в одной точке (рис. 1.21).

Теорема 3. Если y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой значение функции равно нулю.

Геометрический смысл теоремы: если точки M (a; f (a)) и N(b; f (b)), соответствующие концам отрезка [a, b], лежат по разные стороны от оси Оx (рис. 1.22), то график функции хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Оx. Для функции y = f (x), график которой представлен на рис. 1.22, таких точек три: с1, с2, с3.

Замечание. Эта теорема является важным частным случаем теоремы 2 и используется в приближенных вычислениях для нахождения корней уравнений f (x)= 0 с любой степенью точности.

N(b; f (b))

		+
a c1	c2	c3 b x
-

M (a; f (a))

Рис. 1.22

Пример. Показать, что уравнение x3 − 3x +1= 0 имеет в про-

межутке (1, 2) действительный корень.
Обозначим	f (x)= x3 − 3x +1. Значения функции		на грани-
цах: f (1)= 1− 3+1 = −1< 0,		f (2)= 8 − 6 +1 = 3 > 0. Так как функция
непрерывна и	имеет на	концах промежутка разные	знаки, то
f (x)= 0 хотя бы в одной точке из (1, 2).

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

2.1. Производная

2.1.1. Производная функции, ее механический и геометрический смысл

Рассмотрим задачи, приводящие к понятию производной. Задача 1. Материальная точка движется по оси S слева напра-

во, причем неравномерно, по закону s = f (t), где t – время, s – путь. Найти скорость v материальной точки в момент времени t.

Решение. Пусть за время t материальная точка прошла путь s(t) и заняла положение A (рис. 2.1). В момент t + t, пройдя путь s(t + t), точка окажется в положении В. Таким образом, за время t она пройдет путь s = s(t + t)− s(t)= f (t + t)− f (t). На участке AB

средняя скорость движения

мент t

vмгн = lim t→0

v	ср	= s	, а мгновенная скорость в мо-
		t

s =		lim	f (t + t)− f (t)	.	(2.1)

t		t→0	t

AB S

S(t) ∆S

S(t+∆t)

Рис. 2.1

Задача 2. Дана кривая y = f (x) и точка M0 (x0, y0 ) на ней. Найти угловой коэффициент касательной к кривой в М0.

Решение. Зададим значение x, а соответствующее значение y = f (x). Дадим приращение x, функция получит приращение y. Проведем секущую l через точки М0 и М. При уменьшении x секущая l поворачивается и стремится к положению касательной m. Углы наклона касательной m и секущей l к оси Оx составляют соот-

ветственно α и β. При x → 0, β → α. На рис. 2.2 видно, что угловой коэффициент касательной

кас

= tg α = lim tgβ =

lim

y , то есть

x→0

кас

lim

y .

(2.2)

x→0

∆y

∆x

Рис. 2.2

Задачи 1

и 2

имеют

одинаковый

смысл. Дана

функция

y = f (x). В точке x ее значение

y =

f (x). Дадим аргументу x при-

ращение

x, найдем

значение

функции

точке

x, равное

f (x + x). Тогда приращение функции

y = f (x +

x)− f (x), а от-

ношение

y =

f (x +

x)− f (x)

дает среднюю скорость изменения

функции на интервале длиной x.

Производная – это предел отношения приращения функции у к приращению аргумента x, вычисленный в процессе, когда при-

ращение аргумента стремится к нулю: y′ =							lim	y .
							x→0	x
Производная					функции	y =	f (x)	обозначается:
f ′(x), y′,	dy	,	df	, y′ .
f ′(x), y′,		,		, y′ .
	dx dx				x

Таким образом, в задаче 1 скорость движения – это производная пройденного пути по времени v = s′(t). В этом заключается механический смысл производной.

Во второй задаче угловой коэффициент касательной к графику функции в точке x равен значению производной этой функции в

точке x, kкас = f ′(x). То есть, геометрический смысл производной

состоит в том, что она равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в точке М0.

Функция y = f (x), имеющая производную в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке. Функция y = f (x) называется дифференцируемой в интервале [a, b], если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

2.1.2. Таблица производных

1) Производная постоянной: (c)′ = 0.

Здесь y = c. По определению производной:

(c)′ = lim

y =

lim

= 0,

x→0

так как

y = f (x +

x)− f (x)= c − c = 0.

2) Производная синуса: (sin x)′

= cos x .

Здесь y = sin x .

Найдем

y = sin(x + x)−sinx = 2sin

cos x +

(sin x)′ =

y =

2sin

cos(x +

lim

x→0

sin

=1 cosx = cosx.

lim

cos x +

x→0

Аналогично находятся и другие производные основных эле-

ментарных функций.

Запишем таблицу производных.

1. (c)′ = 0

8. (arctg x)′ =

1+ x2

2. (sin x)′

= cos x

9. (arcctg x)′ = −

+ x2

3. (cos x)′

= −sin x

10. (ln x)′ =

4. (tg x)′ =

11. (ax )= ax lna

cos2

5. (ctg x)′ = −

12. (e

′

= e

sin2 x

)

6. (arcsin x)′ =

13. (xn )′

= n xn−1

1− x2

7. (arccos x)′ = −

14. (x)′ = 1

1− x2

Рассмотрим примеры нахождения производных степенной

функции (13).

Пример 1. (x3)′ = 3x2 .

′

Пример 2.

(x−3) = −3x

−4.

′

−1 3

2 3

Пример 3.

= (x

)

′

Пример 4.

= (x−1 2 )

= −

−3 2 .

2.1.3. Правила дифференцирования

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(сu)′ = c u′.

(2.3)

Пример 1.

(4x2 )′ = 4 (x2 )′ = 4 2x = 8x.

2. Производная суммы функций равна сумме производных:

(u + v)′ = u′ + v′.

(2.4)

Замечание. Формула справедлива при любом числе слагаемых

(u ± v ± ... ± t)′ = u′ ± v′ ± ... ± t′.

Пример 2.

(3x + arctg x − 4)′

= (3x )′ + (arctg x)′ − (4)′ = 3x ln3+

1+ x2

3. Производная произведения:

(u v)′ = u′ v + u v′.

(2.5)

Пример 3.

′

(ln x cos x)

= (ln x) cos x

+ ln x (cos x)

cos x + ln x (− sin x).

4. Производная частного:

′

u v − uv

(2.6)

Пример 4.

′

(sin x)′ cos x − (cos x)′ sin x

sin x

cos2 x + sin

2 x

(tg x)′ =

cos2 x

cos x

cos2 x

Пример 5. Найти производную y = 3x2 + 5 x3 −

+ 2.

4 x7

−

Так как y = 3x2 + x5 − 2x

4 + 2, то

−1

−

−1

−

y′ = 3 2x +

− 2

−

x 4

= 6x +

x 5 +

4 =

= 6x +

−

3,5

2.1.4. Производная сложной функции

Пусть y =

f (u) и u = ϕ(x). Функция y =

f [ϕ(x)] есть сложная

функция и переменная и – промежуточный аргумент.

Например, функция y = sin3 x является сложной функцией, где

u = sin x, тогда

y = u3.

Производная сложной функции находится по следующей формуле: y′x = fu′ u′x (нижний индекс указывает переменную, по которой берется производная). Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по аргументу x.

Пусть x получит приращение x, тогда промежуточная функ-

ция u(x) получит приращение

u, а y также получит приращение y.

Так как u(x) непрерывна, то

u → 0 при

x → 0. При этом запи-

шем, что

y =

и .

Тогда

lim

y =

lim

y′

u′ .

x→ 0

u→ 0 u

x→ 0

Запишем таблицу производных сложных функций.

1. (с)′ = 0

8. (arctg u)′ =

u′

+ u2

(sinu)′

= cosu u′

9. (arcctg)′ = −

u′

1+ u2

(сosu)′

= −sinu u′

10. (loga u)′ =

u′

ulna

′

(tgu) =

11. (lnu)

cos2 u

(сtgu)′ = −

u′

12. (au )= au lna u′

sin2 u

(arcsin u)′ =

′

13. (eu )′

= eu u′

1− u2

(arccos u)′ = −

u′

14. (un )′

= n un−1 u′

1 − u

Пример 1.

(sin(2x + 1))′ =

u = 2x + 1

= (sinu)′ = cosu u′ = cos(2x + 1) 2.

u′ = 2

Пример 2.

[ctg (3 − x3 )]′= (сtg u)′ = −

u′ =

sin 2

(3 − x3 )′

3x2

= −

sin 2 (3 − x3 )=

sin 2

(3 − x3 ).

Пример 3.

(ln2 x)′

u = ln x

= (u2 )′ = 2u u′ = 2ln x

u′ =

Пример 4.

2tg 5x )′ = (3

)′ 2tg 5x + 3

(2tg 5x )′ =

1−1

2tg 5x +

3 x 2tg 5x ln2

cos2 5x

Пример 5.

lg(x2

+ 4) ′

(lg(x2

+ 4))′ 2 x − lg(x

2 + 4) (2 x )′

(2 x )

+ 4) 2x 2 x − lg(x2 + 4) 2 x ln 2

ln 10 (x2

22 x

Пример 6.

(arctg

)′ = (arctgu)′ =

u′

(6x + 5)−1 2 6.

6x + 5

+ u2

(6x + 5)

Пример 7.

(sin6 (4x))′ = (u6 )′ = 6u5 u′ = 6sin5(4x) cos (4x) 4.

2.1.5. Уравнение касательной и нормали к графику

Исходя из геометрического смысла производной (2.2), уравнение касательной, проходящей через заданную точку M0 (x0, y0 ), с

известным угловым коэффициентом имеет вид:
y − y0 = y′(x0 ) (x − x0 ).	(2.7)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]