Математический анализ. Учебное пособие

функции f (x) . И если она, в свою очередь, является непрерывной

функцией, то от нее можно найти производную (y′)′ = y′′, которая называется производной второго порядка от исходной функции: y′′ = f ′′(x). Аналогично определяется производная третьего поряд-

ка: y′′′ = (y′′)′ = f ′′′(x). Производные более высших порядков обозначаются у(4), у(5), …, у(п), …

Пример. Найти первую, вторую и третью производные для

y= 5x4 − 3x3 + 2x − 5.

y′ = 20x3 − 9x2 + 2, y′′ = 60x2 −18x , y′′′ = 120x = 18.

Рассмотрим механический смысл производной второго поряд-

ка.

2.3. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределен-

Пусть функции f (x) и ϕ(x) в окрестности точки x = a непрерывны, дифференцируемы и ϕ′(x) ≠ 0. При x → a обе функции одновременно стремятся или к нулю, или к бесконечности: f (x)→ 0, ϕ(x)→ 0 или f (x)→ ∞, ϕ(x)→ ∞. Тогда, если существу-

Правило Лопиталя может применяться неоднократно.

2.4. Полное исследование функций

2.4.1. Условия и интервалы монотонности функций

Функция y = f (x) называется возрастающей, если большему значению аргумента x2 > x1 соответствует большее значение функ-

ции f (x2 )> f (x1) (рис. 2.4, а).

График возрастающей функции при движении вправо по оси x поднимается вверх и любая касательная к графику образует острый угол α, тогда tgα > 0 и y′ > 0.

Функция y = f (x) называется убывающей, если большему значению аргумента x2 > x1 соответствует меньшее значение функции f (x2 )< f (x1) (рис. 2.4, б). При этом угол α – тупой, tgα < 0 и y′ < 0.

47

Таким образом, возрастание и убывание функции связано со знаком первой производной.

Функция y = f (x) возрастает, когда y′ > 0.

Функция y = f (x) убывает, когда y′ < 0 (функции y = f (x) и y′ = f ′(x) непрерывны).

Интервалы, в которых функция либо только возрастает, либо только убывает, называются интервалами монотонности.

Пусть график функции y = f (x) имеет вид, показанный на рис. 2.5. Отметим точки x = b, x = c, x = d , в которых касательные к графику параллельны оси Оx ( y′ = tgα = α = 0), и угловую точку x = a ( y′ не существует). Эти точки называются критическими.

y

y = f (x) надо на ось Оx нанести все критические точки этой функции, после чего проверить знак y′ на каждом из интервалов между критическими точками. Интервалы, на которых y′ > 0, будут интервалами возрастания, а на которых y′ < 0, будут интервалами убывания функции. При этом если на соседних интервалах знак y′ одинаков, то они составляют единый интервал монотонности. На рис. 2.5 интервал (с; ∞) составляет единый интервал возрастания функции.

Пример. Найти интервалы монотонности функции

y= 1 x3 − 4x + 2.

3

1)Найдем производную функции: y′ = x2 − 4.

2)Найдем критические точки, в которых производная равна нулю или не существует:

48

а) y′ = 0, x2 − 4 = 0, откуда x1 = −2, x2 = 2; б) y′ не существует – таких точек нет.

Критические точки разбивают ось Оx на три интервала. Определим знак y′ в каждом интервале. Для этого возьмем произволь-

Таким образом, данная функция возрастает на промежутках (− ∞; − 2), (2; ∞) и убывает на (− 2; 2).

2.4.2. Точки экстремума функции, необходимое и достаточные условия экстремума

Точки x, лежащие в δ-окрестности x0, ( x (x0 − δ; x0 + δ)), будем называть соседними.

Точка x называется точкой максимума функции y = f (x), если значение функции в этой точке больше соседних значений. На рис. 2.6 точки x2 и x4 являются точками максимума.

Точка x называется точкой минимума функции y = f (x), если значение функции в этой точке меньше соседних значений. На рис. 2.6 точками минимума являются точки x1 и x3.

y

x

Рис. 2.6

Точки максимума и минимума объединяются словом экстремум (extremus, латинское). Крайние точки x = a и x = b не относятся к точкам экстремума, так как они не имеют соседних точек слева и справа соответственно.

49

Касательные к графику в точках экстремума либо параллельны оси Оx (x2, x3), либо не существуют (x1, x4).

Таким образом, необходимое условие экстремума: если функция y = f (x) имеет в точке x0 экстремум (максимум или минимум), то производная в этой точке y′(x0 )= 0 или не существует.

Теорема дает лишь необходимое условие существования экстремума, но не достаточное.

Критическими называются точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Запишем первое достаточное условие существования экстремума.

Критическая точка x0 является точкой экстремума непрерывной функции y = f (x), если производная y′ при переходе слева направо через x0 меняет знак. Причем, если y′ меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума, если с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Пример 2. Исследовать на экстремум y = −2x3 + 3x2 +1.

1.Находим производную данной функции: y′ = 6x2 − 6x.

2.Находим критические точки:

y′ = −6x2 + 6x = 0 − 6x(x −1)= 0, отсюда x1 = 0, x2 = 1. y′ не существует – нет точек.

3. Критические точки откладываем на числовой оси и определяем знак производной в каждом интервале.

50

x = 2, y′ = − 6x(x −1)= −6 2 (2 −1)= (−) (+)< 0.

Точка x = 0 – точка минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Точка x =1 – точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.

4.Вычисляем значения данной функции в точках экстремума: y(0)= −2x3 + 3x2 +1=1; y(1)= −2x3 + 3x2 +1= −2 + 3+1= 2.

5.Схематично строим график (рис. 2.8).

y

2

1

Рис. 2.8

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

y = (2x+1) 3(x−2)2.

1. Находим производную данной функции: y′ =10 x−1 . 3 3x−2

2. Находим критические точки:

y′ не существует при x2 = 2.

Следовательно, критические точки x1 = 1, x2 = 2.

3. Критические точки откладываем на числовой оси и определяем знак производной в каждом интервале.