Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

График такой функции располагается между горизонтальными прямыми y = m и y = M . Примерами функций, ограниченных на всей области определения, являются y = sin x , y = sin2x , здесь −1≤ f (x)≤ 1 (см. рис. 1.2).

4. Возрастание, убывание

Функция y = f (x) называется возрастающей, если большему значению аргумента x соответствует большее значение функции y.

То есть при	x2 > x1	выполняется неравенство f (x2 )> f (x2 )
(рис. 1.5, а).
Функция	y = f (x)	называется убывающей, если большему

значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

При x2 > x1 выполняется	f (x2 )< f (x1) (рис. 1.5, б).
а)	б)


x		x

	Рис. 1.5

Такие функции называются монотонными.

Если функция не является монотонной, то выделяют интервалы монотонности. Например, функция y = x4 является убывающей на множестве x = (− ∞, 0), а на множестве x = (0, + ∞) эта функция является возрастающей (см. рис. 1.2).

1.1.5. Основные элементарные функции и их графики

1. Степенная функция y = xn .

а) n =1. Линейная функция y = kx + b (рис. 1.6).

Область определения x (−∞; + ∞). Область значений y (−∞; + ∞);

				12
у	y = kx + b			у			k >0
у

b	k = tgϕ		y = kx
ϕ	k = tgϕ							x
ϕ								x
	x					k<0
		Рис. 1.6
б) n – целое, n >1 (рис. 1.7).
Область	определения:			x (−∞;+ ∞),		область		значений
y [0;+ ∞) при n четном (рис. 1.7, а); или					y (−∞;+ ∞)			при n не-
четном (рис. 1.7, б);
	а)					б)
						б)
	у		у=х4			у
			у=х4			у
							y=x5
			у=х2	y=x		3		x
				y=x
			х
			Рис. 1.7
в) n – целое, n <1 (рис. 1.8).
Область	определения:			x (−∞;+ ∞),		область		значений
y [0;+ ∞) при n четном (рис. 1.8, а); или					y (−∞;+ ∞)			при n не-
четном (рис. 1.8, б);
	a)				б)
	y	1			y
	y =	1			y		1
	y =	x				y =

							x2
		x					x2
		x
							x
			Рис. 1.8

г) n – дробное (рис. 1.9).

	a)				б)
y				y
	y =	x			y = 3	x
	x				x
			Рис. 1.9
2. Показательная функция y = ax ,				(a > 0, a ≠ 1) (рис. 1.10).
Область определения x (− ∞;+∞).					Область значений

y (0;+∞).

	y
0<a<1			a>1
	1			x
	1


	1
	1
		Рис. 1.10
3. Логарифмическая		функция		y = loga x (a > 0, a ≠ 1)
(рис. 1.11). Область определения x (0;				+ ∞). Область значений

y (− ∞; + ∞).

a >1

1 x

0 < a < 1

Рис. 1.11

						14
4. Тригонометрические функции
а)	y = sin x		(рис. 1.12, а). Область определения						x (−∞; + ∞).
Область	значений			y [−1;1].	Периодическая, с периодом						Т = 2π.
Нечетная;
б)	y = cos x		(рис. 1.12, б). Область определения						x (−∞; + ∞).
Область значений				y [−1;1].	Периодическая, с периодом						Т = 2π.
Четная;
в) y = tg x			(рис. 1.12, в).			Область		определения			x R,
x ≠ π + kπ, k = 0, ±1,				± 2,... Область значений				y (−∞; + ∞). Перио-
2
дическая, с периодом Т = π. Нечетная;
г) y = ctg x			(рис. 1.12, г).			Область		определения			x R,
x ≠ πk, k = 0,		±1,	± 2,... Область значений y (−∞; + ∞). Периоди-
ческая, с периодом Т = π. Четная.
а)				y	1	y = sin x
а)						π	π
		− π						2π
				0
				0		2
						2			x
									x
					–1
б)				y		y = cos x
		− π			1	π
		− π				π				x
					0	π		2π
								2π
					–1	2
в	y			y = tg x		г)			y = ctg x
в	y			y = tg x				y	y = ctg x
								y
						– π		− π	π	π
− π						– π		2	2	π
− π	0	π		π	x			0			x

Рис. 1.12

5. Обратные тригонометрические функции

а)	y = arcsin x	(рис. 1.13, а). Область определения					x [−1;	1].
Область значений y			−	π	;	π
Область значений y			−		;	. Нечетная;
				2
				2		2
б)	y = arccos x	(рис. 1.13, б). Область определения					x [−1;	1]..
Область значений y [0;				π];
в)	y = arctg x (рис. 1.13, в). Область определения x (−∞; + ∞).
Область значений y			−	π	;	π
Область значений y			−		;	. Нечетная, возрастающая;
				2		2

г) y = arcctg x (рис. 1.13, г). Область определения x (−∞; + ∞).

Область значений y (0; π), убывающая.

а)

y = arcsin x

б)

y = arccos x

– 1

− π

– 1

в)	y		y = arctg x	г)	y y = arcctg x
	π				π
	2				π
	2				π
					π
				x	2
			− π	x
					x

		2

Рис. 1.13

Элементарной называется функция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических дейст-

вий (сложения, вычитания, умножения и деления) и операций взятия функции от функции, последовательно примененных конечное

число раз. Например: y = 2 cos x + lg x .

Графики элементарных функций можно получить путем деформации и сдвигов, отображением относительно осей координат, графическим сложением графиков основных элементарных функций. По виду заданной функции определяем группу преобразований. Для этого удобно воспользоваться табл. 1.1.

						Таблица 1.1
			Преобразование графиков функций

№	Вид функции				Преобразование	Неподвижные
№	Вид функции				графика	точки графика
					графика	точки графика
1	y = f (x + a),			a > 0	Сдвиг по оси Ox
					влево на a единиц
2	y = f (x − a),			a > 0	Сдвиг по оси Ox
					вправо на a единиц
3	y = f (a x), a > 1				Сжатие в a раз
3	y = f (a x), a > 1				вдоль оси Ox
					вдоль оси Ox
	x				Растяжение в a раз
4	y = f		, a	> 1	вдоль оси Ox
4	y = f		, a	> 1
	a
	a
5	y = f (x)+ a,			a > 0	Сдвиг по оси Oy
					вверх на a единиц
6	y = f (x)− a,			a > 0	Сдвиг по оси Oy
					вниз на a единиц
	y = a	f (x)			Растяжение по оси	Точки пересечения
7	y = a	f (x)			Oy в a раз	графика функции
						с осью Оx
	y = − f (x)				Зеркальное отобра-	Точки пересечения
8	y = − f (x)				жение относительно	графика функции
					оси Оx	с осью Оx
	y = f (−x)				Зеркальное отобра-	Точка пересечения
9	y = f (−x)				жение относительно	графика функции
					оси Оy	с осью Оy

Пример. Построить график функции y = 2 3x−4 +1 путем преобразования графика соответствующей элементарной функции.

Решение. Построим последовательно графики.

1)y1 = 3x – основная элементарная функция (рис. 1.14);

2)y2 = 3x−4 – по табл. 1.1 определяем, что функция вида № 2,

иее график получаем путем сдвига графика y1 на 4 единицы вправо по оси Ox ;

3) y3 = 2 3x−4 получаем путем растяжения в два раза вдоль

оси Oy графика y

= 3x−4

(табл. 1.1, № 7);

y = 2 3x−4 +1 – окончательный график получаем сдвигом

графика

y = 2 3x−4 по оси Oy вверх на одну единицу (табл. 1.1,

№ 5).

y1 = 3x

= 3x−4

= 2 3x−4

1 y = 2 3x−4 +1

		x
	Рис. 1.14
Пример неэлементарной функции:
			y
1, x < −1			y
	−1 ≤ x < 0
y = − x,	−1 ≤ x < 0
	x ≥ 0
x2 ,	x ≥ 0
				1
График этой функции приве-				1
				x
				x
ден на рис. 1.15.
ден на рис. 1.15.		–1
		–1
		Рис. 1.15

1.2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

1.2.1. Предел функции на бесконечности

Рассмотрим функцию y = 4 −

на интервале ]0, ∞[.

Составим таблицу значений и построим график (рис. 1.16).

100

1000

...

f(x)

3,5

3,7

3,9

3,99

3,999

...

Рассмотрим

расстояние между

точками

графика

y = f (x)= 4 −

f (x)− 4

и прямой y = 4: d =

−

Зададим это расстояние d = ε и рассчитаем x.

Если ε =

, то

f (x)− 4

Например, при ε = 0,1

x = 10 и

< 0,1.

¼ 1 2 3 4	x
¼ 1 2 3 4
Рис. 1.16

При ε = 0,01 f (x)− 4 < 0,01, начиная с x >100.

Таким образом, можно задать какую угодно степень близости функции к числу 4, которое является ее пределом при x → ∞ .

Число A называется пределом f(x) при x → ∞ , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0, существует такое число

x→ x0 +0

1.2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

N > 0, зависящее от ε, что для x > N выполняется неравенство f (x)− A < ε.

Аналогично можно дать определение предела функции при x → −∞ .

Число B называется пределом функции f(x) при x → −∞ , если

для любого ε > 0 существует	такое M (ε)> 0, что для всех
x < −M справедливо неравенство	f (x)− B	< ε .
x < −M справедливо неравенство	f (x)− B	< ε .

1.2.2. Предел функции в конечной точке. Односторонние пределы

Если при произвольном и неограниченном приближении аргумента x к значению x0 соответствующие значения f(x) неограниченно близко подходят к числу A, то говорят, что A является пределом функции f(x) в точке x0 (или при x → x0 ). При этом в самой точке x0 значение функции f(x) может и не существовать.

Дадим строгое определение предела f(x) при x → x0 .

Число A называется пределом f(x) в точке x0, если для любого

ε > 0 существует такое δ(ε)> 0, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < x − x0 < δ, выполняется неравенство f (x)− A < ε.

Иногда приходится рассматривать пределы f(x) при условии, что x приближается к x0, оставаясь только слева (то есть при x < x0) или только справа (при x > x0 ). Такие пределы называются односторонними. Число A называется левосторонним пределом f(x) в точке x0, если для любого ε > 0 существует такое δ(ε)> 0, что для

всех x, удовлетворяющих условию			x0 − δ < x < x0 , выполняется не-
равенство	f (x)− A1	< ε. Обозначается: A = lim f (x).

			x→ x0 −0

Аналогично определяется правосторонний предел f(x) в точке
x0, который обозначается: A = lim			f (x).

Функция y = α(x) называется бесконечно малой (б. м.) при x → x0 , если

lim α(x)= 0.	(1.7)
x→ x0

Другими словами α(x)− 0 < ε при x − x0 < δ , то есть α(x) < ε при x достаточно близких к x0.

Аналогично определяются б. м. при x → ±x0 и при x → ±∞ .

Пример 1.

y = 4 −

является бесконечно малой при

x →

−

= 0.

так как lim 4

x→

Функция

y = f (x) называется

бесконечно большой (б. б.) в

точке x0, если

lim f (x)= ±∞ .

(1.8)

x→ x0

Пример 2. Функция y = tg x является бесконечно большой при

x → π , так как

lim tg x = ∞. Эта же функция является бесконечно

x→

малой при x → 0, так как lim tg x = 0.

x→0

1.2.4. Свойства бесконечно

малых функций и их

связь

с бесконечно большими

1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.

2.Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая.

Свойство справедливо для любого конечного числа таких сомножителей.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой величиной.

3. Если α (x) – бесконечно малая, то α(x) – бесконечно большая. И наоборот.

Если α (x) – бесконечно большая, то α(x) – бесконечно малая.

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]