Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Пример. Функция y = x2 – бесконечно большая при x → ∞ , а

y = x2 – бесконечно малая при x → ∞ .

1.2.5. Основные свойства пределов

Свойство 1. Предел суммы (разности, произведения) функций равен сумме (разности, произведению) пределов этих функций, если каждый из них существует:

lim (u(x)± v(x))=	lim u(x)± lim v(x).
x→x0	x→x0	x→x0

Свойство 2. Предел частного функций равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в ноль:

	u(x)		lim	u(x)
lim		=	x→ x0		.

				v(x)
x→ x0 v(x)			lim
			x→ x0

Свойство 3. Предел постоянной величины равен ей самой:

lim C = C .

x→ x0

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim [c f (x)]= c lim		f (x).
x→ x0	x→ x0
Свойство 5. Предел степенной функции:
		p
lim f p (x)= lim (f		(x)) .
x→ x0	x→ x0
Свойство 6. Предел показательной функции:
	lim f (x)
lim b f (x) = bx→ x0		.
x→ x0
Свойство 7. Пусть даны три функции ϕ(x),			f (x) и g(x), удов-
летворяющие неравенствам	ϕ(x)≤ f (x)≤ g(x)		в промежутке
(x0 − δ, x0 + δ). Если функции ϕ(x), g(x)		имеют один и тот же пре-

		22
дел при x → x0	: lim ϕ(x)= A и	lim g(x)= A, то и функция f (x),
	x→ x0	x→ x0

заключенная между ними, имеет тот же предел lim f (x)= A.

x→ x0

1.2.6. Нахождение пределов

Для всех элементарных функций в точке x0 из области определения значение функции равно пределу функции. Поэтому для нахождения предела функции следует подставить значение предельной точки в выражение функции. Если получено число, то оно и является пределом функции. Если получена неопределенность ви-

	0		∞
да		,	∞	, ∞ − ∞ , то она раскрывается с помощью специальных

0

приемов.

1. Нахождение пределов в конечной точке при x → x0 .

Пример 1.

lim

6x2 + 3x +1

6(− 2)2 + 3(− 2)+1

= 6

x→−2 x2 − x − 3

(− 2)2 − (− 2)− 3 3

Пример 2.

4x + 2

lim

= ∞ .

x→3 x2 − 5x +

Пример 3.

lim

x2 −1

= 0.

x→1 x + 3

Пример 4.

x2 −16

lim

2 − 5x +

x→4 x

Это неопределенность. Чтобы раскрыть ее, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе воспользуемся формулой a2 − b2 = (a − b) (a + b).

Знаменатель разложим по формуле

ax2 + bx + c = a(x − x ) (x − x

), где x и x

– корни квадратно-

го уравнения.

Найдем

корни:

x2 − 5x + 4 = 0,

D = 52 − 4 1 4 = 9,

5±

= 1; 4. Тогда x2 − 5x + 6 = (x −1) (x − 4). Имеем:

1, 2

(x − 4)(x + 4)

2 −16

= lim

x + 4

4 + 4

lim

(x −1)(x − 4)

x→4 x2

− 5x +

4 x→4

x→4 x −1 4 −1 3

Пример 5.

x2 +1 −

домножим числитель и знаменатель

lim

x→0

на множитель, сопряженный к числителю

(

−1)(

+1)

x2 +1

+1−1

= lim

= 0.

x→0

x( x2 +1 +1)

x→0 x( x2 +1 +1)

x→0 x2 +1 +1 2

2. Нахождение пределов на бесконечности при x → ∞ .

Рассмотрим два способа.

Пример 6.

	3x + 4			∞
lim			=	.
lim	3 + 6x		=	.
x→∞ 5x	3 + 6x	−1		∞

Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и

знаменатель на x в высшей степени, то есть на x3.

3x + 4

+ 4

lim

= lim

= 0, так как

x→∞ 5x

3 + 6x −1 x→∞ 5+ 6

2 − 1

lim

= lim 4

= lim

= lim 1

= 0.

x→∞ x2

x→∞ x3

x→∞ x2

x→∞ x3

Пример 7.

3x + 4

∞

lim

x→∞ 5x3 + 6x −1

∞

Чтобы раскрыть эту неопределенность, заменим числитель и знаменатель эквивалентными на бесконечности функциями, для чего оставляем наибольшие степени в этих выражениях:

(3x + 5) (эквивалентно) 3х; (5x3 + 6x −1)~ 5x3.

Получаем, что lim

3x + 4

= lim

= 0.

∞

x→∞ 5x3 + 6x −1 x→∞ 5x3

x→∞ 5x2

Пример 8.

2x4 + 8x

− 3

2x4 + 8x − 3 ~ 2x4

lim

= ∞.

2 + 9

7x2 + 9 ~ 7x2

x→∞ 7x

x→∞ 7

Пример 9.

4x2 + 3x

−1

4x2 + 3x −1 ~ 4x

4x2

lim

6x2 + 2x ~ 6x2

lim

x→∞ 6x2 + 2x

x→∞ 6x2

6 3

В общем случае имеем:

+ a

n−1

xn−1 +L+ a

0, если n < k

lim

= ∞, если n > k

x→∞ b xk

+ b

xk −1 +L+ b

k −1

, если

n = k

Пример 10.

(

− x)(

+ x)=

− x)= {∞ − ∞}= lim

lim (

x2 − 4

x→∞

x2 − 4 + x

− 4

− x

− 4

= lim

= 0.

x→∞ x2 − 4 + x

∞

Пример 11.

lim sin x = sin(∞) – не существует, так как значение функции

x→∞

колеблется от (–1) до (+1). Аналогично не существуют пределы и других тригонометрических функций при x → ±∞ .

3. Нахождение односторонних пределов.

Пример 12. Найти односторонние пределы:

lim	x − 2	=	1− 0 − 2	= (здесь 0 − бесконечно малая величина)=

x→1−0 x −1			(1− 0)−1

=−1 = +∞;

−0


lim	x − 2	=	1− 0 − 2			=	−1	= −∞.
	x −1						+ 0
		1+ 0		)	−1
x→1+0		(

1.2.7. Первый замечательный предел

y	M	B


	α A x

lim	sinα	= 1	(1.9)
	α
α→0

Доказательство. Рассмотрим для круга с радиусом OA = 1 дугу AM, радиальная мера которой равна α (рис. 1.17).

Рис. 1.17

При этом AB = tgα, NM = sinα, (в силу четности функции

y = sin x можно рассматривать только случай α > 0). x

Так как S OAM < Sсек < S OAB , где Sсек – площадь сектора

OAM, то есть 1 sinα < α < 1 tgα , то sinα < α < tgα. Поделив обе ча-

22 2

сти неравенства на sinα > 0, получим 1<	α	<	1
	sinα		cosα

1 >	sinα	> cosα. И так как lim 1 = 1, limcosα = 1, то из свойства 7

	α					α→0		α→0
следует равенство (1.9).
Пример 1.
			sin2x		0	= lim	2sin2x	= 2 lim	sin2x	= 2 1 = 2.
	lim			=

	x→0 x				0	x→0 2x		x→0 2x

									26
	Пример 2.
		1− cos x				2sin		2	x			sin			x
			0			2sin			2			sin			2			x
			0															x
	lim		=	= lim						= lim						lim sin			=1 0 = 0.
	lim		=	= lim						= lim						lim sin			=1 0 = 0.
	x→0	x	0	x→0			x			x→0				x		x→0 2
													2
	1.2.8. Второй замечательный предел
																					1		n
	Рассмотрим функцию						натурального								аргумента				y = 1	+			.
	Рассмотрим функцию						натурального								аргумента				y = 1	+			.
																					n
Таблица значений этой функции показывает, что 2 < y < 3.

n	1	2	3	4			...		10		...				100		...		1000			...
y	2	2,25	2,37	2,44	...				2,53		...				2,705		...		2,707			...

В полных курсах математического анализа доказывается, что предел этой функции (числовой последовательности) при x → ∞ равен числу е = 2,7182818.... Это число является основанием натуральных логарифмов lna = loge a.

		1	n
Получаем, что lim 1	+			= e.

n→∞		n

Эта форма второго замечательного предела справедлива и для действительного аргумента, то есть

1 Положив x = α , откуда

замечательного предела:

		1	x
lim 1	+			= e.	(1.10)

x→∞		x

α= 1 , получим другую форму второго x

lim (1+ α)α = e.	(1.11)
α→0

Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенности (1∞ ).

Пример 1.

2 3x

lim 1

= (1∞ )= lim 1

= e6.

x→ ∞

Пример 2.

x + 2 x lim x→ ∞ x − 3

	выделим		(x − 3)+ 5 x
= (1∞ )=		=	lim		=
целую часть			x→ ∞	x − 3

= + lim 1

x→ ∞

x −3

lim

x→ ∞1−

= ex→ ∞ x −3 = e

= e5.

x − 3

Пример 3.
	ln(1+ x)		0		1
lim		=		= lim		ln(1+ x)	=

x→ 0 x			0	x→ 0	x

lim ln(1+ x) x =

x→ ∞

=lim ln(1+ x) x

x→ 0

			1
= ln	lim	(1+ x) x		= ln e = 1.
	x→ 0

1.2.9. Эквивалентные функции

Пусть α и β бесконечно малые при x → x0 (или x → ∞ ). Тогда если

α(x)

lim ( ) =1,

x→x0 β x

то α и β – эквивалентные бесконечно малые. Обозначение α ~ β.

Пример 1. Бесконечно малые при						x → 0	функции y = x и
y = arctg x являются эквивалентными, так как
	x		0		arctg x = t		tgt

lim		=		=	x = tgt	= lim		=1.

x→0 arctg x			0		x → 0, t →	t→0	t
						0

Ниже приведены эквивалентные бесконечно малые функции в точке x = 0.

sin x ~ x,			arcsin x ~ x,		tgx ~	x,
arctgx ~ x,			ln(1+ x) ~ x,		ex −1	~ x,
n		−1 ~ α(x),			−1 ~ α(x)
n	1+ α(x)	−1 ~ α(x),		1+ α(x)	−1 ~ α(x)
			n			2

Аналогично сравниваются бесконечно большие величины.

Пример 2.

2 +

−

2x3

+ 3x − 5

∞

= lim

= 1.

lim

2x3

x→∞

∞

x→∞

Поэтому (2x3 + 3x − 5)~ (2x3 )при x → ∞ . Этот прием (переход к эквивалентным величинам) удобно использовать при нахождении пределов на бесконечности (см. п. 1.2.6).

Рассмотрим применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов функций.

Пример 3.

sin 3x

lim

lim 3

x = 0, так как sin3x ~ 3x .

x→0+0 x

x→0+0 x x→0+0

Пример 4.

x2 −

5x + 6

(x −

2)(x − 3)

lim

= lim

− x2 )

− x2

x→ 2

tg(4

x→ 2

= lim

(x − 2)(x − 3)

lim

(x − 2)(x − 3)

= − (2 − 3)

(

)(

)

x→ 2

(

)(

)

x→ 2

−

+ x

+ 2

2 − x 2 + x

x − 2 2

1.3. Непрерывность функции

1.3.1. Определение функции, непрерывной в точке

Функция y = f (x )называется непрерывной в точке x0, если она определена в этой точке, и бесконечно малому приращению x

аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции

y, то есть
	lim	y = 0.	(1.12)
	x→0
Здесь	y = f (x)− f (x0 ),	x = x − x0,	откуда x = x0 + x. Так
как x → 0,	то x → x0. Получим, что		lim (f (x)− f (x0 ))= 0,
			x→ x0
откуда: lim	f (x)= f (x0 ).
x→ x0

Из этого равенства имеем три условия непрерывности функции:

1) значение f (x0 ) существует, то есть f (x) определена в точке

x0;

2) односторонние пределы существуют и равны между собой,

то есть lim f (x)=	lim	f (x);
x→ x0 −0	x→ x0 +0
3) односторонние пределы и значение функции в точке x0 рав-
ны между собой:	lim	f (x)= lim = f (x0 ).
x→ x0 −0		x→ x0 +0

Если хотя бы одно из условий 1–3 нарушено, то x0 называется точкой разрыва.

1.3.2. Точки разрыва и их классификация

Точка x0 называется точкой разрыва 1 рода, если существуют

конечные односторонние пределы lim f (x) и		lim f (x).
	x→ x0+0	x→ x0−0
Точка x0 разрыва 1 рода, в которой
lim f (x)=	lim f (x)≠ f (x0 ),
x→ x0+0	x→ x0−0

называется точкой устранимого разрыва.

Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва 1 рода, называется точкой разрыва 2 рода.

1 Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию y = x −1,

построить график.

Функция не определена в точке x0 =1, следовательно, эта точка является точкой разрыва (не выполнено первое условие непрерывности).

Для определения характера раз- y рыва найдем односторонние пределы:

= −∞; lim

= +∞.

y =

lim

x −1

x→1−0 x −1 − 0

x→1+0 x −1 + 0

Оба предела бесконечны, что означает,

что

x =1 является

точкой

разрыва

1 2

рода или точкой бесконечного разрыва

–1

(рис. 1.18).

Рис. 1.18

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию, постро-

ить график:

− x ,

x ≤ 0

y =

2 +1, 0 < x ≤1

2 ,

x >1

Область определения этой функции (− ∞; ∞). Поскольку функция задана различными выражениями на нескольких промежутках (не является элементарной), то необходимо проверить на непрерывность точки «стыка» промежутков: x1 = 0 и x2 =1.

Проверим три условия непрерывности в каждой точке. Исследуем точку x1 = 0.

1.Найдем значение функции f (0) = −x = 0.

2.Найдем односторонние пределы:

lim	f (x)= lim (− x)= 0,	lim	f (x)= lim (x2 +1)= 1.
x→0−0	x→0−0	x→0+0	x→0+0

Односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой (второе условие не выполняется). Поэтому x1 = 0 – точка разрыва 1 рода. В этой точке f(x) имеет скачок Н = 1− 0 =1.

Исследуем точку x2 =1.

1.Значение функции f (1)= x2 + 1 = 2.

2.Односторонние пределы равны:

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]