Математический анализ. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

S = ∫sin xdx + ∫sin xdx = (− cos x) π0 +

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Разобьем отрезок [a, b] на n малых отрезков произвольной длины точками x0 , x1,K, xn : a = x0 < x1 < K < xn = b. На каждом отрезке [xi−1, xi ] разбиения выберем некоторую произвольную точ-

ку τi и положим xi = [xi−1, xi ], где i = 1, 2,K, n.
Будем считать высоту на каждом промежутке	xi постоянной,
равной значению функции в точке τi . То есть hi = f (τi ).
Тогда площадь столбчатой фигуры
	n
Sст = S1 + S2 + ... + Sn = x1 h1 + x2 h2 + .... =	∑ f (τi ) xi .
i=1
Эта сумма, где значение функции на частичном интервале ум-

ножается на длину интервала, называется интегральной суммой для

функции y = f (x) на [a,	b].
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции Sкр.тр , будем
бесконечно измельчать	все малые отрезки.	То	есть, n → ∞ ,
xi → 0. Тогда Scт → Sкр.тр .
	n
Таким образом, Sкр.тр = lim Sст = lim ∑ f (τi		) xi .
	i=1
Определенным интегралом от функции		f (x)	на интервале

[a, b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма, когда разбиение интервала [a, b] бесконечно измельчается:

	∫ f (x)dx = lim
	a	xi →0
		n→∞

∑ f (τi ) xi.

i=1

Функция f (x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a, b]. При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма

∑ f (τi ) xi – интегральной суммой.

i=1

Геометрический смысл: определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линией y = f (x) на интервале [a, b], если функция f (x)> 0.

Свойства определенного интеграла

1. Если верхний и нижний пределы совпадают, то определенный интеграл равен нулю.

a∫ f (x)dx = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

∫kf (x)dx = k∫ f (x)dx.

3.Определенный интеграл от суммы (разности) двух функций

равен сумме (разности) определенных интегралов от этих функций. b∫(f1(x)± f2 (x))dx = b∫ f1(x)dx ± b∫ f2 (x)dx

4. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный.

b∫ f (x)dx = −b∫ f (x)dx.

5.Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям.

b	c	b
∫	f (x)dx = ∫	f (x)dx + ∫	f (x)dx.	y
∫	f (x)dx = ∫	f (x)dx + ∫	f (x)dx.
a	a	c

b x

6. Оценка интеграла на интервале.

Если m ≤ f (x) ≤ M для x [a, b], тогда значения интеграла от этой функции не менее произведения m на длину отрезка и не более произведения M на длину отрезка:

	b	y B
	m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a).	M
	m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a).
	a	A
	На рисунке выделим криволинейную	A
	На рисунке выделим криволинейную	m
	трапецию под линией АС и два прямо-	a
	угольника: aADb и aBCb.	a
	угольника: aADb и aBCb.
	Очевидно, что их площади находятся в соотношении:
	SaADb ≤ Sкр.тр ≤ SaBCb .

b x

7. Среднее значение функции на интервале.

Внутри интервала интегрирования [a, b] существует, по меньшей мере, одно значение x = x0, a ≤ x0 ≤ b, для которого вы-

полняется равенство		y
b∫ f (x)dx = f (x0 ) (b − a).		y
b∫ f (x)dx = f (x0 ) (b − a).	f (x	0	) A	D
a		0
a
То есть, найдется такой прямоугольник
aADb, площадь которого равна площади кри-			a	x0 b x
волинейной трапеции на интервале [a, b].

								b
								∫ fdx
Тогда f (x	0	) = f	ср	– среднее значение f на отрезке,	f	ср	=	a	.
Тогда f (x		) = f		– среднее значение f на отрезке,	f		=	b − a	.
								b − a

8. О знаке интеграла.

Если подынтегральная функция в интервале интегрирования сохраняет постоянный знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция.

При

	b			n
f (x)> 0 на [a, b]: ∫ f (x)dx =		lim		∑ f (τi		) xi. > 0.
	a	xi →0		i=1
		n→∞
	b			n	(τi )
f (x)< 0 на [a, b]: ∫ f (x)dx =		lim	∑ f		(τi )	xi < 0.
	a	xi →0 i=1
		n→∞
			y	a		b x
	b				b
	b				∫< 0
	∫> 0				∫< 0
	a				a
	a
a	b x

Замечание. Если функция меняет знак на [a, b], то определенный интеграл может быть или больше нуля, или меньше нуля, или равен нулю.

	с	b
	∫> 0	∫< 0
	a	с	x
a	c		b

9. Если функция	y = f (x)	– четная и
f (x)≥ 0 на [− a, а], то	a∫ f (x)dx = 2a∫ f (x)dx .
	−a	0

10. Если функция y = f (x) – нечетная и f (x)≥ 0 на [0, а], то a∫ f (x)dx = 0.

−a

4.2.2. Вычисление определенного интеграла

Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – первообразная функции f (x) на этом отрезке, то

b∫	f (x)dx = F(x)	b = F(b)− F(a).
a		a
a

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Пример 1.

π
2			π
2			π
∫cos xdx = sin x			2 = sin π − sin0 = 1.
0			0		2
0
Пример 2.
2	2				x3		x2		2	3		2
2					x3		x2		2
∫(9x				9		− 4		+ 5x	= (3 2		− 2 2		+ 5	2)−

		− 4x + 5)dx =			3		2
−1					3		2		−1
									−1

− (3 (−1)3 − 2 (−1)2 + 5 (−1))= (24 − 8 +10)− (− 3 − 2 − 5)= 36.

Пример 3.

π 4

t = cos x

x=π 4

∫tgxdx = ∫

sin x

dx =

∫

dt =

dt = −sin x dx

cos x

x=0

= −ln

x=π 4

= − ln

π 4

= (− ln

)−

− ln

cos x

cos0

cos

= − ln1+ ln

≈ −0,35.

Пример 4.

t = ln x

xв = e tв = ln e = 1

∫

dx =

= ∫t3dt =

dt =

xн = 1 tн = ln1 = 0

При решении заменили пределы интегрирования.

Пример 5. Найти ∫ x cos xdx.

Интеграл вычисляется с помощью формулы интегрирования

по частям ∫udv =uv ba − ∫vdu .

u = x

du = dx

∫ x cos xdx =

dv = cos xdx v = ∫dv = ∫cos xdx = sin x

0π

0π = −2.

= xsin x

− ∫sin xdx = cos x

Пример 6.

u = x

du = dx

∫ xexdx =

= xex

− ∫exdx

dv = exdx v =

∫exdx = ex

= (1 e1 − 0)− ex

1 = e − (e1 − e0 )= e − e +1 = 1.

4.2.3. Приложения определенного интеграла

4.2.3.1. Вычисление площадей плоских фигур

1) Площадь криволинейной трапеции на отрезке [a, b], ограниченной линиями: осью Ox, y = f (x), x = a , x = b.

y=f(x)

Если при этом	f (x)≥ 0 на этом отрезке,					S
b						S
b						x
то площадь S = ∫ f (x)dx.						x
то площадь S = ∫ f (x)dx.				0	a	b
a				0	a	b
a
Если f (x)≤ 0 на этом отрезке, то площадь				y	a	b
b		b		0		x
b		b		0		x
S = −∫ f (x)dx, или S =		∫ f (x)dx	.			S
S = −∫ f (x)dx, или S =		∫ f (x)dx	.
a		a				y=f(x)
						y=f(x)
Наконец, если линия y = f (x) пересекает ось Ох, то отрезок
[a, b] надо разбить на части, в пределах которых				f (x)		не меняет

знак, и к каждой части применить ту формулу, которая ей соответствует.

y
	S1		S3	x
			S3	x
a	c	S2	d	b

S = S1 + S2 + S3 = ∫c f (x)dx +		d∫ f (x)dx		+ b∫ f (x)dx .
a		c		d
Пример 1.
Найти площадь плоской	фигуры,		ограниченной

функции y = sin x и осью абсцисс при условии 0 ≤ x ≤ 2π .

Решение.

Построим график функции y = sin x.		y

Так как функция меняет знак, то разо-		0	π
бьем отрезок [0, 2π] на два отрезка: [0, π]	и

графиком

2π x

[π, 2π].

На первом из них sinx ≥ 0, на втором sinx ≤ 0. Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

0π

=(− (−1) + 1)+ | −1−1|= 2+ | −2 |= 4 ед. кв.

2)Площадь криволинейной фигуры, ограниченной снизу графиком функции yн = f1(x), сверху – графиком функции yв = f2(x).

Слева и справа может быть ограничена прямыми x = a , x = b.

y	yв=f2(x)	y	yв=f2(x)
	S		S
	yн=f1(x)		yн=f1(x)
0 a	b x	0 a	b x

В обоих случаях вычисляется по формуле

S = ∫(yв − yн )dx,

где yв и yн – уравнения соответственно верхней и нижней линий, ограничивающих фигуру; а и b – точки пересечения линий (уравнения вертикальных прямых).

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 2x, y = 3− x2 .

Найдем точки пересечения этих линий, для чего приравняем правые части уравнений:

2x = 3− x2 x2 + 2x − 3 = 0.

	Найдем		дискриминант				и корни: D = 22 − 4(− 3)=16,
x = − 2 −					= − 2 +
x = − 2 −		16	= −3, x	2	= − 2 +	16	=1.
1	2			2	2
	2				2

Построим линии между точками пересечения, для чего зададим несколько значений x и найдем соответствующие y.

y = 2x, это прямая, постро-

им ее по двум точкам.

yв

yн

–3

–6

y = 3− x2 ,

это

парабола,

– 3

возьмем

несколько

точек

(между

точками пересечения).

– 6

–3

–1

–6

Из рисунка видим, что y

= 3 − x2, y

= 2x. Найдем площадь:

)dx =

(3 − x

2 − 2x) dx =

∫

− y

∫

3x −

− x

−3

3 1−

−12

−

3 (− 3)−

(− 3)

− (− 3)2

	= 1	2	− (− 9 + 9 − 9)= 1		2	+ 9 ≈ 10,7 ед. кв.
	= 1		− (− 9 + 9 − 9)= 1			+ 9 ≈ 10,7 ед. кв.
	3				3
4.2.3.2. Вычисление объема тела вращения
На	промежутке			x [a; b] построена непрерывная					линия
y = f (x), ( f (x)≥ 0).						y		y = f(x)
1. Линия вращается вокруг оси Ох.
1. Линия вращается вокруг оси Ох.
Объем	полученного			тела находится по
Объем	полученного			тела находится по			a		b x
формуле					0		a		b x
формуле
			b
				2			y
	V = π∫ y dx.						y
	V = π∫ y dx.
			a				d
			a				d
2. Линия вращается вокруг оси Oy.									x = g(y)
Объем полученного тела находится
по формуле							c
			d				c
			d
				2			0		x
	V = π∫ x dy.						0		x
	V = π∫ x dy.

Пример 3.

Линия y = x2 задана при x [1; 2]. Найти объем тела, полученного вращением этой линии:

а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.

Решение. Построим линию и тело, найдем объемы.

			а)											б)
y		y = x2											y
4													y
4													4
													4
																			x =

1																						y
1																						y
0				x									1
	1 2
	1 2
													0 1							x
													0 1				2			x
b	2			(x2)2dx = π			x	5		2			32π				π =	31π
b	2							5		2
а) V = π∫ y	2dx = π∫										=				−						≈19,5 ед.куб.;
а) V = π∫ y	2dx = π∫										=		5		−						≈19,5 ед.куб.;
a	1				5					1			5				5		5
a	1
d	4											4
									y2					16π		− π =				15π


б) V = π∫ x2dy = π∫(						)2 dy = π							=									≈ 23,6 ед.куб.
					y
					y
с	1							2				1	2				2		2
с	1							2				1

4.3. Несобственные интегралы

При введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что подынтегральная функция является ограниченной, а пределы интегрирования – конечными. Такой интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется

несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция f (x) непрерывна при a ≤ x < +∞ . Тогда интеграл на этом промежутке находится следующим образом:

+∞		b
∫	f (x)dx = lim	∫ f (x)dx.
a	b→∞	a
a		a

100

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл

+∞

∫f (x)dx

сходится, а если предел не существует, то интеграл расходится.

Геометрически

этот

несобст-

венный интеграл, по аналогии с

собственным

интегралом, пред-

y=f(x)

ставляет собой площадь криволи-

нейной трапеции, длина

которой

0 a

не ограничена.

Пример 1. Исследовать на сходимость интегралы.

+∞

а) ∫

e− xdx = lim ∫e− xdx = lim (− e− x )

b =

b→+∞ 0

b→+∞

= lim (1− e−b )= 1− e−∞ = 1. Интеграл сходится;

b→+∞

+∞

lim (ln x

1b )= ln(+ ∞)− ln1 = +∞ ,

б) ∫

lim

∫

b→+∞

1 x

интеграл расходится;

+∞

в) установим, при каких значениях α интеграл ∫

сходит-

ся. Случай α = 1 был рассмотрен в примере б). Если α ≠ 1, то имеем:

+∞ dx		b1−α −1	+ ∞, при α ≤ 1,

∫	= lim		=	1

1 xα	b→+∞	1− α			, при α > 1.

			α −1

Значит, данный интеграл сходится при α > 1 и расходится при

α ≤ 1.

Аналогично определяются следующие несобственные интегралы:

b		b
∫ f (x)dx =	lim	∫ f (x)dx.
−∞	a→ −∞	a
−∞		a

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]