Математический анализ. Учебное пособие
.pdf
111
|
|
|
∫∫ xdS |
|
|
|
∫∫ ydS |
|
|
x |
цм |
= |
D |
, y |
цм |
= |
D |
. |
|
∫∫dS |
∫∫dS |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
D |
|
|
|
D |
|
4. Координаты центра масс плоской пластины с неоднородной плотностью µ = µ(x; y):
|
|
|
|
|
|
∫∫µ(x; y)xdS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫µ(x; y)ydS |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
= |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
y |
|
|
|
|
= |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
цм |
|
∫∫µ(x; y)dS |
|
цм |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫µ(x; y)dS |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти центр масс однородной пластины, ограничен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ной линиями: y = 1, y = x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение. Построим область. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 1 |
|||||||||||||||
Найдем последовательно три интеграла: |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
y=1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫∫dS = ∫dx ∫dy = ∫(1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
)dx = x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– 1 |
1 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
−1 |
y= x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
y=1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫dy = ∫(x − x |
3 |
)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫∫ xdS = ∫ xdx |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
D |
−1 |
|
y= x2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
y=1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫∫ ydS = ∫dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ ydy = ∫ |
2 |
2 |
dx |
|
2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
D |
−1 |
y= x2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найдем координаты центра масс и отложим его на рисунке:
|
|
|
∫∫ xdS |
|
|
|
∫∫ ydS |
4 |
|
3 |
|
|
x |
цм |
= |
D |
= 0; y |
цм |
= |
D |
= |
5 |
= |
= 0,6. |
|
∫∫dS |
∫∫dS |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
112
Вопросы для самоконтроля
1.Определители второго и третьего порядка, их свойства. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу).
2.Формулы Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений.
3.Матрицы и операции над ними. Обратная матрица. Матричное решение системы уравнений.
4.Исследование систем линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса.
5.Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Прямоугольный декартов базис. Разложение вектора по базису. Деление отрезка в заданном отношении. Длина вектора и отрезка, направляющие косинусы.
6.Скалярное произведение векторов, его свойства и физический смысл. Угол между векторами, условие ортогональности векторов.
7.Векторное произведение векторов, его свойства и смысл. Условие коллинеарности двух векторов.
8.Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов.
9.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой.
10.Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение уравнений кривых к каноническому виду.
11.Полярные координаты. Связь между полярными и декартовыми координатами.
12.Общее уравнение плоскости. Построение плоскости. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
13.Уравнения прямой в пространстве, условия параллельности
иперпендикулярности. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности.
14.Поверхности второго порядка в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Эллипсоид. Однополостной гиперболоид. Двуполостной гиперболоид. Параболоид. Конус. Гиперболический параболоид.
113
15.Функция одной переменной, способы задания, область определения, характеристики поведения. Сложная и обратная функции. Основные элементарные функции и их графики.
16.Преобразование графиков основных элементарных функ-
ций.
17.Предел функции: на бесконечности, в конечной точке, односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их взаимосвязь и свойства. Основные теоремы о пределах.
18.Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Эквивалентные функции.
19.Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций непрерывных на отрезке.
20.Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику.
21.Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных.
22.Дифференциал функции, его механический и геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений.
23.Правило Лопиталя.
24.Условия и интервалы монотонности функций. Точки экстремума функции, необходимое и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции.
25.Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. Асимптоты графика функции.
26.Общая схема исследования функции и построения ее гра-
фика.
27.Функция двух переменных: область определения, частные производные первого и высших порядков. Полный дифференциал, его приложение к приближенным вычислениям.
28.Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.
29.Производная по направлению, градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
30.Неопределенный интеграл. Таблица и свойства. Основные методы интегрирования.
31.Интегрирование по частям.
32.Интегрирование рациональных функций.
114
33.Определенный интеграл, его свойства и вычисление.
34.Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площади плоской фигуры.
35.Приложения определенного интеграла.
36.Несобственные интегралы.
37.Приближенные методы интегрирования.
38.Двойной интеграл. Определение и свойства, вычисление. Геометрические приложения.
115
Гоголин Вячеслав Анатольевич Ермакова Инна Алексеевна
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие
Редактор З. М. Савина
Подписано в печать 12.12.2016. Формат 60×84/16 Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Уч.-изд. л. 7,00
Тираж 150 экз. Заказ
КузГТУ, 650000, Кемерово, ул. Весенняя, 28
Издательский центр УИП КузГТУ, 650000, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А