Математическое моделирование в задачах. Учебное пособие

УДК 51-72+531.1+532.5 ББК 22.25, 20я73

В752

Рецензент д-р физ.-мат. наук Г. С. Хакимзянов

Воронина, П. В.

Â752 Математическое моделирование в задачах: учеб. пособие / П. В. Воронина, В. Н. Лапин ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск :

ИПЦ НГУ, 2023. — 80 с.

ISBN 978-5-4437-1427-1

Пособие соответствует программе дисциплины «Математическое моделирование», которая осваивается в 4-м семестре в рамках образовательных программ по направлениям «Прикладная математика и информатика» и «Механика и математическое моделирование», реализуемым на механико-математическом факультете НГУ. Пособие включает в себя задачи по основным темам, изучаемым при освоении дисциплины, и дополняет учебное пособие «Математическое моделирование», посвященное ее теоретической составляющей. Большинство задач снабжено ответами.

Пособие будет полезно студентам, изучающим математическое моделирование или начинающим знакомство с механикой сплошной среды, а также преподавателям, проводящим семинарские и практические занятия.

Оглавление

Глава 1

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1.1. Исследовать движение цепи, часть которой свисает с поверхности стола.

1.2. Используя принцип «от простого к сложному», построить

иерархию математических моделей, описывающих движение подводного оползня по плоскому откосу. При построении физической модели считать, что ускорение свободного падения g постоянно, — угол наклона откоса, тело имеет конечную протяженность, известный объем V

и известную плотность материала sl; из которого оно сложено, S(t) —

положение тела в момент времени t [6].

а) Записать математическую модель в виде задачи Коши для дифференциального уравнения, представляющего закон движения тела с учетом только силы тяжести.

б) Учесть в рассмотрении присоединенную массу воды.

в) Добавить в модель силу плавучести (сиду Архимеда, равную весу вытесненной телом жидкости).

г) Принять во внимание свойство жидких сред оказывать сопротивление движущимся в них телам.

д) Учесть силу тяжести.

1.3. Написать дискретную модель и найти стационарное решение для модели «хищник-жертва» с конкуренцией

8dx

>

> = ( my gx)x;

>

> dt

>

>

<

dy = (kmx gy)y; > dt

>

>

>

>

>

:t = 0 : x = x0; y = y0:

1.4. Построить модель снаряда, выпущенного из пушки со скоростью V под углом к поверхности земли. При построении физической модели считать, что ускорение свободного падения g постоянно, эффектами сопротивления воздуха и вращения Земли можно пренебречь.

а) Записать математическую модель в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, выбрав в качестве переменных координаты снаряда x; y и компоненты вектора скорости u; v.

б) Построить дискретную модель, используя разность вперед

в) Записать явный алгоритм для нахождения координат снаряда во все моменты времени.

г) На основе построенной математической модели аналитически

найти дальность полёта снаряда для параметров V = 800 м/с,

= 30 .

1.5.Добавить учет сопротивления воздуха в модель, построен-

ную в задаче 1.4. Считать, что сила сопротивления воздуха направлена против вектора скорости, а ее модуль пропорционален квадрату скорости с постоянным коэффициентом Ca.

а) Дополнить уравнения математической модели для координат и компонент вектора скорости слагаемыми, соответствующими силе сопротивления воздуха.

б) Построить дискретную модель и алгоритм для получившейся математической модели.

6

в) Реализовать алгоритм в виде программного кода и провести вычислительный эксперимент для параметров, указанных в задаче 1.4.

г) Подобрать значение коэффициента пропорциональности Ca так, чтобы дальность полета снаряда была равна наблюдаемой в эксперименте Lexp(30) = 36; 4 км.

д) Найти дальность полета снаряда для углов возвышения = 20; 45 и

вычислить погрешности, если наблюдаемые в эксперименте дальности равны Lexp(20) = 27; 3 км, Lexp(45) = 40; 4 км.

1.6. Добавить зависимость коэффициента пропорциональности силы сопротивления воздуха от высоты Ca = Ca(y) в модель, построенную в задаче 1.5.

а) Учесть зависимость в уравнениях математической модели.

б) Построить дискретную модель и алгоритм для получившейся математической модели.

в) Реализовать алгоритм в виде программного кода и провести вычислительный эксперимент.

г) Используя приближенную формулу для коэффициента [7]

2 104 y Ca(y) = C0 2 104 + y ;

подобрать значение C0 так, чтобы для параметров V = 800 м/с, = 30

дальность полета снаряда была равна наблюдаемой в эксперименте Lexp(30) = 36; 4 км.

д) Найти дальность полета снаряда для углов возвышения = 20; 45 и

вычислить погрешности, если наблюдаемые в эксперименте дальности равны Lexp(20) = 27; 3 км, Lexp(45) = 40; 4 км. Сравнить величины погрешностей с полученными в задаче 1.5.

дель, построенную в задаче 1.4. Для зависимости ускорения свободного падения от высоты использовать закон всемирного тяготения. Значения массы Земли M, ее радиуса R и гравитационной постоянной G

считать известными. Построить дискретную модель и алгоритм для получившейся математической модели.

1.8. На веревке, перекинутой через блок, подвешены два груза с массами m1 и m2 (m1 > m2). Построить математические модели движения грузов в следующих предположениях.

а) Учитывается только сила тяжести, действующая на грузы.

б) Кроме силы тяжести учитывается сила трения, которая препятствует вращению блока. Сила пропорциональна (с коэффициентом b) силе тяжести, действующей на грузы.

в) Кроме указанных выше сил учитывается сила сопротивления воздуха, пропорциональная квадрату скорости.

1.9. Человек массой m прыгает с «тарзанки» (Bungee jumping) на веревке, длина которой без нагружения составляет L. Веревка линейно эластичная, и сила, требующаяся для ее растяжения на длину L, равна

F = k L. Сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала.

а) Построить математическую модель, представляющую процесс до момента полного растяжения веревки.

б) Получить аналитическое решение задачи.

в) Дать прогноз результата прыжка, если масса человека m = 80 кг, длина веревки L = 100 м, расстояние до земли H = 230 м, коэффициент эластичности веревки k = 19; 62 H/м.

1.10. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости, дать прогноз результата прыжка в условиях пункта (в) задачи 1.9. Коэффициент пропорциональности вычис-

Глава 2

КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Обозначения

= ( 1; 2; 3) — переменные Лагранжа.

x= (x1; x2; x3) — переменные Эйлера.

x= ( ; t) — закон движения сплошной среды.

v — скорость движения сплошной среды.

a — ускорение движения сплошной среды.

2.1.Для некоторой среды задан закон движения

8

>x1 = et 1 + (et 1) 3;

>

>

<

x2 = 2 + (et e t) 3;

>

>

>x3 = 3:

:

Доказать, что якобиан J для такого движения отличен от нуля и найти представление этого движения в координатах xi; t.

2.2.Закон движения сплошной среды имеет вид

>

>

>

: