Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое моделирование в задачах. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

475 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Деформация сплошной среды

5.12.У ê à ç à í è å. Тензоры скоростей деформаций (а)—(г) совпадают с полученными в задаче 5.11.

kx1

5.13. а)

D x1

; x2; x3

kx2

;

kx2

б)

D x1

; x2; x3

kx2

;

D x1; x2; x3 = 1

в)

5.14. а)

D (r; '; z) =

;

б) D (r; '; z) = 0;

r21

0 0

в) D(r; '; z) = B 0

0 C;

5.15. У ê à ç à í è å. См. ответы к задаче 5.2.

72	Ответы, указания, решения

Модели жидкостей

6.2.@@t + u@x@ + v @y@ + w @@z + @u@x + @y@v + @w@z = 0:

6.3.а) да; б) нет; в) да; г) нет.

6.4.а) нет; б) да; в) да; г) нет.

6.5.нет.

6.7.	v2 =	Ax1	x1=0 = 0:
		r2

6.9.а) да; б) да.

Модели жидкостей

6.10.

@v1

+v1

+ v2

@x1

@x2

@x1

+ 2

@2v1

@2v2

+ f1

@(x1)2

@(x2)2

@x1@x1

@v2

+v1

+ v2

@x1

@x2

@2v2

@2v1

+ f2

+ 2

@(x1)2

@(x2)2

@x1@x1

6.11.(а)—(г) div P = (0; 0; 0):

6.12.а) (0; 0; 4k ):

б) Р å ø å í è å. В задаче 5.13, б найден тензор скоростей деформации

				0	0	kx2	0
D x1	; x2	; x3	=	0	kx2	0	01	;
				B	0	0	C
				B	0	0	0C
				@			A

который найден в п. (б) задачи 5.13.

Тензор напряжений для вязкой несжимаемой жидкости определяется как функция тензора скоростей деформаций и давления P = pI + 2 D: Для случая нулевого давления и известного тензора скоростей деформации тензор напряжений будет равен

			0	0	2	kx2	0
P x1	; x2; x3	=	0	2 kx2	2	0	01	:
			B	0		0	C
			B	0		0	0C
			@				A

74					Ответы, указания, решения
Дивергенция тензора в		декартовой системе координат
может быть найдена как
0	@P11	+	@P12		+	@P13		1
0	@x1	+		@x2	+		@x3	1
B								C
B								C
div P = B	@P21	+	@P22		+	@P23		C;
div P = B	@x1	+		@x2	+		@x3	C;
B	1	+	2		+	3		C
B	@P31		@P32			@P33 C
@								A
B	@x			@x			@x	C

что дает значение div P = ( 2k ; 0; 0).

в) (0; 0; 0):

6.13.( k ; 0; 0):

6.14.(0; k ; 0):

6.15.( 2k ; 0; 0):

6.16.( k ; 0; 0):

Модель упругого тела

7.1.

@v1

+ v1

+ v2

= ( + )

@2u1

@2u2

@(x1)2

@x1x2

@2u1

@(x1)2

@(x2)2

@v2

+ v1

+ v2

= ( + )

@2u1

@2u2

@x1x2

@(x2)2

@2u2

@(x1)2

@(x2)2

7.2.

( + 2 )a	0	0	C
P = B 0	a	0	C

00 a

7.3.а) ( kt 1; 0; 0);

б) ( kt 1; kt 2; kt 3);

в) (0; kt 1; 0);

8u1 = 1(cos(k 3t) 1) + 2 sin(k 3t);

г) u2 = 1 sin(k 3t) + 2(cos(k 3t) 1);

:u3 = 0:

76					Ответы, указания, решения
7.4. а) " =	0 0	0	0	1	;
	kt	0	0	C
	B			C
	@			A
	0	0	0

kt	0	0	C;
б) " = B 0	kt	0	C;

0 0 kt

		0	0	kt	0	1
в)	" = 1	B	kt	0	0	C	;
в)	2	B	0	0	0	C
		@				A

г) Р å ø å í è å. Вычислим компоненты ui вектора смещений u u1 = x1 1 = 1 cos k 3t 1 + 2 sin k 3t ;

u2 = x2 2 = 1 sin k 3t + 2 cos k 3t 1 ; u3 = x3 3 = 0:

Компоненты тензора малых деформаций в приближении x

рассчитываются по формуле

@ui

@uj

"ij =

@ j

@ i

Получаем

@u1

@u2

"11

= cos k 3t 1;

"22 =

= cos k 3t 1;

@ 1

@ 2

"33

@u3

= 0:

@ 3

Разложим cos( ) в ряд Тейлора и отбросим слагаемые выше первого порядка ( 2; 4 и т. д.), тогда получим

"11	=1 +	1	k 3t	2	+	1	k 3t	4	+ ::: 1	0;

		2!				4!
"22	0;		"33 = 0:

Модель упругого тела

Найдем остальные элементы тензора.

@u1

@u2

"12 = "21 =

sin(k 3t)

sin(k 3t) = 0;

@ 2

@ 1

@u1

@u3

"13 = "31 =

@ 3

@ 1

1 sin(k 3t) + 2 cos(k 3t)

ktx2;

@u2

@u3

"23 = "32 =

@ 3

@ 2

=kt2 1 cos(k 3t) 2 sin(k 3t) = 12ktx1:

Иокончательно

			0		0	kx2t
" =	1	0	0		0		kx1t1		:
" =		0	0		0		kx1t1		:
	2	B	2	t	1		0	C
		Bkx		t	kx t		0	C
		@						A

7.5.

а) P = 0 (				0			kt		0	1;
		B		+ 2 )kt			0		0	C
		B		0			0		kt	C
		@								A
				0						1
				kt			0		0	C;
б) P = ( + 2 ) B 0						kt			0	C;
				@					kt	A
		0		0			0		kt
	P =	0	0	kt	0	1		;
в)	P =	B	kt	0	0	C		;
в)		B	0	0	0	C
		@				A

78	Ответы, указания, решения

		0	0	0	kx2t
г)	P =	0	0	0		kx1t1		:
г)		B	2	1		0	C
		Bkx t		kx t		0	C
		@					A

7.6. а) P hni = ( ( + 2 )kt; 0; 0); P hmi = (0; kt; 0);

P hki = (0; 0; kt);

б) P hni = ( ( + 2 )kt; 0; 0); P hmi = (0; ( + 2 )kt; 0); P hki = (0; 0; ( + 2 )kt);

в) P hni = (0; kt; 0); P hmi = ( kt; 0; 0); P hki = (0; 0; 0);

г) P hni = (0; 0; 2kt); P hmi = (0; 0; kt); P hki = (2kt; kt; 0):

Библиографический список

1.Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория. М.: Высшая школа, 1983.

2.Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1990.

3.Мeйз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974.

4.Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2002.

5.Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2 т. М.: Наука, 1973.

6.Хакимзянов Г. С., Чубаров Л. Б., Воронина П. В. Математическое моделирование. Новосибирск: НГУ, 2014.

7.Основания устройства и конструкция орудий и боеприпасов наземной артиллерии. Воениздат, 1976.

Учебное издание

Воронина Полина Владимировна,

Лапин Василий Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ

Учебное пособие

Редактор С. В. Исакова

Подписано в печать 05.04.2023 г. Формат 60 x 84 1/16. Уч.-изд. л. 5. Усл. печ. л. 4,6.

Тираж 160 экз. Заказ • 46

Издательско-полиграфический центр НГУ. 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]