Математическое моделирование в задачах. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

поненты вектора (8; 4; 1) в точке M 2;

: Найти контравариентные

компоненты этого вектора в точке

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

475 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Глава 3 Математические отступления

3.2.Доказать, что

D 0 D = 0 :

0 0

3.3.Доказать равенство

e e = :

3.4.Вывести формулы

i 0	= D 0 e ; i 0 = D 0 e :

3.5. Найти ковариантный и контравариантный базисы цилинд-

рической системы координат

>x1 = r cos ';

x2 = r sin ';

>x3 = z:

3.6.Найти ковариантный и контравариантный базисы сферической

системы координат

>x1 = r sin cos ';

x2 = r sin sin ';

>x3 = r cos :

3.7. Получить формулы для ковариантных и контравариантных компонент вектора

v = D 0

u 0 ; v = D 0 u 0 ;

3.8. Пусть T – температура. Рассмотрим градиент температуры -– вектор rT: Его компоненты в декартовой системе координат обозначим че-

рез

@T a 0 = @x 0 :

Доказать, что величины a = @q в произвольной системе координат составляют ковариантные компоненты тензора ранга 1.

3.9.Обозначим a 0 = dx 0 . Доказать, что дифференциалы координат a = dq являются контравариантными компонентами тензора

ранга 1.

3.10.Доказать, что компоненты метрического тензора g ; g

в произвольной системе координат Oq1q2q3 выражаются через его компоненты g 0 0 ; g 0 0 в декартовой системе координат по формулам

g = D 0 D 0

g 0 0 ; g = D 0 D 0 g 0 0 :

3.11.В цилиндрической системе координат найти а) ковариантные компоненты метрического тензора;

б) контравариантные компоненты метрического тензора.

3.12.В сферической системе координат найти

а) ковариантные компоненты метрического тензора; б) контравариантные компоненты метрического тензора.

3.13. Доказать формулы

e = g e ;	e = g e ;
v = g v ;	v = g v :

Глава 3 Математические отступления

3.14.Доказать, что в произвольной системе координат верна форму-

ла

u = juj = v1v1 + v2v2 + v3v3:

3.15.Доказать, что в произвольной системе координат верна форму-

ла

juj2 = g v v :

3.16.Для функции

f = x1 2 + 2x1x2 x3 2

найти

а) производную;

б) производную						по направлению, заданному единичным вектором
n =	2	e1	3		e2	6		e3	;
	7			7			7

в) производную из п. (б) в точке (1; 2; 3):

3.17.Для системы координат

>x1

>x3

=q1;

=q2 q3;

=q2 + q3:

найти

а) компоненты векторов ковариантного базиса;

б) компоненты векторов контравариантного базисов.

3.18.Для преобразования координат

>q1 = x1 + sin x2;

q2 = x2 + x3;

>q3 = x3 x2

найти

а) компоненты векторов ковариантного базиса;

б) компоненты векторов контравариантного базисов;

в) для вектора, определенного в декартовой системе координат как

(1; 5; 6); найти его ковариантные и контравариантные компоненты.

3.19.Для преобразования координат

>q1 = x1 + x2;

q2 = 4x2 x1;

>q3 = 2x3

найти

а) компоненты векторов ковариантного базиса;

б) компоненты векторов контравариантного базисов;

в) компоненты метрического тензора g ;

г) ковариантные и контравариантные компоненты вектора 5i1;

д) ковариантные и контравариантные компоненты вектора 5i1 + 4i3;

е) ковариантные и контравариантные компоненты вектора 3i1 2i2:

Глава 3 Математические отступления

3.20. Найти дивергенцию тензорного поля, заданного в ортонормированном базисе

0	4x1	2x1	1
0	4x1	2x1	C:
T (x) = B2x2 2(x2)2		2x2	C:
@			A
3x3	0	3(x3)2

3.21. Найти дивергенцию тензорного поля, заданного в ортонормированном базисе

0	sin x2		1
'(x)	sin x2		0
T (x) = B 0	0		x3C;
@			A
(x)	0		x1
	2x3
где '(x) = (3x2 x1) cos x2; (x) =		.
где '(x) = (3x2 x1) cos x2; (x) =	5	.

3.22.В цилиндрической системе координат заданы контравариант-

ные компоненты вектора (4; 1; 10) в точке M					: Найти ковари-
	2;		; 7
		4
ентные компоненты этого вектора в точке M:
3.23. В цилиндрической системе координат					заданы кова-
риантные компоненты вектора (7; 9; 2) в точке M		3;			; 4 : Найти кон-

травариентные компоненты этого вектора в точке M:				3

3.24.В сферической системе координат заданы ковариантные ком-

3.25.В декартовой системе координат задан вектор

u = 2i1 + 4i2 7i3:

Найти ковариантные и контравариентные компоненты этого вектора в

точке M 4; 6 ; 3 цилиндрической системы координат.

3.26.В декартовой системе координат задан вектор

				u = 6i1 2i2 + 4i3:
Найти			контравариентные компоненты этого вектора в точке
M 2;		;		сферической системы координат.

	4		3

3.27.Пусть закон движения сплошной среды задан отображением

x = ( ; t) = (1 + t) :

Найти div v.

Глава 4

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Обозначения

P — тензор напряжений. p — вектор напряжений. n — нормаль к площадке.

4.1. Пусть в ортонормированном базисе feig в R3 тензор напряжений P в некоторой точке x представляется матрицей P: Определить вектор напряжений pn на площадке с единичным вектором нормали n в

каждом случае:

		0	2	0	4	1
а) P =			0 0		5		;	n =				3	e1 +			4	e3;
а) P =			0 0		5		;	n =				5	e1 +				e3;
		B	4	5	6	C						5				5
		@				A
		0	7	0	2	1			2					2					1
б)	P =	B	0	5	0	C	;	n =			e					e		+		e	;
	P =		0	5	0		;	n =			e		1 3			e	2	+		e	;
			2 0		4				3				1 3				2		3 3
		@				A
		0	7	5	0	1			3					6					2
в) P = B 5				3 1 C;				n =			e1 +				e2 +					e3	:
в) P = B 5				3 1 C;				n =		7	e1 +			7	e2 +				7	e3	:
		@				A

01 2

4.2.Пусть в декартовой системе координат с базисом feigв R3 тензор напряжений P представляется матрицей, указанной ниже. Определить

вектор напряжений pn в точке M на площадке с единичным вектором нормали n в каждом случае:

	P = 0	3x		1	2		2		2				1								p
														; M 2; 1; p						;
а)					2 2							2					; n = 0;		1			3
		5 x					0				2x					3			1			3	;
		5 x					0				2x					3							;
	B				x	5	x				0		C										!
	B	0				2x2					0		C					2 2					!
	B												C
	@												A
	P = 0 5 0					0 1				; M(1; 2; 3); n =					4; 0; 3 :
	B		1		5	1		C							5			5
б)	B		1		0 2x3			C							5			5
	B							C
	@							A

4.3. Пусть в ортонормированном базисе feig в R3 тензор напряжений P в некоторой точке x представляется матрицей, указанной ниже. В каждом случае определить число так, чтобы вектор напряжений на некоторой площадке в точке x обращался в нуль. Найти единичную нормаль к этой площадке.

0 1 2

а) P = B 1 1 C;

2 1 0

1 1 2

б) P = B 1 0 1 C;

2 1

4 2

в)	P =	B	4	0	1	C	:
в)		B	2	1	0	C
		@				A

Глава 4 Напряженное состояние

4.4. Пусть в ортонормированном базисе feig в R3 тензор напряжений P в некоторой точке x представляется матрицей

a b

P = B a c C;

b c

где a; b; c — константы, — некоторое значение напряжения. Определить a; b; c так, чтобы вектор напряжения на площадке с единичным

1			1			1
вектором нормали n = p		e1	+ p		e2	+ p		e3 был равен нулю.
	3			3			3

4.5. В ортонормированном базисе задан тензор напряжений, пропорциональный единичному P = kI с коэффициентом k = ax3. Найти силу, действующую на объем

V= [0 x1 1] [0 x2 1] [0 x3 1]:

4.6.Вектор потока тепла задан формулой

q = (2x2; x2; x2):

Посчитать, какое количество тепла получит объем

V= [0 x1 1] [0 x2 1] [0 x3 1]:

4.7.Найти силу, действующую на объем

V= [0 x1 1] [0 x2 1] [0 x3 1];

если тензор напряжений задан в пп. (а) и (б) задачи 4.2.

Глава 5

ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРДЫ

Обозначения

L — тензор деформации Лагранжа,

E — тензор деформации Эйлера,

D — тензор скоростей деформации.

5.1. Найти тензоры деформаций Лагранжа L и Эйлера E, если движение сплошной среды происходит по закону

x1 = et 1

(et

1) 3;

а)

8 2

+ t

;

>x =

+ (e

)

>x3

= 3;

= 2;

et +

>x2

= +

б)

>x3

= 2 + 3 et

e t:

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]