Математическое моделирование в задачах. Учебное пособие
.pdfГлава 2 Кинематика деформируемой сплошной среды |
11 |
2.5.Для движения сплошной среды с полем скорости
8
>v1 = mx1;
>
>
<
v2 = nx2;
>
>
>v3 = 0; m; n = const > 0
:
и полем плотности
(x1; x2; x3; t) = 0 + Ax2e nt; A; 0 = const > 0
найти а) траектории движения частиц;
б) компоненты вектора скорости в переменных Лагранжа; в) компоненты вектора ускорения в переменных Эйлера; г) линии тока в момент времени t0;
д) скорость изменения плотности каждой частицы среды.
2.6.Задан закон движения сплошной среды
8
>x1 = 1 cos(!t) + 2 sin(!t);
>
>
<
x2 = 1 sin(!t) + 2 cos(!t);
>
>
>x3 = 3(1 kt); k; ! = const > 0:
:
Найти компоненты векторов скорости и ускорения в точке пространства x:
2.7.Дан закон движения сплошной среды
x1 |
= 1coskt; |
||||
8 |
= |
2 |
; |
||
>x2 |
|
|
|||
> |
|
|
|
|
|
> |
1 + |
|
kt |
||
< |
|
|
|
|
|
> |
|
|
sin |
|
|
>x3 |
= 3; k = const > 0: |
||||
>
>
>
:
12
Найти компоненты вектора скорости в переменных Эйлера.
2.8.Поле скорости движения сплошной среды имеет вид
8
>v1 = 2e t;
>
>
<
v2 = 3;
>
>
>v3 = 2t:
:
Найти компоненты вектора ускорения в переменных Эйлера.
2.9.Движение сплошной среды определено полем скорости
8
>v1 = b1(t)x1;
>
>
<
v2 = 0;
>
>
>v3 = 0:
:
Найти закон движения в переменных Лагранжа.
2.10.Поле скорости движения сплошной среды имеет вид
8
>v1 = 1et;
>
>
<
v2 = 1 + 2 + t2;
>
>
>v3 = 2t:
:
Найти компоненты вектора ускорения в переменных Эйлера.
2.11.Движение сплошной среды определено полем скорости
8
>v1
>
>
<
v2
>
>
>v3
:
=(x1)2t;
=x2t2;
=x1x3t:
Глава 2 Кинематика деформируемой сплошной среды |
13 |
Определить компоненты векторов скорости и ускорения частицы, на-
ходящейся в момент t = 1 в точке M(2; 4; 6):
2.12.Закон движения сплошной среды имеет вид
8 |
x1 |
= 1s |
( 1)22+ ( 2)2 + 1 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
qt |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2qt |
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
>x |
|
= |
|
|
|
|
|
+ 1; |
|||
|
1 |
2 2 2 |
|
||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
||||
< |
|
|
|
3s( ) + ( ) |
|
|
|
||||
> |
|
3 |
|
|
|
|
|||||
> |
|
|
= ; |
q = const: |
|
|
|
||||
>x |
|
|
|
|
|||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>
>
:
Найти компоненты вектора скорости в переменных Лагранжа и Эйлера.
2.13.Дано поле скорости движения сплошной среды
8
>v1 = 4x3 3x2;
>
>
<
v2 = 3x1;
>
>
>v3 = 4x1:
:
Найти компоненты вектора ускорения в точках P (b; 0; 0) и Q(0; 4b; 3b):
2.14.Закон движения сплошной среды задан в виде
8x1 |
= A + e |
|
sin (A + !t); |
|||||
> |
|
|
|
B |
|
|||
|
|
|
e |
B |
|
|||
> |
2 |
|
|
|
|
|
||
> |
= B |
|
|
|
|
(A + !t); |
||
>x |
|
|
|
|
|
|||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|||
> |
|
= 3; |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
||||
>x3 |
|
|
|
|
|
|||
>
>
>
>
>
:
где A; B; ; ! = const. Показать, что
а) траектории частиц такого движения являются окружностями;
б) модуль вектора скорости постоянен.
14
2.15.Поле скорости движения сплошной среды задано в виде
8
>v1
>
>
<
v2
>
>
>v3
:
=v0 sin kt;
=v0 cos kt;
=0; v0; k = const:
Найти линии тока.
2.16. В декартовой системе координат поле скорости движения
сплошной среды задано в виде
8
>v1 = x1 v0 t;
>
>
<
v2 = x2;
>
>
:
>v3 = 0; v = const:
0
Найти
а) компоненты вектора ускорения в переменных Эйлера;
б) линии тока в момент времени t0.
2.17.Движение среды происходит по закону
8
>x1 = 1 + mt 2;
>
>
<
x2 = 2 + nt 1;
>
>
>x3 = 3; m; n = const:
:
а) Найти компоненты вектора скорости в переменных Лагранжа.
б) Найти компоненты вектора ускорения в переменных Лагранжа.
в) Какая частица в момент времени t0 находится в точке пространства с координатами (x10; x20; x30)?
Глава 2 Кинематика деформируемой сплошной среды |
15 |
2.18.Движение среды происходит по закону
|
|
|
|
1 + |
|
||
8x1 = 1 |
|
; |
|||||
> |
|
|
|
|
t |
|
|
> |
2 |
|
2 |
|
|
t |
|
> |
= |
1 + 2 |
|
; |
|||
>x |
|
|
|
||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
||
< |
|
|
|
|
|
|
|
>x3 |
= 3 |
1 + t2 |
; = const: |
||||
> |
|
|
|
|
|
2 |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>
:
а) Найти компоненты вектора скорости в переменных Лагранжа.
б) Найти компоненты вектора ускорения в переменных Лагранжа.
в) Где находится в момент времени t = 3 частица, которая в момент
t = находилась в точке пространства с координатами (a; b; c)?
2.19.Движение сплошной среды определено полем скорости
>
8v1 |
|
|
x1 |
|
|
|||
= |
|
; |
|
|
||||
t + |
|
|
||||||
> |
2 |
|
|
2tx2 |
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
>v |
|
= |
|
|
|
|
|
; |
|
|
2 |
|
|
2 |
|||
> |
|
|
t |
+ |
|
|||
> |
|
|
|
|
|
|||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
>v3 |
= |
|
3t2x3 |
; = const > 0: |
||||
> |
|
|
t |
3 |
+ |
3 |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|||
>
>
>
:
Найти
а) закон движения среды;
б) поле скорости в переменных Лагранжа.
2.20.Дан закон движения сплошной среды
8
>x1 = et 1;
>
>
<
x2 = 1(1 e2t) + et 2;
>
>
>x3 = e3t 3:
:
16
Найти поле скорости среды в
а) лагранжевом и
б) эйлеровом представлениях.
2.21. Поле скоростей в декартовой системе координат задано векто-
ром
v = (x1)2te1 + x2t2e2 + x1x3te3:
Определить скорость и ускорение частицы, находящейся в момент времени t = 1 в точке P (3; 2; 1).
2.22.Поле скорости задано вектором
v = 2e t; 3; 2t :
Найти компоненты вектора ускорения в момент времени t = в
точке M(11; 9; 7):
2.23.Движение сплошной среды определено полем скорости
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8v2 |
= 0; |
1 |
x |
2 |
|
|
3 |
2 |
e |
Bt |
; |
>v |
= A |
x |
|
|
|
x |
|
|
|||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>v3 |
= A |
x2 |
|
2 |
x1x3 |
e Bt; A; B = const > 0: |
> |
|
|
|
|
|
:
Найти производную скорости для этого движения.
Глава 2 Кинематика деформируемой сплошной среды |
17 |
2.24. Движение сплошной среды определено полем скорости в декартовой системе координат
8
>v1 = kx2;
>
>
<
v2 = kx1;
>
>
>v3 = 2t; k = const > 0:
:
Найти поле скорости в лагранжевых координатах.
2.25.Доказать, что при установившемся движении среды линии тока и траектории совпадают.
2.26.Найти компоненты векторов скорости в переменных Лаг-
ранжа и Эйлера, если закон движения сплошной среды задан в виде:
а) одноосное сжатие
8x1 = 1(1 kt);
>
>
>
<
x2 = 2;
>
>
>
:x3 = 3;
б) всестороннее сжатие
8x1 = 1(1 kt);
>
>
>
<
x2 = 2(1 kt);
>
>
>
:x3 = 3(1 kt);
18
в) простой сдвиг
г) кручение
8x1
>
>
>
<
x2
>
>
>
:x3
8x1 = 1;
>
>
>
<
x2 = 2 + k 1t;
>
>
>
:x3 = 3;
=1 cos(k 3t) + 2 sin(k 3t);
=1 sin(k 3t) + 2 cos(k 3t);
=3:
Глава 3
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОТСТУПЛЕНИЯ
Обозначения
Ox1x2x3 — декартова система координат.
Oq1q2q3 — произвольная система координат.
i1; i2; i3 или i1; i2; i3 — базисные векторы декартовой системы координат.
u = u1i1 + u2i2 + u3i3 = u1i1 + u2i2 + u3i3 — вектор в декартовой системе координат.
e1; e2; e3 — ковариантный базис произвольной системы координат.
e1; e2; e3 — контравариантный базис произвольной системы координат.
u = v1e1 + v2e2 + v3e3:
v1; v2; v3 — ковариантные компоненты вектора u в произвольной системе координат.
u = v1e1 + v2e2 + v3e3:
v1; v2; v3 — контравариантные компоненты вектора u в произвольной системе координат.
D 0 |
= |
@x 0 |
, |
D |
= |
@q |
: |
|
|
@q |
|
0 |
|
@x 0 |
|
0 — индекс, относящийся к переменной декартовой системы координат.
Тензор |
ранга r — линейное по каждому аргументу отображение |
||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
T : |
z |
|
|
}| |
|
|
|
{ |
! |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R3 |
|
::: |
|
|
R3 |
|
R |
|
||
Ковариантные компоненты тензора — результат действия тензора на
вектора базиса
Ti1:::ir = T hei1 ; :::; eir i:
20
Контравариантные компоненты тензора — результат действия тензо-
ра на вектора кобазиса
T i1:::ir = T hei1 ; :::; eir i:
Смешанные компоненты тензора — результат действия тензора на вектора из базиса и кобазиса, например,
T |
j |
= T e |
; ej |
; |
T m = T |
em; e |
ki |
: |
|
|
i |
h i |
i |
|
k |
h |
|
|
|
Компоненты метрического тензора — скалярное произведение базисных векторов
gij = ei ej; gij = ei ej; gji = ei ej:
Результат действия метрического тензора g на векторы a и b определяется как их скалярное произведение gha; bi = a b:
Производная тензорного поля
f : R3 ! E; E = R; R3; T2(R3)
— линейное отображение L 2 L(R3; E), для которого выполнено
@f |
= |
jf(x0 + h) f(x0) LhhijE |
3 ! |
0: |
|||||||
@x |
|
|
j |
h |
jR |
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
j |
jR |
! |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
||
Дивергенция тензорного поля f —
def @f(x)heiih ii
div f(x) = e : @x
3.1.Доказать, что
D 0 D 0 = :