Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое моделирование в задачах. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

475 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Глава 5 Деформация сплошной среды

5.2.Найти тензоры деформаций Лагранжа L и Эйлера E, если

движение сплошной среды происходит по закону (k = const)

а) одноосное сжатие

8x1 = 1(1 kt);

x2 = 2;

:x3 = 3;

б) всестороннее сжатие

8x1 = 1(1 kt);

x2 = 2(1 kt);

:x3 = 3(1 kt);

в) простой сдвиг

8x1 = 1;

x2 = 2 + k 1t;

:x3 = 3;

г) кручение

8x1 = 1 cos(k 3t) + 2 sin(k 3t);

x2 = 1 sin(k 3t) + 2 cos(k 3t);

:x3 = 3:

5.3. Найти тензоры деформаций Лагранжа L и Эйлера E, если

движение сплошной среды происходит с полем скорости

	8v1		=		x1		;
	8v1		=		1 + t		;
	>				2tx	2
	>	2			2tx
	>	2
a)	>v		=					;
a)	>
	>
	>
	>
	<
	>v3			1 + t2				;
	>v3		= 3t2x3					;
	>
	>			1 + t			3
	>			1 + t

б)

8v2

= kx ;

;

= 0; k = const > 0;

в)

8v2

= kx

;

= 0; k = const > 0;

8v1

= (1x1 t);

г)

;

>v3 = 0:

5.4. Найти тензоры деформаций Лагранжа L и Эйлера E, если движение сплошной среды происходит с полем скорости

а)	8v1 = k 1;
а)	>v2	= 0;
	>
	>
	<
	>v3	= 0;
	>
	>
	: 1				1
б)	8v2	= k			2	;
б)	>v	=	k			;
	>
	>
	<
	>v3	= k 3;
	>
	>
	:
	1
в)	8v2	= 0;	1	;
в)	>v	= k		;
	>
	>
	<
	>v3 = 0;

Глава 5 Деформация сплошной среды

г)

8v2

= k

3 sin k

3t + k

3 cos k

3t;

cos k t

sin k

>v3

= 0:

5.5.Дано поле скорости с декартовыми компонентами

>v1 = !y;

v2 = !x;

>v3 = A; A; ! = const > 0:

Найти а) закон движения сплошной среды,

б) компоненты скорости в лагранжевых координатах, в) ковариантные и контравариантные компоненты скорости в цилиндрической системе координат.

5.6.Для закона движения сплошной среды

8x1 = 1 cos t 2 sin t;

x2 = 1 sin t + 2 cos t;

:x3 = 3 + 2t

в момент времени t = 1 для частицы = (0; 0; 0) найти а) относительное удлинение в направлении e1 = (1; 0; 0); б) относительное удлинение в направлении e2 = (0; 1; 0); в) относительное удлинение в направлении e3 = (0; 0; 1); г) относительный сдвиг направлений e1, e2;

д) относительный сдвиг направлений e1, e3; е) относительный сдвиг направлений e2, e3.

5.7. Найти относительные удлинения в направлениях m = (0; 1; 0)

и n = (1; 0; 0) и относительный сдвиг направлений n; m для частицы

= (0; 0; 0) в момент времени t	= 0:1 для законов движения сплошной
среды (а)—(г) при k = 1 из задачи 5.2.
5.8. Найти относительный	сдвиг направлений n = (1; 0; 0) и

m = (0; 0; 1); относительное удлинение в направлении m для частицы = (1; 1; 1) в момент времени t = 0:1 и k = 1 для закона движения (г) из задачи 5.2.

5.9.Дан закон движения сплошной среды

>x1 = 1;

x2 = 2 + 1 e 2t 1 ;

>x3 = 3 + 1 e 3t 1 :

Найти тензор скоростей деформации.

5.10.Движение сплошной среды определено полем скорости

1
8v2	= 0;	1	x	2	3	2	e	Bt	;
>v	= A	x	x		x		e		;
>
>
>
<

>v3	= A	x2		2	x1x3	e Bt; A; B = const > 0:
>

Найти тензор скоростей деформации в момент t = 0 в точке M(1; 0; 3):

5.11.Найти тензоры скоростей деформации для законов движения (а)—(г) из задачи 5.2.

5.12.Найти тензоры скоростей деформации для законов движения (а)—(г) из задачи 5.4.

Глава 5 Деформация сплошной среды

5.13.Записать компоненты тензора скоростей деформации Dij

в декартовой системе координат для вектора скорости

>v1 = 0;

а) v2 = 0;

>v3 = 1 k (x1)2 + (x2)2 ;

8v1 = 1 k x2 2 ;

б) v2 = 0;

>v3 = 0;

>v1 = kx2;

в) v2 = 0;

>v3 = 0:

5.14. Записать компоненты тензора скоростей деформации

Dij; (i; j = r; '; z) в цилиндрической системе координат (r; '; z) для вектора скорости

а) vr = r; v' = 0; vz = 0;

б) vr = 0; v' = r2; vz = 0;

в) vr = 0; v' = 0; vz = 1 r2:

5.15. Найти тензоры деформаций Лагранжа L и Эйлера E, если движение сплошной среды происходит с полем скорости

8v1

а) v2

:v3

8v1

б) v2

:v3

8v1

в) v2

:v3

8v1

г) v2

:v3

=k 1;

=0;

=k 1;

=k 2;

=k 3;

=0;

=k 1;

=0;

=k 1 3 sin(k 3t) + k 2 3

=k 1 3 sin(k 3t) k 2 3

=0:

cos(k 3t);

sin(k 3t);

Глава 6

МОДЕЛИ ЖИДКОСТИ

Обозначения

— плотность жидкости.

v = (v1; v2; v3) — вектор скорости и его компоненты в декартовой системе координат O(x1; x2; x3) или O(x; y; z):

6.1.Преобразовать уравнение неразрывности

ddt + div v = 0

к виду

а)

+ vr + div v = 0;

б)

@@t + div ( v) = 0:

6.2. Записать в декартовых координатах x; y; z уравнение неразрывности из задачи 6.1.

6.3. Проверить, выполнено ли уравнение неразрывности для векто-

ра скорости и плотности, заданных выражениями

8v1

;

а)

;

= at;

a; k =

;

const

= 1 k x1 2 + x2 2 ;

>v3

8v1

;

б)

;

= at;

a; k =

;

const

= 1 k x1 2 + x2 2 ;

>v3

в)

8v2

= ax

;

a = const;

ax ;

= x e

>v3

= 0;

г)

8v2

= ax2

;

2 at

a = const;

= ax ;

= x e

+ x e

;

>v3 = 0:

6.4. Проверить, выполнено ли уравнение неразрывности несжимае-

мой жидкости для векторов скорости (а)—(г) из задачи 6.3. Сравнить с

ответами, полученными в задаче 6.3.

Глава 6 Модели жидкостей

6.5.В плоском потоке несжимаемой жидкости скорость задана как

<v1 = x 4y;

:v2 = y 4x:

Удовлетворяет ли скорость уравнению неразрывности?

6.6. Доказать, что поле скорости течения несжимаемой жидко-

сти удовлетворяет уравнению неразрывности:

8v1

;

а)

= 2

x x ;

>v3

= 0;

r2 =

2 + x2

2 ; A = const;

б)

в)

8v1 = 2x1x2x3 ;

> r4

>v2

r4x2

x3 ;

;

+ x

;

8v1

= A

;

= A

;

; r2 = x1

+ x2

+ x3

;

>v3

= A r3

:A = const:

6.7.Имеется плоский поток несжимаемой жидкости, в котором

v1 = Axr22 ; r2 = x1 2 + x2 2 :

Найти во всем потоке компоненту v2 при x1 = 0 для всех значений x2:

6.8. Пусть в ортонормированном базисе поле скорости стационарно движущейся среды задается выражениями

>v1 = g(r)x2;

v2 = g(r)x1;

>v3 = h(r); r2 = x1 2 + x2 2 :

Показать. что при таком движении плотность в частице не меняется.

6.9. Проверить, выполняется ли уравнение неразрывности несжимаемой жидкости, движущейся по закону

8x1 = 1 + t 2;

а) x2 = 2 t 3; = e2t;

:x3 = 3 + kt;

8x1 = 1 + t 1 ( 2)2 ( 3)2 ;

б) x2 = 2;	= e2t:
>x3 = 3;

6.10. Записать в развернутой форме в декартовой системе координат (x1; x2) уравнение сохранения импульса

ddtv = div P + f;

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]