Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое моделирование в задачах. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

475 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Глава 6 Модели жидкостей

если тензор напряжений выражается через тензор скоростей деформаций по формуле

P= pI + 2 D:

6.11.Записать в декартовой системе координат компоненты вектора div P , если давление равно нулю, а тензор скоростей деформаций получен в пп. (а)—(г) задачи 5.12.

6.12.Считая, что P — тензор напряжений в модели несжимаемой жидкости, характеризующейся коэффициентом вязкости ; записать в декартовой системе координат компоненты вектора div P , если давление равно нулю, а тензор скоростей деформаций получен в пп. (а)—(в) задачи 5.13.

6.13.Посчитать силу, действующую на площадку размера 1 м2 с нормалью n = (0; 1; 0); которая расположена в точке (0; 0; 0); если тензор напряжений получен в условии п. (в) задачи 6.11.

6.14.Посчитать силу, действующую на площадку размера 1 м2 с нормалью n = (0; 0; 1); которая расположена в точке (1; 0; 0); если тензор напряжений получен в условии п. (г) задачи 6.11.

6.15.Посчитать силу, действующую на площадку размера 1 м2 с нормалью n = (0; 1; 0); которая расположена в точке (0; 1; 0); если тензор напряжений получен в условии п. (б) задачи 6.12.

6.16.Посчитать силу, действующую на площадку размера 1 м2 с нормалью n = (0; 1; 0); которая расположена в точке (0; 0; 0); если тензор напряжений получен в условии п. (в) задачи 6.12.

Глава 7

МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА

Обозначения

Компоненты вектора смещений — ui = xi i:

Компоненты тензора малых деформаций в декартовой системе коор-

динат —	1	@ui		@uj	:
"ij =			+
	2	@xj		@xi

Закон Гука для вычисления тензора напряжений через тензор малых деформаций —

Pij = " ij + "ij; " = i"ii:

7.1.Записать в развернутой форме в декартовой системе координат

(x1; x2) уравнение сохранения импульса

ddtv = div P;

если

P = "I + 2 "; "ij = 2	@xj		+ @xi
1		@ui		@uj

;" = "ii:

7.2. Деформация линейно упругого тела с параметрами ; в

ортонормированной системе координат описывается тензором деформации

"ij = ij 1ja; a = const:

Найти тензор напряжений из закона Гука.

Глава 7 Модель упругого тела

7.3.Найти вектор смещений u для деформации сплошной сре-

ды, представляемой законами движения в пп. (а)–(г) задачи 5.2.

7.4. Найти тензор деформаций в каждой точке пространства, предполагая деформацию малой, для деформации сплошной среды, представляемой законами движения в пп. (а)–(г) задачи 5.2.

7.5.С помощью закона Гука найти тензоры напряжений в каждой точке пространства для тензоров деформации из задачи 7.4.

7.6.Найти векторы напряжений, действующие на элементарные площадки с нормалями n = (1; 0; 0); m = (0; 1; 0); k = (0; 0; 1); расположенные в точке (1; 2; 3) для тензоров деформации из задачи 7.4.

44	Ответы, указания, решения

Ответы, указания, решения

Общие принципы математического моделирования

1.2.У ê à ç à í è å. Решение см. в [6].

1.4.

	8	dx	= u;

		dt
	>dy
	>		= v;
	>		= v;
	>
	> dt
	>
а)	>
а)	>
	>
	>	du
	>
	<		= 0;
	<		= 0;
	> dt
	>dv
	>		= g;
	>		= g;
	>
	>
	> dt
	>
	>
	>
	>
	:

x(0) = 0;

y(0) = 0;

u(0) = V cos( );

v(0) = V sin( ):

	8	t				n			0
		xn+1	xn		= u			;	x = 0;
	>yy+1			yn
	>				= vn;				y0 = 0;
	>				= vn;				y0 = 0;
	>	t
	>	t
	>
	>
	>			un
	>un+1			un
	>
б)	>				= 0;				u = V cos( );
	>								0
	>	t
	>	t
	<
	>	vn+1 vn			=		g;		v0 = V sin( );
	>	t
	>
	>
	>
	>
	>					tn:
	> t = tn+1					tn:
	>
	>
	>
	>
	>
	>
	:un = u0 = V cos( );
	8							vn+1 = vn g t;
	>v0 = V sin( );							vn+1 = vn g t;
в)	>
в)	>
	>

>x0 = 0; xn+1 = xn + tun;

:y0 = 0; yn+1 = yn + tvn:

Общие принципы математического моделирования

г) У ê à ç à í è å. Время полета считать из условия постоянства

ускорения

T = 2V sin : g

L = 55:4 км.

1.5.

8 dt

= u;

x(0) = 0;

= v;

y(0) = 0;

> dt

= C u

+ v

;

а)

> dt

<dv

= g Cav u2 + v2;

> dt

u(0) = V cos( );

>v(0) = V sin( ):

8u0 = V cos( );

>un+1 = un

Caun un

+ vn

= V sin( );

б)

>vn+1 = vn

g + Cavn un

+ vn

>x = 0; x

= x

+ tu ;

n+1

:y0 = 0; yn+1 = yn + tvn:

г) Ca 19 10 6:

д) Lnum(20) Lexp(20) 2:8 км,

Lnum(45) Lexp(45) 1:8 км.

46 Ответы, указания, решения

1.6.

= u;

= v;

>x(0) = 0;

y(0) = 0;

>du

а)

= C0

u u + v

;

+ y

> dt

= g C0

v u2 + v2;

> dt

+ y

v(0) = V sin( ):

>u(0) = V cos( );

8u0 = V cos( );

v0 = V sin( )

>x0 = 0; y0 = 0;

>Fn

= C0

u + v

;

+ yn

б)

= u

u F

> n+1

>vn+1 = vn (g + vnFn) t;

= x

+ tu ;

> n+1

>yn+1 = yn + tvn:

г)

д) Lnum(20) Lexp(20) 0:4 км,

Lnum(45) Lexp(45) 0:3 км.

Общие принципы математического моделирования

1.7.

	8	dx	= u;	x(0) = 0;
	8	dt	= u;	x(0) = 0;
	>dy
	>		= v;	y(0) = 0;
	>		= v;	y(0) = 0;
	>
	> dt
	>
а)	>
а)	>
	>
	>	du
	>
	<		= 0;	u(0) = V cos( );
	<		= 0;	u(0) = V cos( );
	> dt
	>
	>		=		2	; v(0) = V sin( ):
	>			(R + y)	2
	> dt			(R + y)
	>			GM
	>dv			GM

>un = u0 = V cos( );

>v0 = V sin( );

< GM

б) >vn+1 = vn (R + yn)2 t;

>x0 = 0; xn+1 = xn + tun;

:y0 = 0; yn+1 = yn + tvn:

1.8.а) У ê à ç à í è å. Смещение груза массы m1 вниз от начального положения обозначим s:

	d2s	=	m1	m2	g;
8dt2			m2	+ m1
>
>
<

>s(0) = 0;

б) У ê à ç à í è å. Обозначим f =

При f 0, s(t) 0.

8d2s

> = fg;

<dt2

При f > 0,

>s(0) = 0;	ds	= 0:
	dt
>
:

= 0:

m1 m2 b: m2 + m1

48							Ответы, указания, решения
в) При f 0, s(t) 0.
	f > 0		8dt2 = fg b dt				;
При		,	>	d2s		ds	2
			>
			>		ds
			<
			>s(0) = 0;		dt = 0:

1.9.Р å ø å í è å. a) Обозначим за y положение человека по вертикали, направив ось вниз, и поместим y = 0 в точку, где веревка полностью выпрямлена, но не натянута. До момента начала натяжения веревки y < 0 движение описывается решением y = y1(t) задачи Коши:

2	= g;
8ddty21	= g;
>
>
<
>t = 0 : y1 = L;		dy
>t = 0 : y1 = L;		dt1 = 0:
>

После начала натяжения веревки y 0; t T0 движение описывается решением y = y2(t) задачи Коши:

2			k
8ddty22			k
8ddty22	= g ky~ 2; k~ = m
>
>		dy2
<
>t = 0 : y2 = 0;		dt = v0:
>

Момент начала натяжения веревки T0 и скорость в этот момент v0 рассчитываются из условий y1(T0) = 0; v0 = dydt1 (T0):

Общие принципы математического моделирования

При t

б) При t < T0

: y = y1(t) =

L + 0:5gt2:

y = y2(t) =

pk~(t T0)

pk~(t

T0)

sin

cos

;

где v0 =

44:3 м/с, L + L 237 м.

2Lg; v0

1.11. а) Да.

б) Да.

в) Нет.

г) Да.

50	Ответы, указания, решения

Кинематика деформируемой сплошной среды

2.1. Р å ø å í è å.		Для	существования		обратных функций
i = i			необходимо и достаточно, чтобы якобиан
	x1; x2; x3; t
отображения xi = xi			1	; 2; 3; t был отличен от нуля. Запишем
этот якобиан
	@x1	@x1		@x1

@ 1

@ 2

@ 3

@x2

J =

0 1 e

= e > 0:

0 0

@ 1 @ 2 @ 3

Теперь выразим переменные 1; 2; 3 через x1; x2; x3 :

> 1 = e tx1 + e t 1 x3;

2 = x2 + e t et x3;

> 3 = x3:

2.2.Р å ø å í è å. a) Сначала найдем компоненты вектора скороcти в переменных Лагранжа. Для этого продифференцируем закон

движения. Получим

8v1 = 0;2

e t;

>v2

<v3

= 2

+ 3

et +

2 3

e t:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]