Математическое моделирование в задачах. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

25b; 0; 0) aQ(0; 0; 0):

x1 A 2 + x2 + B 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

475 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Кинематика деформируемой сплошной среды

Далее заметим, что

v1 = 0; v2 = x3; v3 = x2;

б) Сначала найдем компоненты вектора ускорения в переменных Лагранжа. Для этого продифференцируем компоненты вектора скорости в переменных Лагранжа. Получим

8a1 = 0;2

et +

>a2

<a3

2 3

e t:

Окончательно получаем a

= 0;

= x ;

= x :

2.3. a) v1 = 1; v2 = 2 2(1 + t);			v3 = 3 3		(1 + t)2;
б) a1 = 0; a2 =	2x2			6x3
		; a3	=			;
	(1 + t)2			(1 + t)2
s		2s				3s

в) x1 = x10e1+t0 ; x2 = x20e1+t0 ; x3 = x30e1+t0 :

2.4. a) v1 = 1; v2 = 2t 2; v3 = 3t2 3;

		1		) 1;
б)	8x2		= (1 + t2		2	;
б)	>x		= (1 + t		)	;
	>
	>
	<	3	= (1 + t	3	3	;
	>x		= (1 + t		)	;
	>						2
	>		s			2t0s	3t s
	:		s			2t0s	0

в) x1 = x10e1+t0 ; x2 = x20e1+t20 ; x3 = x30e1+t30 s:

Ответы, указания, решения

2.5.

a) x1 = 1e mt;

x2 = 2ent;

x3 = 3;

б) v1 = m 1e mt; v2 = n 2ent; v3 = 0;

в) a1 = m2x1; a2 = n2x2; a3 = 0;

г) x1 = x01e ms; x2 = x02ens; x3 = x03;

д)

= 0:

2.6.

v1 = !x2;

v2 = !x1;

kx3

;

1 kt

a1 = !2x1; a2 = !2x2; a3 = 0:

8v1 = kx1tgkt; kt

1 + sinkt

2.7.

kx2 cos

;

>v2 =

>v3 = 0:

2.8.

a1 = e t(x2 + tx3 t3);

a2 = 0;

a3 = 2:

2.9.

;

= ;

x = :

b1(t)dt

2.10. a1 = x1;

a2 = 2t;

a3 = 2:

2.11. vM1

= 4;

vM2 = 4;

vM3

= 12;

a1M = 20; a2M = 12; a3M = 60:

Кинематика деформируемой сплошной среды

2.12.

8v1

q 1

2qt

+ 1

1=2

;

)

2 2

(

+ (

(

+ ( )

1=2

2qt

+ 1

;

( 1)

+ ( 2)

( 1)

+ ( 2)

= 0;

8v1

2qx1

;

(x1)2 + (x2)2

2qx

;

)

(x ) + (x

>v3

= 0:

2.13.

>a1 = 25x1;

a2 = 9x2 + 12x3;

>a3 = 12x2 16x3:

б) У ê à ç à í è å. Переписать закон движения в виде

54							Ответы, указания, решения
	8x1 A = e				sin (A + !t);
	>			B
	>			e	B
	>	2		e
	>	2	+ B =				(A + !t);
	>x		+ B =				(A + !t);
	>
	<
	>		= 3;			cos
	>					cos
	>x3
	>
	>
	>
	>
	:
возвести	равенства в квадрат и сложить.
возвести	>

jvj = e B B2 + !2 :

2.15.

x1 = x1 v s sin kt ;

> 0 0 0

x2 = x20 v0s cos kt0;

>x3 = x3:

2.16. а) a1 = x1 v0(1 + t);

a2 = x2; a3 = 0;

+ v

;

б)

8x2

= x0e ;

= x0

2.17. а) v1 = m 2;

v2 = n 1;

v3 = 0;

б) a1 = 0; a2 = 0; a3 = 0;

= x01 mt0x02 ;

1 mnt02

nt x1

в)

;

mnt

= x03:

> 3


Кинематика деформируемой сплошной среды										55
2.18. а) v1 =	1	;	v2 = 2	2	;	v3 = 2		3t		;
								2

б) a1 = 0;			a2 = 0;			a3 = 2	3
									;
							2

в) 2a; 73b; 5c :

2.19.

8x1 = 1

1 +

;

1 +

;

а)

1 +

;

б) v1 =

;

v2 = 2

;

= 3

;

2.20.

8v1

= et 1;

а)

v2 = 2e2t 1 + et 2;

>v3

= 3e3t 3;

8v2

= x ;

б)

e )x + x ;

>v =

x3:

= 32

2.21.

= 9;

= 2;

= 3;

2.22.

aP1 = 63; aP2 = 6; aP3 = 21:

aM1 = 9 + 7

e ;

>aM = 0;

>aM = 2:

56 Ответы, указания, решения

2.23.

@vi		0	0	0	0	1
@xj	= Ae Bt	B	x2	x1	2x3	C	:
@xj		B	x3	2x2 x1		C
		@				A

2.24.

>v1 = k 1 sin(kt) + k 2 cos(kt);

v2 = k 1 cos(kt) k 2 sin(kt);

>v3 = 2t 3 + 1 :

2.26.

>v1 = k 1;

а) v2 = 0;

>v3 = 0;

>v1 = k 1;

б) v2 = k 2;

>v3 = k 3;

>v1 =

v2 =

:v3 =

>v1 =

v2 =

>v3 =

kx1 ; 1 kt

kx2 ; 1 kt

kx3 : 1 kt

>v1 = 0;

в) v2 = k 1;

v2 = kx1;

>v3

= 0;

>v3

= 0:

8v2

= k

3 sin(k

3t) + k

3 cos(k

3t);

= kx

;

г)

= 0;

= 0:

Математические отступления

3.5.Р å ø å í è å. a) По определению векторы ковариантного базиса

определяются по формуле e = @q или в развернутом виде

e =	@x1		@x2		@x3	; = 1; 2; 3:
		;		;
	@q		@q		@q

Проведем необходимые действия и получим векторы ковариантного базиса

e1 = (cos '; sin '; 0) ;

e2 = ( r sin '; r cos '; 0) ; e3 = (0; 0; 1) :

б) Векторы контравариантного базиса находятся по формуле

	@q
e =		или в развернутом виде
e =	0	или в развернутом виде
	@x
		e =	@q		@q		@q	;
				;		;			= 1; 2; 3:
			@x1	;	@x2	;	@x3		= 1; 2; 3:

Проведем необходимые действия и получим векторы контравариантного базиса

e1 =

2 ;

2 ; 01;

(x1) + (x2)

e2 = (x1)2 + (x2)2 ;

(x1)2 + (x2)2 ; 0!

;

e3 = (0; 0; 1) :

58	Ответы, указания, решения

3.6.

>>e1 = (sin cos '; sin sin '; cos ) ;

а) e2 = (r cos cos '; r cos sin '; r sin ) ;

:e3 = ( r sin sin '; r sin cos '; 0) ;

б) e1 = x1 ; x2 ; x3 ; r r r

0 x1x3 1

B(x1)2 + (x2)2 C

	B					C
e2 = r12	B					C
e2 = r12	B				x2x3	C	;
	B					C
	B		q			C
	B			(x1)2 + (x2)2		C
	B					C
	B					C
	B					C
	B					C
	@ q					A
		(x1)2 + (x2)2

e3 = (x1)2 + (x2)2 ;		(x1)2 + (x2)2 ; 0!	:
	x2	x1

3.11.

	g =	00	r2	01	;		g =	0	1	1	:
		1	0	0				1	0	0
а)		B0 0		1C		б)		B0		0C
а)		B0 0		1C		б)		B0	r2	0C
		B		C				B0	0	1C
		@		A				@		A

Математические отступления

3.12.

	1	02		0				01	1	0	1
	g = 00 r				1;				0
а)				0		б)	g =	0		0		C	:
			2	0			g =	0	r2	0			:
	B0		2	2	C			B	r2	1
		0	r	sin				B0	0			C
		0	r	sin				B0	0	2		C
	B				C			B		r2 sin	C
	@				A			@				A

3.16.

a) 2 x1 + x2; x1; x3 ;

б) 27 x1 + 2x2 + 6x3 ;

в) 6:

3.17.

8e1 = (1; 0; 0) ;

>	e1 = (1; 0; 0);	>	1 1
>		>
>		>

<e2 = (0; 1; 1);	<e2 = 0;		;		;
		2		2

>e3 = (0; 1; 1);	>e3 =	0; 2	;	2		:
:	>	1		1

3.18.

8e1 = (1; 01; 0) ;

1 1

;

>e2 =

cos

;

а)

cos

q2 q3

;

б)

8e2

= 1; cos x ; 0 ;

= (0; 1; 1) ;

60	Ответы, указания, решения

8v1 = 1;

v1 = 1 + 5 cos x2;

cos

;

= 11;

в)

cos

q2 q3

;

<v3

= 1:

3.19.

8e1

5; 0

;

а)

;

; 0

;

>e3 =

0; 0; 1

;

б)

8e2

= (1; 1; 0) ;

>e = (

1; 4; 0) ;

= (0; 0; 2) ;

в)	B	3	2	0	C	;
в)	B	25	25	0	C	;
	B				C
	B				C
	B				C

@	0 0	1	A

		4

г) v1 = 4; v2 = 1; v3 = 0; v1 = 5; v2 = 5; v3 = 0;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]