Математический анализ. Учебное пособие

приближении аргумента к обоим концам промежутка (a, b), то полагают

b c b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx, a < c < b.

Если при этом сходятся оба интеграла в правой части последнего равенства, то сходится и интеграл слева.

4.4. Приближенное интегрирование

Интегрирование функций является составной частью многих научных и технических задач. При решении практических задач часто бывает, что интеграл неудобно или невозможно взять аналитически: он может не выражаться в элементарных функциях, подынтегральная функция может быть задана в виде таблицы. В таких случаях применяют методы численного интегрирования.

b

Известно, что определенный интеграл I = ∫ f (x)dx численно

a

равен площади криволинейной трапеции на промежутке [а; b]. Общий подход к вычислению интеграла численными методами сводится к нахождению этой площади. Интервал [а; b] разбивают на n

103

равных частей. Обозначим а = x0 и отложим точки: x1, x2 ,

… xi … xn = b. Получим отрезки шириной h = b − a . Проведя верти- n

кальные линии, получим n полосок (криволинейных трапеций). Затем находят площади каждой полоски и сумму их площадей.

Чем мельче разбиение, тем точнее найденное значение определенного интеграла.

4.4.1. Метод прямоугольников

В методе прямоугольников криволинейную трапецию, ограниченную функцией f (x) на каждом отрезке [xi ; xi+1], заменяют прямоугольником шириной h. Отложим на оси Oy соответствующие значения: y0 , y1, y2 и т. д.

В методе прямоугольников слева (рис. 4.2, а) высота прямоугольника выбирается равной значению функции в крайней левой точке отрезка [xi ; xi+1]. Площадь ступенчатой фигуры

Sлев= h y0 + h y1 + ... + h yn−1

приближенно равна площади криволинейной трапеции.

Рис. 4.2

105

4.4.3. Формула Симпсона (парабол)

В выше рассмотренных способах площадь каждой малой криволинейной трапеции Si приближенно рассчитывалась как площадь фигуры, ограниченной сверху прямой линией (горизонтальной или наклонной).

В рассматриваемом случае график P(x) f (x) функции f (x) заменяется кривой, состоя-

щей из частей квадратичных парабол P(x).

m b

Поэтому формула Симпсона при одинаковом значении h значительно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций.

Интервал интегрирования [а; b] разбивают на четное число равных промежутков, тогда

I = ∫b f (x)dx ≈ b − a ((y0 + y2n )+ 4(y1 + y3 + ...)+ 2(y2 + y4 + ...)). 3n

а

5

Пример. Вычислить приближенно ∫ x2dx для n = 4:

1

а) по формулам прямоугольников; б) по формуле трапеций; в) по формуле Симпсона.

Имеем: h = 5 −1 = 1. 4

Запишем: x0 = 1, x1 = 1+ 1 = 2, x2 = 2 + 1 = 3, x3 = 4, x4 = 5. Найдем значения функции y = x2 для xi .

y0 = y(1) = 12 = 1, y1 = y(2)= 22 = 4, y2 = y(3) = 9, y3 = y(4) = 16, y4 = y(5)= 25.

а) По формулам прямоугольников

5

слева: ∫ x2dx ≈ 1 (y0 + y1 + y2 + y3 )= 1+ 4 + 9 + 16 = 30.

1

5

справа: ∫ x2dx ≈ 1 (y1 + y2 + y3 + y4 ) = 4 + 9 + 16 + 25 = 54.

1

б) По формуле трапеций

108

произведению площади криволинейной трапеции на xi :

Здесь y1 = f1(x) и y2 = f2 (x) – переменные величины.

Весь объем цилиндрического тела равен пределу суммы и двойному интегралу:

by2

∫∫z(x; y)dS = ∫dx ∫ f (x; y)dy .

В данном случае имеем внутренний интеграл y∫2 f (x; y)dy – по

y1

y, а внешний – по x.

Рассуждая аналогично, разбивая цилиндрическое тело на пластины, параллельные плоскости xOz, получим, что

dx2

∫∫z(x; y)dS = ∫dy ∫ f (x; y)dx .

Dc x1

Здесь внутренний интеграл x∫2 f (x; y)dx берется по x, а внеш-

x1

ний – по y. Границы внутреннего интеграла x1 = ϕ1(y) и x2 = ϕ2(y) – переменные величины.

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного.

1.Взять внешний интеграл по x.

2.Взять внешний интеграл по y.

109

Сначала расставим границы у внутреннего интеграла, для чего через область проведем стрелки в направлении оси Oy. Уравнение нижней линии запишем как нижнюю границу, уравнение верхней линии – как верхней границы.

У внешнего интеграла границами являются числа, ограничивающие область D по оси Ox.

Выпишем и найдем внутренний интеграл по y, считая x = const :

= (xy2 + 3y)y=2 = (x 22 + 3 2)− (x (2x)2 + 3 2x)= −4x3 − 2x + 6.

y=2x

Найденное значение внутреннего интеграла подставим в повторный интеграл:

110

Уравнение первой встреченной линии запишем как нижнюю границу, уравнение второй линии – как верхней.

У внешнего интеграла границами являются числа, ограничи-

Найденное значение внутреннего интеграла подставим в повторный интеграл:

4.5.3. Геометрические приложения двойного интеграла

1. Площадь плоской фигуры D:

S = ∫∫dS .

D

2. Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху по-

верхностью zв = z1(x; y), а снизу zн = z2 (x; y):

V = ∫∫(zв − zн )dS .

D

3. Координаты центра масс плоской пластины однородной плотности: