Математические методы исследования. Учебно-методический комплекс дисциплины по направлению подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная де

среднее число занятых каналов (или вероятность того, что канал занят)

k / . (15)

3. Простейшая одноканальная СМО с ограничением по длине очереди.

На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания – показательное с параметром1/ tобсл . В очереди m мест. Если заявка приходит в момент, когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО. Состояния СМО:

x0 – СМО свободна;

x1 – канал занят, очереди нет;

x2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; …;

xk – канал занят, k-1 заявок стоят в очереди; …;

xm+1 – канал занят, m заявок стоят в очереди.

Финальные вероятности состояний существуют при любом / и равны:

Характеристики эффективности СМО:

A (1 pm 1 ) ; Q 1 pm 1 ; Pотк pm 1 . (17)

Среднее число занятых каналов (вероятность того, что канал занят):

k 1 p0 . (18)

Среднее число заявок в очереди:

r 2 1 m (m 1 m ) . (19)

(1 m 2 )(1 )

Среднее число заявок в СМО:

z r k . (20)

51

По формуле Литтла:

tсист z / ; tоч r / . (21)

4. Простейшая многоканальная СМО с неограниченной очередью.

На n-канальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания одной заявки – показательное с параметром 1/ t обсл . Финальные вероятности существуют только при

x0 – СМО свободна; x1 – занят один канал; …;

xk – занято k каналов (1 k n ); …;

xn – заняты все n каналов;

xn+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди; …;

xn+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди; … .

Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

z r k r ; (25)

tсист z / ; tоч r / . (26)

52

5. Простейшая многоканальная СМО с ограничением по длине очереди.

Условия и нумерация состояний те же, что в п. 4, с той разницей, что число m мест в очереди ограничено. Финальные вероятности состояний существуют при любых λ и μ и выражаются формулами:

tоч r / ; tсист z / . (31)

П.4. Использование моделей СМО для анализа документальных и читательских потоков

Решение о создании и эксплуатации любой библиотечной системы в конечном счете зависит от ее способности решать все поставленные перед нею задачи. Сложность библиотечной работы приводит к необходимости решения вопросов испытания и оценки этих систем.

Так как основной целью создания библиотечно-информационных систем является максимально полное удовлетворение читательских запросов, то этот фактор должен прежде всего учитываться при оценке их деятельности.

При анализе деятельности библиотечной системы с точки зрения удовлетворения читательских запросов прежде всего проводят обследование пользователей для выявления областей интересов, необходимого охвата литературы, требований пользователей к выходной информации (полнота, точность поиска), степени подготовленности пользователей и их

53

участия в процессе поиска, предпочтительных форм выдачи. Потребности и удовлетворенность пользователей определяются методами анкетных опросов и интервью. Все эти данные позволяют создать модель системы, подлежащей испытанию, и сформулировать основные отношения, связывающие элементы этой системы.

О степени удовлетворения читательских запросов можно судить по среднему количеству отказов в течение года, приходящемуся на группу книг или на одну книгу группы, и доле отказов от общего числа запросов. Эти показатели находятся в сложной функциональной зависимости от таких факторов, как средний спрос на книги рассматриваемой группы, экземплярность, привычки читателей, ограничения на время пользования, режим обслуживания и т. д.

Существуют математические модели, позволяющие выразить степень удовлетворения читательских запросов через перечисленные параметры. Одна из них описана в предыдущем пункте.

В рамках этой модели доля отказов увеличивается при возрастании λ, причем при фиксированном λ доля отказов существенно зависит от экземплярности k и среднего времени занятости книги читателем. Следует отметить, что при фиксированном λ фактор экземплярности является наиболее существенным.

Следующим по значимости является фактор среднего времени занятости. Например, при увеличении экземплярности от 1 до 2 доля отказов в проведенном исследовании сократилась более чем в 3 раза. Для получения аналогичного эффекта за счет уменьшения периода занятости необходимо сократить время занятости книги читателем с 10 до 2 дней, что создает трудности в обслуживании читателей.

При сравнении различных мероприятий, направленных на повышение эффективности использования фонда, может понадобиться оценка возможного количества отказов uk(т) на любую книгу, выдававшуюся за год ровно т раз. Исследования показали, что иk(т) быстро увеличивается с ростом т. Дублирование книги приводит к снижению отказов в 7–12 раз.

Среднее количество запросов на книгу, выдававшуюся в течение года т раз, есть т + иk(т). Отметим, что uk (0) ≥ 0, т. е. возможное среднее количество отказов на невыдававшиеся книги может быть больше нуля. Это объясняется тем, что интенсивность потока запросов не всегда равна дей-

54

ствительному числу читателей, пришедших за книгой. Действительное число может быть больше или меньше в соответствии с пуассоновским распределением.

Даже если книга не была в обращении в течение года, предполагаемый спрос на нее может быть больше нуля. Осредняя uk(т) по всему массиву книг, получаем

uk (m)Pk (m) c o uk

m 0

(здесь Pk(m) – вероятность того, что суммарная книговыдача за год по всем k экземплярам случайно выбранной книги равна т). Практически установлено, что распределение Рk (т) близко к геометрическому. Одним из путей снижения числа неудовлетворенных запросов является введение ограничений на сроки пользования литературой. Рассмотрим следующую схему.

Пусть читателю разрешено пользоваться литературой не более τ дней. Назовем τ сроком бронирования литературы. Если читатель не успел прочесть книгу за время τ, то с вероятностью θ он может продлить срок бронирования на время τ, а с вероятностью 1–θ «теряет» книгу (т. е. книга возвращается в книгохранилище). Если за дополнительный срок читатель не успел проработать книгу, то с вероятностью θ еще раз можно продлить срок бронирования на τ дней, и т. д. Всего таких продлений допускается n, после чего книгу забирают. В этом случае вероятность того, что время обслуживания будет меньше t, определяется равенством

Нетрудно заметить, что при отсутствии ограничений на сроки пользования (τ = ∞, n = 0) T = 1/и0. Для оценки эффективности введения ограничений на сроки пользования литературой нужно в предыдущих формулах заменить и0 на и0n. Из практических результатов следует, что с увеличением τ эффективность бронирования снижается, а при τ ≥ 3 Т бронирование нецелесообразно.

55

3. УЧЕБНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

3.1. Описания практических работ

Практическая работа 1 (2 часа)

Упорядочение эмпирических данных

Цель работы: познакомиться с основными статистическими методами упорядочения эмпирических данных.

Задачи работы:

1.Приобрести навыки ранжирования и группировки эмпирических данных.

2.Рассмотреть способы графического представления эмпирических данных.

Упражнения:

1.В результате анализа деятельности библиотеки были получены следующие данные о количестве книг, прочитанных читателями библиотеки за месяц: 39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39,41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 41.

Упорядочить представленные данные о читаемости, построив вариационный ряд и проведя дискретную группировку данных, начертить полигон и кумулятивную кривую относительных частот для полученного распределения.

2.В результате анализа деятельности мини-библиотеки были получены следующие данные о возрасте читателей, посетивших библиотеку за месяц: 21, 30, 39, 31, 42, 34, 36, 30, 28, 30, 33, 24, 31, 40, 31, 33, 31, 27, 31, 45, 31, 34, 27, 30, 48, 30, 28, 30, 33, 46, 43, 30, 33, 28, 31, 27, 31, 36, 51, 34, 31, 36, 34, 37, 28, 30, 39, 31, 42, 37.

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами величиной hi = 4 и начертить гистограмму частот.

3.Распределение по годам выхода процитированных документов имеет следующий вид:

Требуется построить по данному распределению выборки полигон и кумулятивную кривую относительных частот.

Провести дискретную группировку и ранжирование представленной совокупности. Данные представить в виде таблиц 1 и 2.

Таблица 1

Частота встречаемости рубрик, подрубрик сайта

6. Дана выборка из 60 элементов: 1, 4, 3, 5, 3, 5, 0, 5, 0, 4, 1, 1, 4, 2, 3, 1, 5, 3, 1, 4, 3, 0, 6, 1, 2, 2, 4, 2, 4, 3, 3, 1, 4, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 1, 2, 10, 4, 1, 1, 4, 5, 2, 3, 2, 4, 5, 4, 1, 3, 2, 1, 3, 9, 5. Требуется построить (вычислить) по данному распределению выборки:

1)вариационный ряд частот и относительных частот;

2)полигон частот и полигон относительных частот;

3)кумулятивную кривую относительных частот;

4)эмпирическую функцию распределения и её график.

58

7. Дана выборка, представленная в задании № 5. Требуется построить (вычислить) по данному распределению выборки:

1)интервальный вариационный ряд частот и относительных частот из 5 интервалов;

2)гистограмму относительных частот;

3)кумулятивную кривую относительных частот;

4)эмпирическую функцию распределения и её график.

8.Построить дискретный вариационный ряд и начертить полигон и кумулятивную кривую относительных частот для следующего распределе-

ния: 30, 32, 31, 33, 32, 31, 33, 35, 31, 34, 33, 32, 34, 30, 33, 32, 33, 30, 32, 28, 34, 32, 29, 34, 33, 32, 31, 32, 29, 35, 31, 30, 32, 31, 33, 31, 32, 33, 31, 34, 29, 30, 32, 32, 33.

9.В результате анализа состава рубрик образовательных порталов были получены следующие данные:

Провести дискретную группировку и ранжирование данной совокупности. Данные представить в виде таблиц 1 и 2 из задания № 5.

Список рекомендуемой литературы:

1.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва: ЮРАЙТ, 2012. – С. 192–196 // Университетская библиотека online. –

Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/

2.Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:

ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 397–402.

3.Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электрон. учеб. / В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС, 2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).

60