Математические методы исследования. Учебно-методический комплекс дисциплины по направлению подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная де

2. УЧЕБНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

2.1. Конспекты лекций по дисциплине Тема 1.1. Элементы выборочного анализа

План:

1.Организация случайного отбора

2.Типы выборок

3.Погрешности выборочного метода при изучении рынка информационных ресурсов

Список рекомендуемой литературы:

1.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва: ЮРАЙТ, 2012. – С. 192–196 // Университетская библиотека online. –

Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/

2.Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:

ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 395–396.

3.Ключенко, Т. И. Математика в библиотечной профессии [Текст]: учебно-практическое пособие / Т. И. Ключенко. – Москва: Либерея-

Бибинформ, 2009. – С. 10–27.

4.Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электронный учебник / В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС, 2008. Электрон. опт. диск (DVD-ROM).

П.1. Организация случайного отбора

Совокупность всех возможных значений, или реализаций, исследуемых случайных величин называется генеральной совокупностью. Она мо-

11

жет состоять из конечного или бесконечного множества значений, назы-

ваемых элементами генеральной совокупности.

Выборочной совокупностью (или просто выборкой) называется сово-

купность элементов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называют чис-

ло элементов этой совокупности.

Метод, основанный на том, что по данным обследования выборки, выделенной из генеральной совокупности, делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.

Задача математической статистики состоит в исследовании свойств выборки и обобщении этих свойств на всю генеральную совокупность. Полученный при этом вывод называется статистическим.

Основное требование к выборке: она должна хорошо представлять ге-

неральную совокупность, т. е. быть репрезентативной (представитель-

ной). Выборка будет репрезентативной, если её осуществлять случайным образом.

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Соответственно выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный элемент (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный элемент в генеральную совокупность не возвращается.

П. 2. Типы выборок

Различают следующие способы составления выборки: а) простой (случайный), б) механический, в) типический, г) серийный.

Eсли занумеровать все элементы генеральной совокупности и затем изготовить карточки с такими же номерами, тщательно перемешать их и отобрать пачку карточек, то элементы генеральной совокупности с номерами извлечённых карточек образуют простую (случайную) выборку. Здесь возможно повторная и бесповторная выборка.

Если элементы генеральной совокупности выбираются через определённый интервал, то такая выборка называется механической. Например, при анализе качества ноутбуков, сходящих с конвейера, отбирается каждый 25 ноутбук.

12

Предположим теперь, что генеральную совокупность разбили на несколько неперекрывающихся групп и из каждой группы отобраны в случайном порядке объекты. Это типический способ составления выборки

(районированная или стратифицированная выборка). Типическим отбо-

ром пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, при определении рейтинга кандидатов в президенты на выборах страну делят на округа и в каждом округе определяется рейтинг кандидатов в президенты.

Наконец, серийная (гнездовая или кластерная) выборка образуется следующим образом. Генеральная совокупность делится на неперекрывающиеся группы. После этого случайным образом отбираются некоторые группы. Полученная выборка будет серийной.

На практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.

Разумеется, если бы мы могли провести сплошное обследование всех элементов генеральной совокупности, то не нужно было бы применять никакие статистические методы, и саму математическую статистику можно было бы отнести к чисто теоретическим наукам. Однако такой полный контроль невозможен по следующим причинам. Во-первых, часто испытание сопровождается разрушением испытуемого объекта; в этом случае мы имеем выборку без повторения. Во-вторых, обычно необходимо исследовать весьма большое количество объектов, что просто невозможно физически и т. д.

П. 3. Погрешности выборочного метода при изучении рынка информационных ресурсов

Так как сущность выборочного метода состоит в том, что к обследованию привлекается некоторое количество единиц, специальным образом отобранных из генеральной совокупности, то при формировании выборки должна быть обеспечена ее представительность, которая зависит от двух основных факторов: от объема и способа формирования выборки. Наиболее важным принципом, который используется в выборочном методе, яв-

13

ляется обеспечение равной возможности всем вариантам, входящим в генеральную совокупность, быть избранными, попасть в выборку.

Репрезентативность – свойство выборочной совокупности представлять характеристику генеральной. Если совпадения нет, говорят об ошибке репрезентативности – мере отклонения статистической структуры выборки от структуры соответствующей генеральной совокупности.

Наряду с термином «ошибка репрезентативности» используется другой – «ошибка выборки». Иногда они употребляются как синонимы, а иногда «ошибка выборки» используется вместо «ошибки репрезентативности» как количественно более точное понятие.

Ошибка выборки – отклонение средних характеристик выборочной совокупности от средних характеристик генеральной совокупности.

На практике ошибка выборки определяется путем сравнения известных характеристик генеральной совокупности с выборочными средними. Сравнение средних генеральной и выборочной совокупностей, затем на основе этого определение ошибки выборки и ее уменьшение называют-

ся контролированием репрезентативности. Поскольку сравнение своих и чужих данных можно сделать по завершении исследования, такой способ контроля называется апостериорным, т. е. осуществляемым после опыта.

Ошибка выборки обусловливается двумя факторами: методом формирования выборки и размером выборки.

Ошибки выборки подразделяются на два типа – случайные и систематические. Случайная ошибка – это вероятность того, что выборочная средняя выйдет (или не выйдет) за пределы заданного интервала. К случайным ошибкам относят статистические погрешности, присущие самому выборочному методу. Они уменьшаются при возрастании объема выборочной совокупности.

Второй тип ошибок выборки – систематические ошибки. Систематические ошибки – результат деятельности самого исследователя. Они наиболее опасны, поскольку приводят к довольно значительным смещениям результатов исследования. Систематические ошибки считаются более значимыми, чем случайные, еще и потому, что они не поддаются контролю и измерению.

Они возникают, когда: выборка не соответствует задачам исследования; исследователь не знает характера генеральной совокупности; отбираются только «выигрышные» элементы генеральной совокупности.

14

В отличие от случайных ошибок систематические ошибки при возрастании объема выборки не уменьшаются.

Источником неконтролируемых перекосов в распределении выборочных наблюдений могут быть следующие факторы:

нарушены правила проведения исследования;

выбраны неадекватные способы формирования выборочной совокупности, методы сбора и расчета данных;

произошла замена требуемых единиц наблюдения другими, более доступными;

осуществлен неполный охват выборочной совокупности. Систематические ошибки легче предупредить (по сравнению со слу-

чайными), но их очень трудно устранить. Предупреждать систематические ошибки, точно предвидя их источники, лучше всего заранее – в самом начале исследования.

Основные способы избежать ошибки выборки:

каждая единица генеральной совокупности должна иметь равную вероятность попасть в выборку;

отбор желательно производить из однородных совокупностей;

надо знать характеристики генеральной совокупности;

при составлении выборочной совокупности надо учитывать слу-

чайные и систематические ошибки.

Если выборочная совокупность составлена правильно, то исследователь получает надежные результаты, характеризующие всю генеральную совокупность. Если она составлена неправильно, то ошибка, возникшая на этапе составления выборки, на каждом следующем этапе проведения исследования приумножается и достигает, в конечном счете, такой величины, которая перевешивает ценность проведенного исследования.

Подобные ошибки могут произойти только с выборочной совокупностью. Чтобы избежать или уменьшить вероятность ошибки, самый простой способ – увеличивать размеры выборки (в идеале до объема генеральной: когда обе совокупности совпадут, ошибка выборки вообще исчезнет). Если такой метод невозможен, то возникает вопрос об определении размеров выборочной совокупности.

На практике используются разные подходы к определению объема выборки. Самый простой называется произвольным подходом и основан на применении «правила большого пальца». Например, бездоказательно принимается, что для получения точных результатов выборка должна со-

15

ставлять 5 % от совокупности. Данный подход, простой и доступный в исполнении, не позволяет получать точные результаты. Его достоинством является относительная дешевизна затрат. С учетом других подходов численность выборочной совокупности зависит от двух факторов:

1)стоимости сбора информации;

2)стремления к определенной степени статистической достоверности результатов, которую надеется получить исследователь.

Ошибка выборки может зависеть не только от ее величины, но и от степени различий между отдельными единицами внутри генеральной совокупности, которую исследуют. Чем больше различия (или гетерогенность) внутри генеральной совокупности, тем больше величина возможной ошибки выборки.

Таким образом, численность (объем) выборки зависит от уровня однородности или разнородности изучаемых объектов. Чем более они однородны, тем меньшая численность может обеспечить статистически достоверные выводы.

Определение объема выборки зависит также от уровня доверительного интервала допустимой статистической ошибки. Здесь имеются в виду так называемые случайные ошибки, которые связаны с природой любых статистических погрешностей.

Тема 1.2. Упорядочение эмпирических данных

План:

1.Табличное представление эмпирических данных.

2.Графическое изображение эмпирических данных.

3.Эмпирическая функция распределения.

Список рекомендуемой литературы:

1.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – Москва: ЮРАЙТ, 2012. – С. 192–196 // Университетская библиотека online. –

Электрон. дан. – Режим доступа: http://www.biblioclub.ru/book/57705/

2.Гусак, А. А. Высшая математика [Текст]: в 2 т. / А. А. Гусак. – Минск:

ТетраСистемс, 2009. – Т. 2. – С. 397–402.

3.Карманов, Ф. И. Статистические методы обработки экспериментальных данных [Электронный ресурс]: учеб. пособие / Ф. И. Карманов,

16

В. А. Острейковский. – Москва: Абрис, 2012. – С. 99–110 // Университетская библиотека online. – Электрон. дан. – Режим доступа: http:// www.biblioclub.ru/book/117636/

4.Салин, В. Н. Статистика [Электронный ресурс]: электрон. учеб. / В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова, Е. П. Шпаковская. – Москва: КНОРУС, 2008. – Электрон. опт. диск (DVD-ROM).

П. 1. Табличное представление эмпирических данных

Как правило, результаты эксперимента или наблюдения дискретных случайных величин (первичные данные) сводятся в таблицу, в первой строке которой записывается номер i эксперимента, а во второй – соответствующий признак xi, называемый вариантой случайной величины. Табли-

цы такого вида называются статистическими рядами несгруппированных данных (рис. 1). В таблицу можно включать данные о нескольких признаках (несколько видов вариант), но часто ограничиваются данными об одном признаке.

Рисунок 1 – Статистический ряд несгруппированных данных

Статистический ряд несгруппированных данных не позволяет проводить содержательный анализ. Учитывая, что нередко статистические исследования охватывают совокупность численностью в десятки и сотни тысяч объектов, возникает необходимость упорядочения первичных данных. Для этого используются статистические методы ранжирования и группировки (дискретной, интервальной и комбинационной). Иногда этих приёмов обработки статистических данных достаточно для последующего анализа. Чаще приходится прибегать к более сложным методам, но и тогда предварительное упорядочение является обязательной операцией.

Ранжированием называется расположение элементов совокупности в порядке возрастания или убывания величины соответствующих им вариантов.

Статистический ряд, расположенный по возрастанию вариант, назы-

вается вариационным рядом.

17

Дискретной группировкой называется распределение совокупности вариантов по группам, содержащим одинаковые варианты.

Число, показывающее сколько раз (как часто) некоторый вариант xi встречается в совокупности, называется частотой ni (абсолютной частотой) данного варианта. Сумма всех частот равняется количеству элементов совокупности (объему выборки), т. е.

ni n . (1)

Относительной частотой (частостью) i некоторого варианта xi на-

зывается доля этого варианта в общем количестве данных, т. е. отношение частоты к объему выборки:

i nni . (2)

Относительную частоту часто выражают в процентах, умножая результат на 100.

Соответствие между вариантами и их частотами (относительными частотами) называется статистическим распределением выборки (рис. 2).

Рисунок 2 – Статистическое распределение выборки

Одновременно с понятием частоты и относительной частоты в сгруппированных совокупностях применяются понятия накопленной частоты и относительной частоты.

Накопленной частотой niнак некоторого варианта xi называется коли-

чество элементов ранжированной в порядке возрастания совокупности, имеющих значение признака меньшее или равное данному:

niнак n1 n2 ... ni . (3)

Накопленной относительной частотой iнак некоторого варианта xi

называется отношение накопленной частоты этого варианта niнак к объему выборки:

nнак

iнак in . (4)

18

В тех случаях, когда число различных вариантов в совокупности велико или вариация является непрерывной, при обработке статистических данных используется интервальная группировка.

Интервальной группировкой называется распределение совокупности вариантов на группы вариантов, находящихся в определённых границах.

Статистическая таблица, получаемая в результате интервальной груп-

пировки, называется интервальным вариационным рядом (рис. 3).

Рисунок 3 – Интервальный вариационный ряд

Максимальное значение варианта для конкретного интервала называ-

ется верхней границей xi(max), а минимальное – нижней границей интервала xi(min). Величина интервала – разность между верхней и нижней границами интервала:

hi xi(max) xi(min) . (5)

Понятия частоты, относительной частоты, накопленной частоты и накопленной относительной частоты интервального вариационного ряда аналогичны соответствующим понятиям дискретного вариационного ряда, но относятся не к отдельному признаку, а ко всему интервалу.

Ещё одним способом группировки совокупности является комбинаци-

онная группировка.

Комбинационной группировкой называется распределение совокупности на группы по сочетанию (комбинации) нескольких признаков.

П. 2. Графическое изображение эмпирических данных

Для наглядности рассмотрения статистических данных вариационные ряды изображают графически. Наиболее широко используются следующие виды графического изображения вариационных рядов в прямоугольной системе координат: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.

Эти графики дают возможность представить характер варьирования значений признака, выявить состав изучаемой совокупности, её структуру и структурные сдвиги. При нанесении на единую координатную сетку, нескольких вариационных рядов возможно их сравнение.

19

Полигоном (многоугольником) распределения называется графическое изображение вариационного ряда в прямоугольной системе координат, при котором величины признака (варианты) xi откладываются на оси абсцисс, а величина частоты (или относительные частоты) – на оси ординат.

Таким образом, полигон частот представляет собой ломаную, отрез-

ки которой соединяют точки M1(x1, n1), M2(x2, n2), …, Mk(xk, nk) (рис. 4). Полигон относительных частот есть ломаная, отрезки которой соединя-

ют точки M1(x1, ω1), M2(x2, ω 2), …, Mk(xk, ω k). Крайние точки М1 и М2, если они не лежат на оси абсцисс, обычно также соединяют со смежными

точками M0(x0, 0), Mk+1(xk+1, 0).

ni

. . .

n4 n3

n2 n1

Рисунок 4 – Построение полигона частот

Гистограммой вариационного ряда называется графическое изобра-

жение вариационного ряда в виде прямоугольников, основания которых – отрезки оси абсцисс, соответствующие интервалам изменения признака, а высоты пропорциональны плотностям частот (или относительных частот) интервалов.

В случае непрерывных интервалов гистограмма частот строится следующим образом (рис. 5): на оси абсцисс наносится шкала для интервалов,

на оси ординат – для плотностей частот интервалов ni . Из всех точек hi

на оси абсцисс восстанавливаются перпендикуляры, на которых последовательно, начиная с первого, откладываются значения плотности частот интервалов.

20