Математические методы исследования. Учебно-методический комплекс дисциплины по направлению подготовки 51.03.06 (071900) «Библиотечно-информационная де

Список рекомендуемой литературы:

1.Игошин, В. И. Математическая логика и теории алгоритмов [Текст] / В. И. Игошин. – 4-е изд., стер. – Москва: Издат. центр «Академия», 2010. – С. 15–45.

2.Лихтарников, Л. М. Математическая логика. Курс лекций. Задачникпрактикум и решения [Текст]: учеб. пособие / Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева. – Санкт-Петербург: Лань, 2009. – С. 11–28.

П. 1. Понятие высказывания

Высказывание – это всякое повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» (обозначается буквой И или цифрой 1) и «ложь» (обозначается буквой Л или цифрой 0).

Среди основных логических операций над высказываниями выделяют: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию.

Отрицанием (инверсией) высказывания x называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание x ложно, и ложным, если высказывание x истинно. Обозначается символом x (или Ίx), читается «не x». Таблица истинности для x имеет вид:

Конъюнкцией (логическим произведением) двух высказываний x и y

называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно. Обозначается символом x y (или x & y ), читается « x и y».

Дизъюнкцией (логической суммой) двух высказываний x и y называет-

ся новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x, y истинно, и ложным, если они оба ложны. Обозначается символом x y , читается «x или y».

31

Импликацией (логическим следованием) двух высказываний x и y на-

зывается новое высказывание, которое считается ложным, если x истинно, a y – ложно, и истинным во всех остальных случаях. Обозначается символом x y (или x y ), читается «если x, то y » или «из x следует y».

Эквиваленцией (эквивалентностью, равнозначностью) двух высказы-

ваний x и y называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания x, y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях. Обозначается символом x y (или x ~ y), читается «для того, чтобы x, необходимо и доста-

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется

элементарным (или простым).

Высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции, называется сложным

(или составным).

Логическое значение формулы полностью определяется логическими значениями входящих в нее элементарных высказываний. Все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности. Если формула содержит n элементарных высказываний, то таблица истинности содержит 2n строк.

Две формулы булевой алгебры A и B называются равносильными ( A B ), если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.

Формула A называется тождественно истинной (или тавтологией),

если она принимает значение «истина» при всех значениях входящих в нее переменных.

32

Формула A называется тождественно ложной, если она принимает значение «ложь» при всех значениях входящих в нее переменных.

Важнейшие равносильности булевой алгебры можно разбить на три группы.

1.Основные равносильности:

1.1.x x x – законы идемпотентности.

1.2.x x x

1.3.x 1 x

1.4.x 1 1

1.5.x 0 0

1.6.x 0 x

1.7.x x 1 – закон противоречия.

1.8.x x 1 – закон исключенного третьего.

1.9.x x – закон снятия двойного отрицания.

1.10.x y x x – законы поглощения.

1.11.x y x x

2.Равносильности, выражающие одни логические операции через

другие:

2.1x y x y y x

2.2.x y x y

2.3.x y x y

2.4.x y x y

2.5.x y x y

2.6.x y x y

3.Равносильности, выражающие основные законы булевой алгебры:

3.1.x y y x – коммутативность конъюнкции.

3.2.x y y x – коммутативность дизъюнкции.

3.3.x y z x y z – ассоциативность конъюнкции.

3.4.x y z x y z – ассоциативность дизъюнкции.

относительно конъюнкции.

33

Используя равносильности , и групп можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными.

Формула A считается проще равносильной ей формулы B, если она содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъюнкции и конъюнкции, а отрицание относят к элементарным высказываниям.

П. 2. Булевы функции n переменных

Булевой функцией n переменных называется функция n переменных, где каждая переменная принимает два значения: «истина» («1») и «ложь» («0»), и при этом функция может принимать только одно из двух значений: «истина» или «ложь».

Каждую булеву функцию можно задать с помощью таблицы истинности, которая будет содержать 2n строк. Следовательно, каждая функция n переменных принимает 2 n значений, состоящих из нулей и единиц. Таким образом, функция n переменных полностью определяется набором значений из нулей и единиц длины 2n . Общее же число наборов, состоящих из нулей и единиц, длины 2n равно 22n . Значит, число различ-

ных функций булевой алгебры n переменных равно 22n .

Пусть F x1 , x2 ,..., xn произвольная функция булевой алгебры n пе-

(1)

которая составлена следующим образом: каждое слагаемое этой логической суммы представляет собой конъюнкцию, в которой первый член является значением функции F при некоторых определенных значениях переменных x1 , x2 ,..., xn , остальные же члены конъюнкции представляют собой переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания на-

34

ходятся те и только те переменные, которые в первом члене конъюнкции имеют значение 0. Формула (1) содержит в виде логических слагаемых всевозможные конъюнкции указанного вида.

Ясно, что формула (1) полностью определяет функцию F x1, x2 ,..., xn . Иначе говоря, значения функции F и формулы (1) совпадают на всех наборах значений переменных x1 , x2 ,..., xn .

Вид формулы (1) может быть значительно упрощен, если в ней отбросить те логические слагаемые, в которых первый член конъюнкции имеет значение 0 (и, следовательно, вся конъюнкция имеет значение 0). Если же в логическом слагаемом первый член конъюнкции имеет значение 1, то, пользуясь равносильностью 1 x x , этот член конъюнкции можно не выписывать.

Таким образом, в результате получается формула (1), которая содержит только элементарные переменные высказывания и обладает следующими свойствами:

1)Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F x1 , x2 ,..., xn .

2)Все логические слагаемые формулы различны.

3)Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание.

4)Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

Перечисленные свойства называется свойствами совершенства, или, коротко, свойствами (С).

Из приведенных рассуждений видно, что каждой нетождественно

ложной функции соответствует единственная формула указанного вида. Если функция F x1 , x2 ,..., xn задана таблицей истинности, то соот-

ветствующая ей формула булевой алгебры может быть получена следующим образом. Для каждого набора значений переменных, на котором функция F x1 , x2 ,..., xn принимает значение 1, запишем конъюнкцию

элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции xk , если значение xk на указанном наборе значений переменных есть 1 и отрицание xk , если значение xk есть 0. Дизъюнкция всех записанных конъюнкций и будет искомой формулой.

35

Тема 2.2. Основные понятия теории графов

План:

1.Элементы графов.

2.Операции над графами.

3.Пути и маршруты в графах.

Список рекомендуемой литературы:

1.Васин, А. А. Исследование операций [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / А. А. Васин, П. С. Краснощеков, В. В. Морозов. – Москва: Издат. центр «Академия», 2008. – С. 134–138.

2.Чашкин, А. В. Дискретная математика [Текст]: учеб. / А. В. Чашкин. – Москва: Издат. центр «Академия», 2012. – С. 78–83.

П.1. Элементы графов

Графом называется непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множеству точек. Данные точки называются вершинами графа, а отрезки линий, соединяющие эти точки – ребрами графа.

Вершины, соединенные ребром, называются смежными. Ребра, имеющие общую вершину, тоже называются смежными.

Ребро и любая из его вершин называются инцидентными.

Граф называется ориентированным (или орграфом), если все его вершины упорядочены и ребра имеют направления.

Каждый граф можно представить в пространстве множеством точек, соответствующих вершинам, которые соединены линиями, соответствующими ребрам (или дугам – в последнем случае направление обычно указывается стрелочками), – такое представление называется укладкой графа. При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть прямолинейными или криволинейными.

Матрицей смежности графа называется матрица A = ||aij||, i = 1, ..., n; j = 1, ..., n, у которой элемент aij равен числу ребер, соединяющих вершины vi и vj (соответственно, идущих из вершины vi в вершину vj).

Матрицей инцидентности графа называется матрица B = ||bij||,

i = 1, .., n; j = 1, ..., m, у которой элемент bij равен 1, если вершина vi инцидентна ребру ej, и равен 0, если не инцидентна.

36

Вершины, не соединенные ни с одним ребром, называются изолированными. Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами. Граф является полным, если все его вершины соединены между собой.

Если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно:

Ребро может начинаться и заканчиваться в одной и той же вершине, в этом случае соответствующее ребро называется петлей. Граф с петлями называют мультиграфом (или псевдографом).

Пара вершин может быть соединена двумя или более ребрами, такие ребра называются кратными.

Граф называется вырожденным, если он не имеет ребер.

Две вершины графа называются связными, если в графе существует путь с концами в этих вершинах. Если такого пути не существует, вершины называются несвязными.

Граф называется связным, если любая пара его вершин – связная. Граф называется несвязным, если в нем хотя бы одна пара вершин несвязная.

Ребро, после удаления которого граф из связного превращается в несвязный, называется мостом.

Циклом называется путь, в котором совпадают начало с концом. Если все вершины цикла разные, то такой цикл называется элементарным

(или простым) циклом.

Деревом (свободным графом) называется любой связный граф, не имеющий циклов.

Вершины степени 1 в дереве называют его листьями.

Деревья обладают следующими свойствами:

1.Для каждой пары вершин дерева существует единственный путь, их соединяющий.

Этим свойством пользуются при нахождении всех предков, например, по мужской линии, любого человека, чья родословная представлена в виде генеалогического дерева, которое является «деревом» и в смысле теории графов.

2.Всякое ребро в дереве является мостом.

37

3.Если любые две вершины в дереве соединить ребром, то в полученном графе будет ровно один цикл.

4.Дерево с n вершинами имеет n-1 ребро.

Несвязный граф, представляющий объединение деревьев, называется лесом. Можно сказать, что деревья являются компонентами леса.

Для каждой пары вершин дерева – узлов – существует единственный маршрут, поэтому вершины удобно классифицировать по степени удалённости от корневой вершины. Расстояние до корневой вершины x0 называется ярусом s вершины (рис. 1).

Рисунок 1 – Разделение вершин дерева на ярусы

Поскольку маршрут между двумя вершинами единственный, то, применяя это свойство к смежным вершинам, можно заключить, что любая ветвь является мостом.

При описании деревьев принято использовать термины: отец, сын,

предок, потомок.

Каждая вершина дерева называется узлом, причём каждый узел является корнем дерева, имеющего n поддеревьев. Тогда узел без поддеревьев называется листом и является висячей вершиной.

Узел k-го яруса называется отцом узла (k+1)-го яруса, если они смежны. Узел (k+1) -го яруса называется сыном узла k-го яруса (рис. 2).

38

Рисунок 2 – Пример описания вершин дерева

Упорядоченным деревом называется дерево, в котором поддеревья каждого узла образуют упорядоченное подмножество. Для упорядоченных деревьев принята терминология: старший и младший сын для обозначения соответственно первого и последнего сыновей некоторого узла.

Для представления данных в информационных системах, в справочниках при реализации алгоритмов поиска и в других приложениях часто используются корневые деревья, то есть деревья с выделенной вершиной, именуемой корнем.

П. 2. Операции над графами

Выделяют следующие основные операции над графами:

5. Удаление вершины v из графа G1(V1, E1), при условии v V1, дает

граф G2(V2, E2), где V2 V1\{v} и E2 E1 (обозначение G1(V1, E1)-v).

6. Добавление ребра е в граф G1(V1, E1), при условии е Е1, дает граф

G2(V2, E2), где V2 V1 и E2 E1 {e} (обозначение G1(V1, E1)+е).

7. Добавление вершины v в граф G1(V1, E1), при условии v V1, дает

граф G2(V2, E2), где V2 V1 {v} и E2 E1 (обозначение G1(V1, E1)+v,).

8. Стягивание подграфа А графа G1(V1, E1) дает граф G2(V2, E2), где

V2 (V1 \ А) {v} и E2 E1 \ {e=(u,w) | u A w A} {e=(u,v) | u Г(А) \ А}. (где Г(А) – множество вершин, смежных с А). Например, стягивание

ребра – это отождествление пары смежных вершин.

9. Размножение вершины v графа G1(V1, E1) дает граф G2(V2, E2), где

V2 V1 {v'} и E2 E1 {(v,v')} {e=(u,u') | u Г(v)} (обозначение –

G1(V1, E1)↑ v, при условии А V1, v V1, v' V1). Данная операция также называется подразбиение ребра (т.е. замена ребра (u, v) на пару (u, w), (w, v), где w – новая вершина).

Кроме представленных выше, существуют и другие операции над графами, например соединение, сложение, различные виды умножений графов и др. Такие операции используются для анализа и синтеза графов с заданными свойствами.

П. 3. Пути и маршруты в графах

Маршрутом в графе от одной вершины к другой называется чередующаяся последовательность вершин и рёбер, в которой два соседних элемента инцидентны. Вершина, от которой проложен маршрут, называет-

ся началом маршрута, вершина в конце – конец маршрута.

Если все ребра различны, то маршрут называется цепью.

Длиной маршрута называется количество ребер в нем (с повторениями).

Путем от вершины u до вершины v в ориентированном графе называется такая последовательность ребер (дуг), ведущая от u к v, в которой два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза. Таким образом, путь – частный случай маршрута.

Путь, в котором каждая вершина используется не более одного раза,

называется простым путем.

Если существует путь из вершины графа v в вершину u, то говорят, что вершина u достижима из v.

40